九年级数学上册全册教案

教学时间课题21.1二次根式课型新授

教学媒体多媒体

1.理解二次根式的定义，会用算术平方根的概念解释二次根式的意义.

知识

教2.会确定二次根式有意义的条件，知道五（。20）是非负数，并会运用.

技能

3.会进行二次根式的平方运算，会对被开方数为平方数的二次根式进行化简.

学1.经历观察、比较、概括二次根式的定义.

过程2.通过探究二次根式的条件和结果，达成知识目标2.

目方法

3.通过探究和肝所含运算、运算顺序、运算结果分析，归纳并掌握性质.

标

情感

培养学生观察、猜想、探究、归纳的习惯和能力，体验数学发现的乐趣.

态度

教学重点1.。有意义的条件.2.a20时0与0的应用.3.（板］和必的运算、化简

教学难点a<0时的化简.

教学过程设计

教学程序及教学内容师生行为设计意图

|•、复习引入点题，板书课题.让学生了解本章

导语设计：在勾股定理和四边形两章中，已经用到过简单的学习内容和本

的二次根式运算，在本章中将系统地学习二次根式的运算。课的学习目标.

本课只学习二次根式的概念及其三个运算性质.

|二、探究新知

学生独立完成后，教师算术平方根的意

（一）定义及非：!4性

订正；并引导学生观察义是得出二次根

活动1、填空,完成课本思考1:

得出：四个式子表示的式的性质的基

J65'->fs>4都是非负数的算术平础，复习算术平

方根.方根的意义便于

活动2、观察］I形式上的共同点，被开方数的共同点，说明

教师可指出算术平方理解定义、归纳

各式所表示的共同意义.

二'次戒式的定义，介绍二次根式的读法.根即正的平方根.性质.

活动3、给出：

V65可读作二次根号让学生理解二次

活动4、思考一F列问题：

65,简称根号65（只有根式是按形式定

告果是3,、/6是不是二次根式？3是不是？

①彼的运算2二次可简称），也可读义的，并理解二

②定义中为什

么要加若a<0,表示什么？有无作65的算术平方根.次根式存在的条

意义？可由学生思考后进行件和运算结果的

③当a=0时，J7表示什么？结果是什么？当a>0时，JZ讨论，然后教师订正，非负性.

表示什么？nj「不可能为负数？右（。20）是什么样的数最后师生共同归纳得

呢？出性质1：

4a（a20）是一个非

例1、当X是二点样的实数时，下列二次根式有意义？在下列负数1

二次根式有意义的情况下，其运算结果是怎样的实数？通过例题分析和

Jx-2，__.J/+3师生共同分析归纳出练习加深对二次

TT使二次根式有意义的根式“运算结果

练习：1、课小:思考2：当X是怎样的实数时，叱，JF有条件:不是使字母为非和被开方数双非

意义？负数，而是使被开方数负”的理解.

为非负数，且还要考虑

1、Jx-2--,则x和m的取值范围是x；m.

二次根式的位置.

2、已知4T5+Jy-5=0，求x,y的值各是多少？先具体后抽象，

先练习后归纳，

（二）两个运算十生质一可培养学生数

活动5、完成i果本探究1感，二可有利于

性质的得出，三

要求学生会用算术平

可加深对性质的

活动6、对Q曲中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳方根的意义解释

理解.

出：一个非负数先开方再平方，结果不变.（⑸=2.

练习：课本例2师生共同归纳得出性

质2：

活动7、完成课本探究2对运算顺序的分

)=〃(QN0)

析在于弄清两种

运算的区别，从

活动8、对府中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：

仍要求用算术平方根而弄清对字母a

一个非负数先平方再开方，结果不变；一个负数先平方再的要求不同，计

的意义解释后=2.

开方结果为相反数.算结果也因a而

师生共同归纳出性质

异.

3：

练习：课本例3Ja*=ci{ci20)补充练习在于强

补充练习：1、化简：’（万-4）2,"（2-75）2;化二次根式的结

果具有非负性，

2、直角三角形的三边分别为a,b,c,其中c为斜边，则

找学生板演，说明解题也促使学生养成

式子/卜小］与式子J仅-%有什么关系？过程解题先观察的习

引导学生先观察、分

惯。

析，解题后养成说明理

三、课堂训练由的反思习惯.

完成课本中两个练习.

有时间可补充：1、=m成立的条件是________.进一步体会“两个

2、而斤=加成立的条件是_______.非负”.

四、小结归纳

教师巡视指导，收集学

1、二次根式白'J概念及“被开方数非负”的条件和“运算结

生掌握情况，并集中订

果非负”的性质.

正.

2、二次根式白勺两个运算性质，平方为“父对象”，开方为

这里只要求学生

“子对象”.

知道“什么是代数

3、简单介绍彳灯数式的概念.

教师归纳总结，学生边式”即可，不要求

4、重复演示B1件呈现练习题，供学生记录.

听边作笔记.掌握“什么叫代数

五、作业设计

式”.

必做：P5：1、2、3、4、5、6

选做：P6：7、8

教学反思

教学时间课题21.2二次根式的乘除（第1课时）课型新授

教学媒体多媒体

知识1.会运用二次根式乘法法则进行二次根式的乘法运算.

教技能2.会利用积的算术平方根性质化简二次根式.

学1.经历观察、比较、概括二次根式乘法公式，通过公式的双向性得到积的算术平方根

性质.

过程

2.通过例题分析和学生练习，达成目标1,2,认识到乘法法则只是进行乘法运算的第

目方法

一步，之后如果需要化简，进行化简，并逐步领悟被开方数的最优分解因数或因式的

方法.

标

情感

培养学生观察、猜想的习惯和能力，勇于探索知识之间内在联系.

态度

教学重点双向运用，、5=，丁（。）0,b20）进行二次根式乘法运算.

教学难点被开方数的最优分解因数或因式的方法.

教学过程设计

教学程序及教学内容师生行为设计意图

|一、复习引入

点题，板书课题.

导语设计：上.节课学习了二次根式的定义和三个性质，这节

课开始学习二次根式的运算，先来学习乘法运算。

二、探究新知

（一一）二次根式另市法法贝IJ学生计算，观察对比，

活动1、1.填写L完成课本探究1找规律让学生经历从特殊

2用1中所发现的规律比较大小到一般的认知过

程，培养数感.

736X/____J36x4;>[2X后_____而

结合探究内容师生总使学生理解二次根

二次根式的乘法法则

活动2、给出一结式乘法的前提是二

活动3、思考一F列问题:次根式有意义.

①公式中为彳十么要加a>O,bNO?教师组织学生小组交

②两个二次才艮式相乘其实就是________不变,___________相流，进行讨论.乘法法则推广使学

乘生初步掌握如何计

V7（a》O,b》O,c>0）=____________算二次根式乘法.

练习：课本矽U1,在（1）（2）之后补充（3）反学生板演

归纳：运算W）第一步是应用二次根式乘法法则，最终结果

使学生学会化简二

尽量简化.

次根式

（二）积的算术平方根性质利用它就可以将二

次根式化简

活动4.将二次根式乘法公式逆用得到积的算术平方根性质双向使用公式，熟

练进行计算

完成课本例2,在（1）（2）之间补充闻

教师归纳总结，学生

归纳：化简二7欠根式实质就是先将被开方数因数分解或因式

边听边作笔记.形成运用技巧，便

分解，然年7再将能开的尽方的因数或因式开方后移到根找学生说明解题过程，于解题速度与正

号外.引导学生先观察、分确率的

例3.计算：析，解题后养成说明理

由的反思习惯.

(1)V14x(2)3-^5x2J10;(3)43x-xy

分析：(1)第一步被开方数相乘，不必急于得出结果，而

深化理解公式及

是先观察因式或因数的特点，再确定是否需要利用乘法指导学生交流，教师总

运用，提高解题能

交换律和结合律以及乘方知识将被开方数的积变形为最结

力.

大平方数或式与剩余部分的积，最后将最大平方数或式

开方后移到根号外.纳入知识系统

(2)运用乘法交换律和结合律将不含根号的数或式与含根

号的数或式分别相乘，再把这两个积相乘.，之后同(1).

三、课堂训练学生独立练习，巩固

完成课本练习.新知

补充：1.Jx+1,Jx-1=-1成立，求X的取值范围.

组织学生交流，讨论，

2.化简：4--y(x<0)达成共识.

四、小结归纳

1.二次根式乘法公式的双向运用；师生共同归纳

2.进行二次根式乘法运算的一般步骤，观察式子特点灵活选

取最优解法.

五、作业设计

必做：P12：1、3(1)(2),4

补充作业：

1.计算：

()1V?xV5；(2)xJ27；

(3)V5xV15；(4)372x478.

2.化简：

(I)j27x2y3；(2)^y--y/18ab~.

3.等边三角形的边长是3,求这个等边三角形的面积

教学反思

教学时间课题21.2二次根式的乘除（第2课时）课型新授

教学媒体多媒体

L会运用二次根式除法法则进行二次根式的除法运算.

知识2.会利用商的算术平方根性质化简二次根式.

教

技能3.理解最简二次根式概念，知道二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次

根式.

学

1.经历观察、比较、习，达成目标1,2,认识到除法法则只是进行除法运算的第一步，

过程之后如果需要化简，进行化筒.也可运用概括二次根式除法公式，通过公式的双向性

目

方法得到商的算术平方根性质.

2.通过例题分析和学生练习分母有理化方法进行二次根式除法.

标

情感

类比二次根式的乘法进行知识与方法的迁移，获得新知，体验探索的乐趣.

态度

双向运用济,E>0,/,>o）进行二次根式除法运算-

教学重点（fl

教学难点能使用分母有理化方法进行二次根式的除法运算

教学过程设计

教学程序及教学内容师生行为设计意图

・、复习引入

导语设计：上节课学习了二次根式的乘法，这节课学习二次根式点题，板书课题.

的除法运算.

二、探究新知学生计算，观

察对比，类比

（一）二次根式除法法则

上节课知识找

活动1、1.填空，完成课本探究1让学生经历从特殊

规律

2.用1中所发现的规律比较大小到一般的认知过

程，培养数感.

叵____/I;巫_______匡结合探究内容

J8V8/V5师生总结

使学生理解二次

活动2、给出二次根式的除法法则教师组织学生

根式除法的前提

活动3、思考下列问题：小组交流，进

是二次根式有意

①公式中为什么要加a20,b>0?行讨论.

义.

②两个二次根式相除其实就是_______不变，__________相除

学生板演，师生

T

练习：课本例4,在（1）（2）之后补充（3）〃7+J7订正

归纳：运算的第•步是应用二次根式除法法则，最终结果尽量简学生板演并讲

匕解解题过程及

（二）商的算术平方根性质依据使学生初步学会

活动4.将二次根式除法公式逆用得到商的算术平方根性质化简被开方式含

找学生说明解

完成课本例5有分数线的二次

题过程，引导学

归纳：化简被开方式含有分数线的二次根式，就是将分子的算术根式

生先观察、分

平方根做分子，分母的算术平方根做分母，再利用积的算术平析，解题后养成

方根分别化简.说明理由的反

例6.计算：思习惯.双向使用公式，熟

(1)在(2）生"；（3）提练灵活进行计算

指导学生交流，

分析：第一步可以把被开方数相除，然后告诉学生被开方数中不

教师总结形成运用技巧，以

能含有分母，数必须是整数，利用分数的基本性质将分母变成提高解题速度与

完全平方数，开方后移到根号外；也可以直接模仿分数的基本正确率

学生观察刚做

性质和公式（〃y=a,疝布=痴520120）,以去过的题的结

果，含根式的

掉分母中的根号.

结果中根式的让学生通过结果

（三）最简二次根式概念特点.教师及时的最终性初步感

活动5、让学生观察所做习题结果，总结归纳结果的特点，得到肯定学生的结知最简二次根式

最简二次根式的概念.论并加以引导的概念，继而理解

分析概念：1.被开方数不含分母的含义指--因数是整数，因式是和整理汇总.概念，并为以后的

计算和化简的结

整式；2.被开方数中不能含开得尽方的因数是指--被开方数

果设立标准

不能分解出完全平方数；被开方数中不含开得尽方的因式是指

学生说解题方

--被开方数的每一个因式的指数都小于根指数2,因此，每法，书写解题强调被开方数是

一个因式的指数都是1.过程体会化简和式的二次根式

完成课本例7二次根式再实的化简办法

际问题中的应

补充：化简Jx2y4+/y2

用

注意：被开方数是和式时，结果不等于各加数的算术平方根的和.

学生独立完成熟练计算和解题

三、课堂训练|巩固新知

完成课本练习深化理解公式及

补充：学生思考，讨运用

1.4+1一界成立，求x的取值范围.论，阐述个人

使学生能判断最

见解

2.找出下列根式中的最简二次根式简二次根式

p^6x2yjx2+y2VOJ让学生观察，

寻找并解释，

正确化简二次根

3.判断下列等式是否成立能将不是的进

式

J16+9=4+32/=6/行化简

店=2栏让学生观察，

判断，将不成纳入知识系统

|四、小结归纳立的正确求解

1.二次根式除法公式的双向运用；

2.进行二次根式除法运算的一般步骤，观察式子特点灵活选取最师生共同归纳

优解法.

3.最简二次根式概念

五、作业设讨

必做：P12：2、3（3）⑷、5、6、7

选做:P12：8、9、10

教学反思

教学时间课题21.2二次根式的加减（第1课时）课型新授

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1.知道在有理数范围内成立的运算律在实数范围内仍然成立.

知识

教2.能熟练将二次根式化简成最简二次根式.

技能

3.会运用二次根式加减法法则进行二次根式的加减运算.

学

1.类比整式加减得到二次根式加减的方法，二者都是系数的加减运算.

过程

2.在学习过程中体会有理数、整式、二次根式运算之间的联系，感受数的扩充过程中

目方法

运算性质和运算律的一致性以及数式通性.

标情感

学生温故知新，渗透类比思想，培养自主学习意识.

态度

教学重点二次根式加减法运算方法

教学难点二次根式的化简，合并被开方数相同的最简二次根式

教学过程设计

教学程序及教学内容师生行为设计意图

一、复习引入

导语设计：上节课学习了二次根式的乘除法，这节课学习二次根点题，板书课题.

式的加减法运算.

二、探究新知|

（一）二次根式加减法法则

学生计算，观察

活动1、类比计算，说明理由对比，类比整式让学生尝试经历

①2°+3a;2VT+3VT.加减知识尝试计从已知到未知的

②2a-3“;2VF-3VF.算迁移，感受数式

@V3++ViF通性.

④6+.-拒

思考：（1）在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内能否继为总结二次根式

续使用？教师组织学生小的加减法法则做

组交流，进行讨铺垫

（2）二次根式的加减运算与整式的加减运算相同之处是什

论.

么？

（3）什么样的二次根式能够合并？

（4）模仿整式的加减运算怎样进行二次根式的加减运算？

结合探究内容师更好地理解和

活动2、给出二次根式的加减法法则

生总结运用法则

分析法则：二次根式加减时，先将非最简二次根式化为最简二次

根式，再逆用乘法分配律将被开方数相同的二次根式进行合并.被

开方数不同的最简二次根式不能合并，作为最后结果中的部分.初步进行计算，

并强化去括号

练习：①课本例1,之后补充（3）V2-V18（4）

学生板演，并说明后的符号变化

每一步的依据，然

②课本例2,之后补充（后一用_（小时后师生订正.

分析说明：①中补充(3)结果为负，(4)含分数线，作为例1,

例2的过渡。②中补充括号前是负号的.

感受二次根式

(二)二次根式加减的应用

加减的实际应

1.课本引例用

分析：这个实际问题的解决方法可能不同，还可以先估算两个正让学生认真审题，

方形的边长，，再把它们的和与木板的长比较.分析，并阐述，

2.课本例3然后师生交流，学

分析：利用勾股定理解决实际问题，运用二次根式的加减进行计生进行计算.

算，计算的最后一步取近似值，使结果更精确.

三、课堂训练|

熟练计算和解

完成课本练习学生独立完成练

题

.补充：习，巩固新知，师生

1.下列各组三多根式中，化简后被开方式相同的是()订正

2

A.与yJabB.丁小？+〃？与J机？一〃？正确化简二次

〃4"…j2根式

2.二次根式的计算为什么先学乘除，后学加减？还有哪块知识也是

如此？引导学生先观察、

四、小结归纳分析，找学生说明纳入知识系统

1.进行二次根式加减运算的•般步骤.解题思路，解题后

2.二次根式的熟练化筒.养成说明理由的

2.二次根式加减的实际应用.反思习惯.

五、作业设计

指导学生交流，教

必做：P17：1、2、3

师总结

选做:5

补充作业：

计算：

(1)3V2-V2；(2)2V12+V27；

(3)_^21；(4)V4%2+2J2x；

(5)V2?-A/2«-XJ;(6)瓜-底+也;

(7)V7T-V5T+V%--VioT；

(8)-x/3-)--(V2-V27")

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教学反思

教学时间课题21.2二次根式的加减（第2课时）课型新授

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知识在有理数的混合运算及整式的混合运算的基础上，使学生了解二次根式的混合运算与以

教技能前所学知识的关系，在比较中求得方法，并能熟练地进行二次根式的