上海市华师大三附中2025届数学高二上期末调研模拟试题含解析

上海市华师大三附中2025届数学高二上期末调研模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线的左焦点为F，O为坐标原点，M，N两点分别在C的左、右两支上，若四边形OFMN为菱形，则C的离心率为（）A. B.C. D.2．在数列中，，则此数列最大项的值是（）A.102 B.C. D.1083．加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆的蒙日圆的半径为（）A.3 B.4C.5 D.64．已知等比数列满足，，则数列前6项的和（）A.510 B.126C.256 D.5125．函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A.个 B.个C.个 D.个6．已知点，点关于原点对称点为，则（）A. B.C. D.7．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与圆相切于点，交双曲线的右支于点，且点是线段的中点，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.8．如图是抛物线形拱桥，当水面在n时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为（）A. B.C. D.9．过抛物线的焦点引斜率为1的直线，交抛物线于，两点，则（）A.4 B.6C.8 D.1010．若构成空间向量的一组基底，则下列向量不共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，11．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.12．某次生物实验6个小组的耗材质量（单位：千克）分别为1.71，1.58，1.63，1.43，1.85，1.67，则这组数据的中位数是（）A.1.63 B.1.67C.1.64 D.1.65二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．圆被直线所截得弦的最短长度为___________.14．已知圆被轴截得的弦长为4，被轴分成两部分的弧长之比为1∶2，则圆心的轨迹方程为______，若点，，则周长的最小值为______15．已知曲线与曲线有相同的切线，则________16．“第七届全国画院美术作品展”于2021年12月2日至2022年2月20日在郑州美术馆展出.已知某油画作品高2米，宽6米，画的底部离地有2.7米（如图所示）.有一身高为1.8米的游客从正面观赏它（该游客头顶E到眼睛C的距离为10），设该游客离墙距离CD为x米，视角为.为使观赏视角最大，x应为___________米.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数满足.（1）求的解析式，并判断其奇偶性；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围.18．（12分）已知函数,.(1)讨论函数的单调性;(2)若不等式在上恒成立,求实数的取值范围.19．（12分）在平面直角坐标系中，已知点，，过点的动直线与过点的动直线的交点为P，，的斜率均存在且乘积为，设动点Р的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程;（2）若点M在曲线C上，过点M且垂直于OM的直线交C于另一点N，点M关于原点O的对称点为Q.直线NQ交x轴于点T，求的最大值.20．（12分）已知函数（a为非零常数）（1）若f（x）在处的切线经过点（2，ln2），求实数a的值；（2）有两个极值点，.①求实数a的取值范围；②若，证明：.21．（12分）在中，其顶点坐标为.（1）求直线的方程；（2）求的面积.22．（10分）已知函数.（1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由题意可得且，从而求出点的坐标，将其代入双曲线方程中，即可得出离心率.【详解】由题意，四边形为菱形，如图，则且，分别为的左，右支上的点，设点在第二象限，在第一象限.由双曲线的对称性，可得，过点作轴交轴于点，则，所以,则，所以，所以，则，即，解得，或，由双曲线的离心率，所以取，则故选：C2、D【解析】将将看作一个二次函数，利用二次函数的性质求解.【详解】将看作一个二次函数，其对称轴为，开口向下，因为，所以当时，取得最大值，故选：D3、A【解析】由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径.【详解】由蒙日圆的定义，可知椭圆的两条切线的交点在圆上，所以，故选：A4、B【解析】设等比数列的公比为，由题设条件，求得，再结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】设等比数列的公比为，因为，，可得，解得，所以数列前6项的和.故选：B.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列的前项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.5、A【解析】利用极小值的定义判断可得出结论.【详解】由导函数在区间内的图象可知，函数在内的图象与轴有四个公共点，在从左到右第一个点处导数左正右负，在从左到右第二个点处导数左负右正，在从左到右第三个点处导数左正右正，在从左到右第四个点处导数左正右负，所以函数在开区间内的极小值点有个，故选：A.6、C【解析】根据空间两点间距离公式，结合对称性进行求解即可.【详解】因为点关于原点的对称点为，所以,因此，故选：C7、D【解析】焦点三角形问题，可结合为三角形的中位线，判断：焦点三角形为直角三角形，并且有，，可由勾股定理得出关系，从而得到关系，从而求得渐近线方程.【详解】由题意知，，且点是线段的中点，点是线段的中点，为三角形的中位线故，故，由双曲线定义有由勾股定理有故则则，故故渐近线方程为：故选：D【点睛】双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|PF2||＝2a，得到a，c的关系8、D【解析】由题建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，结合条件即求.【详解】建立如图所示的直角坐标系：设抛物线方程为，由题意知：在抛物线上，即，解得：，，当水位下降1米后，即将代入，即，解得：，∴水面宽为米.故选：D.9、C【解析】由题意可得，的方程为，设、，联立直线与抛物线方程可求，利用抛物线的定义计算即可求解.【详解】由上可得：焦点，直线的方程为，设，，由，可得，则有，由抛物线的定义可得：，故选：C.10、C【解析】根据空间向量共面的条件即可解答.【详解】对于A，由，所以，，共面；对于B，由，所以，，共面；对于D，，所以，，共面，故选：C.11、D【解析】根据题意参变分离得到，求出的最小值，进而求出实数a的取值范围.【详解】由题意得：在上恒成立，即，其中在处取得最小值，，所以，解得：，故选：D12、D【解析】将已有数据从小到大排序，根据中位数的定义确定该组数据的中位数.【详解】由题设，将数据从小到大排序可得：，∴中位数为.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】首先确定直线所过定点；由圆的方程可确定圆心和半径，进而求得圆心到的距离，由此可知所求最短长度为.【详解】由得：，直线恒过点；，在圆内；又圆的圆心为，半径，圆心到点的距离，所截得弦的最短长度为.故答案为：.14、①.②.【解析】设，圆半径为，进而根据题意得，，进而得其轨迹方程为双曲线，再根据双曲线的定义，将周长转化为求的最小值，进而求解.【详解】解：如图1，因为圆被轴截得的弦长为4，被轴分成两部分的弧长之比为1∶2，所以，，所以中点，则，，所以，故设，圆半径为，则，，，所以，即所以圆心的轨迹方程为，表示双曲线，焦点为，，如图2，连接，由双曲线的定义得，即，所以周长为，因为，所以周长的最小值为故答案为：；.15、0【解析】设切点分别为，．利用导数的几何意义可得，则．由，，计算可得，进而求得点坐标代入方程即可求得结果.【详解】设切点分别为，由题意可得，则，即因为，，所以，即，解得，所以，则，解得故答案为：016、【解析】设，进而得到，，从而求出，再利用基本不等式即可求得答案.【详解】设，则，，所以，当且仅当时取“=”.所以该游客离墙距离为米时，观赏视角最大.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），是奇函数（2）【解析】(1)由求出，进而求得的解析式，利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性即可；(2)根据幂函数的单调性可得函数的单调性，求出函数的最小值，将不等式恒成立转化为对任意使得恒成立即可.【小问1详解】因为，所以，所以.所以.的定义城为，且，所以是奇函数.【小问2详解】因为，在上均为增函数，所以在上增函数，所以.对任意，不等式恒成立，则，所以，即实数a的取值范固为.18、（1）时，函数在单调递增，无减区间；时，函数在单调递增，在单调递减.（2）.【解析】（1）对求导得到，分和进行讨论，判断出的正负，从而得到的单调性；（2）设函数，分和进行讨论，根据的单调性和零点，得到答案.【详解】解:（1）函数定义域是，，当时，，函数在单调递增，无减区间；当时，令，得到，即，所以，，单调递增，，，单调递减，综上所述，时，函数在单调递增，无减区间；时，函数在单调递增，在单调递减.（2）由已知在恒成立，令，，可得，则，所以在递增，所以，①当时，，在递增，所以成立，符合题意.②当时，，当时，，∴，使，即时，在递减，，不符合题意.综上得【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性，根据导数解决不等式恒成立问题，属于中档题.19、（1）（2）【解析】（1）设点坐标为，根据两直线的斜率之积为得到方程，整理即可；（2）设，，，根据设、在椭圆上，则，再由，则，即可表示出直线、的方程，联立两直线方程，即可得到点的纵坐标，再根据弦长公式得到，令，则，最后利用基本不等式计算可得；【小问1详解】解：设点坐标为，定点，，直线与直线的斜率之积为，，【小问2详解】解：设，，，则，，所以又，所以，又即，则直线：，直线：，由，解得，即，所以令，则，所以因为，当且仅当即时取等号，所以的最大值为；20、（1）（2）①（0，1）；②证明见解析【解析】小问1先求出切线方程，再将点（2，ln2），代入即可求出a的值；小问2的①通过求导，再结合函数的单调性求出a的取值范围；②结合已知条件，构造新函数即可得到证明.【小问1详解】，∴切线方程为，将点代入解得：【小问2详解】①当时，即时，，f（x）在（-1，+∞）上单调递增；f（x）无极值点，当时，由得，，故f（x）在（-1，-）上单调递增，在（-，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，f（x）有两个极值点；.当时，由得，，f（x）（，）上单调递减，在（，+∞）上单调递此时，f（x）有1个极值点，综上，当时，f（x）有两个极值点，即，即a的范围是（0，1）②由（2）可知，又由可知，可得.要证，即证，即证，即证即证令函数，x（0，1），故t（x）在（0，1）上单调递增，又所以在上恒成立，即所以.21、（1）（2）【解析】（1）先求出AB的斜率，再利用点斜式写出方程即可；（2）先求出，再求出C到AB的距离即可得到答案.【