2024-2025学年高中数学第三章导数应用3.2.1实际问题中导数的意义学案含解析北师大版选修2-2

PAGE§2导数在实际问题中的应用2．1实际问题中导数的意义授课提示：对应学生用书第30页[自主梳理]生活中的变更率问题1．在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为______，它的单位是________．2．在气象学中，通常把在单位时间(如1时、1天等)内的降雨量称作________，它是反映一次________的一个重要指标．3．在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)的导函数称为________，f′(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，须要增加f′(x0)个单位的成本．[双基自测]1．假如物体做直线运动的方程为s(t)＝2(1－t)2，则其在t＝4s时的瞬时速度为()A．12 B．－12 C．4 D．－2．某河流在一段时间xmin内流过的水量为ym3，y是x的函数，y＝f(x)＝eq\r(3,x)，当x从1变到8时，y关于x的平均变更率为(单位：m3/min)()A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,8) C.eq\f(1,7) D.eq\f(2,3)3．某吊装设备在工作时做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可表示为W(t)＝t3－2t＋6，则在t＝2时此设备的功率为________W.4．网球运动员用球拍击打网球后，在起先的一段时间内网球的运动路程s(m)与时间t(s)的函数关系为s＝－t2＋50t，则在击球后5s，网球的速度为________m/s.[自主梳理]1．功率瓦特2.降雨强度降雨大小3.边际成本[双基自测]1．As′(t)＝－4(1－t)．t＝4s时，s′(4)＝12.所以瞬时速度为12.2．C当x从1变到8时，y关于x的平均变更率为eq\f(f(8)－f(1),8－1)＝eq\f(2－1,7)＝eq\f(1,7)(m3/min)，它表示时间从1min增加到8min的过程中，每增加1min水流量平均增加eq\f(1,7)m3.3．10W′(t)|t＝2＝(3t2－2)|t＝2＝10.4．40s′|t＝5＝(－2t＋50)|t＝5＝40.授课提示：对应学生用书第31页探究一导数在物理学中的应用[例1]自由落体运动的运动方程为s＝eq\f(1,2)gt2.(1)求t从3s变到3.1s时，s关于时间t的平均变更率，并说明它的实际意义；(2)求s′(3)(s的单位为m，t的单位为s)．[解析](1)Δs＝s(3.1)－s(3)＝eq\f(1,2)g×3.12－eq\f(1,2)g×32＝0.305g(m)，Δt＝3.1－3＝0.1(s)，∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(0.305g,0.1)＝3.05g(m/s)．它表示在t＝3s到t＝3.1s这段时间内，自由落体运动的物体的平均速度为3.05g(m/s)．(2)s′＝gt，∴s′(3)＝3g(m/s)．它表示自由落体运动的物体在t＝3s时的瞬时速度为3g(m/s路程对时间的导数是速度，速度对时间的导数是加速度．1．假如一个质点从固定点A起先运动，在时间t的位移函数是y＝s(t)＝3＋t3.求：(1)t＝4时，物体的位移s(4)；(2)t＝3到t＝4的平均速度\s\up6(－(－)eq\o(v,\s\up6(－))；(3)t＝4时，物体的速度v(4)；(4)t＝4时，物体的加速度a(4)．解析：(1)s(4)＝3＋43＝67.(2)s(3)＝3＋33＝30，\s\up6(－(－)eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(67－30,1)＝37.(3)s′(t)＝3t2，v(4)＝s′(4)＝48.(4)v(t)＝3t2，则a(t)＝v′(t)＝6t，∴a(4)＝24.探究二导数在日常生活中的应用[例2]一底半径为rcm，高为hcm的倒立圆锥容器，若以ncm3/s的速率向容器内注水，求液面高度的瞬时变更率．[解析]如图，设注水ts时，水面的高度为y，水面半径为x，则eq\f(y,h)＝eq\f(x,r)，∴x＝eq\f(r,h)y，∴tn＝eq\f(π,3)x2y，∴体积tn＝eq\f(π,3)·eq\f(r2,h2)y3，∴y＝eq\r(3,\f(3tnh2,πr2))＝eq\r(3,\f(3nh2,πr2))·eq\r(3,t).∴液面高度的瞬时变更率为v＝y′t＝eq\r(3,\f(3nh2,πr2))·eq\f(1,3)t－eq\f(2,3).实际生活中的一些问题，如在生活和生产及科研中常常遇到的成本、用料、效率和利润等问题，在探讨其变更量时常用导数解决．2．某机械厂生产某种机器配件的最大生产实力为每日100件，假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数关系式为C(x)＝eq\f(1,4)x2＋60x＋2050.求：(1)日产量为75件时的总成本和平均成本；(2)当日产量由75件提高到90件时，总成本的平均变更量；(3)当日产量为75件时的边际成本．解析：(1)日产量为75件时的总成本和平均成本分别为C(75)＝7956.25(元)，eq\f(C(75),75)≈106.08(元/件)．(2)当日产量由75件提高到90件时，总成本的平均变更量eq\f(ΔC,Δx)＝eq\f(C(90)－C(75),90－75)＝101.25(元/件)．(3)∵C′(x)＝eq\f(1,2)x＋60，∴当日产量为75件时的边际成本C′(75)＝97.5(元/件)．瞬时速度、平均速度概念混淆致误[例3]一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．[解析](1)s′＝(3t)′－(t2)′＝3－2t，t＝0时，v0＝s′(0)＝3－2×0＝3.(2)t＝2时，v2＝s′(2)＝3－2×2＝－1.(3)eq\x\to(v)＝eq