2024-2025学年高中数学第三章推理与证明3.2数学证明学案含解析北师大版选修1-2

PAGE§2数学证明授课提示：对应学生用书第20页[自主梳理]一、三段论三段论是最常见的一种演绎推理形式，它包含三个命题：(1)eq\x(大前提)→eq\x(供应了一个)↓(2)eq\x(小前提)→eq\x(探讨对象的特别状况)↓(3)eq\x(结论)→eq\x(由、作出的推断)二、合情推理与演绎推理的区分推理方式意义主要形式结论的真假合情推理相识世界、发觉问题的基础________________演绎推理证明命题、建立理论体系的基础________________[双基自测]1．下面说法正确的有________．①演绎推理是由一般到特别的推理；②演绎推理得到的结论肯定是正确的；③演绎推理一般模式是“三段论”形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．2．有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数f(x)，假如f′(x0)＝0，那么x＝x0是函数f(x)的极值点．因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．以上推理中()A．小前提错误 B．大前提错误C．推理形式错误 D．结论正确3．函数y＝2x＋5的图像是一条直线，用三段论表示为：大前提：________________________________________________________________________；小前提：________________________________________________________________________；结论：________________________________________________________________________.[自主梳理]一、一般性原理大前提小前提二、归纳推理、类比推理不确定三段论真[双基自测]1．①③④①正确．②错误．演绎推理中大前提，小前提和推理形式，只要有一者错误，则结论必定错误．③正确，④正确．2．B可导函数f(x)，若f′(x0)＝0且x0两侧导数值相反，则x＝x0是函数f(x)的极值点，故选B.3．一次函数的图像是一条直线函数y＝2x＋5是一次函数函数y＝2x＋5的图像是一条直线授课提示：对应学生用书第20页探究一三段论的结论与格式[例1]将下列演绎推理写成三段论的形式：(1)一切偶数都能被2整除，0是偶数，所以0能被2整除；(2)三角形的内角和是180°，等边三角形是三角形，故等边三角形的内角和是180°；(3)循环小数是有理数，0.332是循环小数，所以0.332是有理数．[解析](1)一切偶数都能被2整除，(大前提)0是偶数，(小前提)0能被2整除．(结论)(2)三角形的内角和是180°，(大前提)等边三角形是三角形，(小前提)等边三角形的内角和是180°.(结论)(3)循环小数是有理数，(大前提)0．332是循环小数，(小前提)0．332是有理数．(结论)三段论推理的留意点：用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提供应了一个一般性的原理，小前提指出了一种特别状况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特别状况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略，在找寻大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．1．将下面的演绎推理写成三段论的形式：(1)全部椭圆的离心率e的取值范围为(0,1)，曲线C：eq\f(x2,a)＋y2＝1是椭圆，所以曲线C的离心率e的取值范围为(0,1)；(2)等比数列的公比都不为零，数列{2n}(n∈N＋)是等比数列，所以数列{2n}的公比不为零．解析：(1)全部椭圆的离心率e的取值范围为(0,1)，(大前提)曲线C：eq\f(x2,a)＋y2＝1是椭圆，(小前提)所以曲线C的离心率e的取值范围为(0,1)．(结论)(2)等比数列的公比都不为零，(大前提)数列{2n}(n∈N＋)是等比数列，(小前提)所以数列{2n}的公比不为零．(结论)探究二用三段论证明几何问题[例2]如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．[解析]因为同位角相等，两条直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以FD∥AE.结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形大前提DE∥BA，且FD∥AE，小前提所以四边形AFDE为平行四边形．结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提所以ED＝AF.结论1．三段论推理的依据，从集合的观点来讲，就是：若集合M的全部元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中全部元素都具有性质P.2．在几何证明题中，每一步事实上都暗含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，把一般性原理用于特别状况，从而得到结论．2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O、O1分别为ABCD与A1B1C1D1的中心．求证：AO1∥平面BDC证明：如图．①因为一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，(大前提)AO綊O1C1，(小前提∴AOC1O1为平行四边形．(结论)②∵平行四边形对边平行，(大前提)AOC1O1为平行四边形，(小前提)∴AO1∥OC1.(结论)③由线面平行的判定定理，(大前提)AO1⊄平面BDC1，OC1⊂平面BDC1，AO1∥OC1，(小前提)∴AO1∥平面BDC1.(结论)探究三用三段论证明代数问题[例3]已知正数数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(a\o\al(2,n)＋an,2)，bn＝(1＋eq\f(1,2an))an(n∈N＋)．(1)求证：数列{an}是等差数列；(2)定理：若函数f(x)在区间D上是凹函数，且f′(x)存在，则当x1>x2(x1，x2∈D)时，总有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<f′(x1)．请依据上述定理，且已知函数y＝xn＋1(n∈N＋)是(0，＋∞)上的凹函数，求证：bn<bn＋1.[证明](1)∵Sn＝eq\f(a\o\al(2,n)＋an,2)，∴当n＝1时，a1＝eq\f(a\o\al(2,1)＋a1,2).∵a1>0，∴a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(a\o\al(2,n)＋an,2)－eq\f(a\o\al(2,n－1)＋an－1,2).∴(an＋an－1)·(an－an－1－1)＝0.∵an>0，∴an＝an－1＋1.∴{an}为等差数列，an＝n.(2)由(1)知bn＝(1＋eq\f(1,2n))n.由函数y＝xn＋1，得y′＝(n＋1)xn.∵y＝xn＋1在(0，＋∞)上是凹函数，∴当x1>x2>0时，有eq\f(x\o\al(n＋1,1)－x\o\al(n＋1,2),x1－x2)<(n＋1)xeq\o\al(n,1)，即xeq\o\al(n,1)[(n＋1)x2－nx1]<xeq\o\al(n＋1,2).令x1＝1＋eq\f(1,2n)，x2＝1＋eq\f(1,2n＋1)，得(n＋1)x2－nx1＝1.∴xeq\o\al(n,1)<xeq\o\al(n＋1,2)，即(1＋eq\f(1,2n))n<[1＋eq\f(1,2n＋1)]n＋1.∴bn<bn＋1.解答题中的推理基本都是演绎推理，在运用三段论进行推理时常省略大前提，尤其是当大前提比较明显时，否则步骤就显得冗长繁杂，在做题时留意领悟．3．已知{an}是各项均为正数的等差数列．lga1，lga2，lga4成等差数列，又bn＝eq\f(1,a2n)(n＝1,2,3，…)．证明：{bn}为等比数列．解析：∵lga1，lga2，lga4成等差数列，∴2lga2＝lga1＋lga4，即aeq\o\al(2,2)＝a1a4.设{an}的公差为d，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，a1d＝d2，从而d(d－a1)＝0.①若d＝0，{an}为常数列，相应{bn}也是常数列，此时{bn}是首项为正数，公比为1的等比数列．②若d＝a1≠0，则a2n＝a1＋(2n－1)d＝2nd，bn＝eq\f(1,a2n)＝eq\f(1,2nd).这时{bn}是首项b1＝eq\f(1,2d)，公比为eq\f(1,2)的等比数列．综上可知，{bn}为等比数列．演绎推理证明中常见错误[典例](1)已知an＝n2＋λn，若数列{an}是递增的数列，求实数λ的范围．(2)在直角三角形ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，求证a2＋b2＝c2.[解析](1)因为数列{n2＋λn}是递增的数列，所以an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋1＋λ>0对n∈N＋恒成立，因此λ＋1>－2n，即λ＋1>－2，所以λ>－3.即实数λ的范围是(－3，＋∞)．(2)证明：在直角△ABC中，过C作CH⊥AB于H(图略)，则利用相像三角形，由CA2＝AH·AB，CB2＝BH·AB，相加即得CB2＋CA2＝AB2，即a2＋b2＝c2.[错因与防范](1)将“数列{n