湖北省黄冈、襄阳市2025届高一上数学期末统考试题含解析

湖北省黄冈、襄阳市2025届高一上数学期末统考试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最大值为A. B.C. D.2．若扇形圆心角的弧度数为，且扇形弧所对的弦长也是，则这个扇形的面积为A. B.C. D.3．下列说法正确的是A.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 B.底面是矩形的平行六面体是长方体C.棱柱的底面一定是平行四边形 D.棱锥的底面一定是三角形4．定义在上的函数，当时，，若，则、、的大小关系为（）A. B.C. D.5．已知两直线，.若，则的值为A.0 B.0或4C.-1或 D.6．若曲线上所有点都在轴上方，则的取值范围是A. B.C. D.7．已知角终边经过点，且，则的值是（）A. B.C. D.8．已知集合A={0，1}，B={-1，0}，则A∩B=（）A.0， B.C. D.9．已知函数，函数，若有两个零点，则m的取值范围是（）A. B.C. D.10．已知，，，则的边上的高线所在的直线方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知与是两个不共线的向量，且向量(+λ)与(-3)共线，则λ的值为_____.12．______________13．化简的结果为______.14．已知fx是定义域为R的奇函数，且当x>0时，fx=ln15．已知函数，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是________.16．若是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为________．（写出所有真命题的序号）①若直线，则在平面内，一定不存在与直线平行的直线②若直线，则在平面内，一定存在无数条直线与直线垂直③若直线，则在平面内，不一定存在与直线垂直的直线④若直线，则在平面内，一定存在与直线垂直的直线三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM＝R，∠MOP＝45°，OB与OM之间的夹角为θ.（1）将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数.（2）若R＝45m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S最大？最大面积是多少？(取＝1.414)18．设函数（且，）（1）若是定义在R上的偶函数，求实数k的值；（2）若，对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围19．已知，，，请在①②，③中任选一个条件，补充在横线上（1）求的值；（2）求的值20．若函数的自变量的取值范围为时，函数值的取值范围恰为，就称区间为的一个“和谐区间”.（1）先判断“函数没有“和谐区间”是否正确，再写出函数“和谐区间”；（2）若是定义在上的奇函数，当时，.（i）求的“和谐区间”；（ii）若函数的图象是在定义域内所有“和谐区间”上的图象，是否存在实数，使集合恰含有个元素，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.21．已知直线经过直线与的交点.(1)点到直线的距离为3，求直线的方程；(2)求点到直线的距离的最大值,并求距离最大时的直线的方程

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】∵由得，∴函数（且）的图像恒过定点，∵点在直线上，∴，∵，当且仅当，即时取等号，∴，∴最大值为，故选D【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误2、A【解析】分析：求出扇形的半径，然后利用扇形的面积公式求解即可.详解：由题意得扇形的半径为：又由扇形面积公式得该扇形的面积为：.故选：A.点睛：本题是基础题，考查扇形的半径的求法、面积的求法，考查计算能力，注意扇形面积公式的应用.3、A【解析】对于B．底面是矩形的平行六面体，它的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体，故B错；对于C．棱柱的底面是平面多边形，不一定是平行四边形，故C错；对于D．棱锥的底面是平面多边形，不一定是三角形，故D错；故选A考点：1．命题的真假；2．空间几何体的特征4、C【解析】令，求得，得到是奇函数，再令，证得在上递减判断.【详解】因为，令，得，解得，令，得，所以是奇函数，因时，，则，，令，则，，且，则，，所以，即，即，所以在上递减，，因为，所以，故选：C5、B【解析】分两种情况：一、斜率不存在，即此时满足题意；二、斜率存在即，此时两斜率分别为，，因为两直线平行，所以，解得或(舍)，故选B考点：由两直线斜率判断两直线平行6、C【解析】曲线化标准形式为：圆心，半径，，即，∴故选C7、A【解析】由终边上的点及正切值求参数m，再根据正弦函数的定义求.【详解】由题设，，可得，所以.故选：A8、B【解析】利用交集定义直接求解【详解】解：∵集合A={0，1}，B={-1，0}，∴A∩B={0}故选B【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义,是基础题9、A【解析】存在两个零点，等价于与的图像有两个交点，数形结合求解.【详解】存在两个零点，等价于与的图像有两个交点，在同一直角坐标系中绘制两个函数的图像：由图可知，当直线在处的函数值小于等于1，即可保证图像有两个交点，故：，解得：故选：A.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解.10、A【解析】先计算，得到高线的斜率，又高线过点，计算得到答案.【详解】，高线过点∴边上的高线所在的直线方程为，即.故选【点睛】本题考查了高线的计算，利用斜率相乘为是解题的关键.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、-【解析】由向量共线可得+λ=k((-3)，计算即可.【详解】由向量共线可得+λ=k((-3)，即+λ=k-3k，∴解得λ=-.故答案为：-12、【解析】利用指数的运算法则和对数的运算法则即求.【详解】原式.故答案为：.13、0【解析】由对数的运算求解即可.【详解】故答案为：14、1【解析】首先根据x>0时fx的解析式求出f1【详解】因为当x>0时，fx=ln又因为fx是定义域为R的奇函数，所以f故答案为：1.15、【解析】本题首先可根据函数解析式得出函数在区间和上均有两个零点，然后根据在区间上有两个零点得出，最后根据函数在区间上有两个零点解得，即可得出结果.【详解】当时，令，得，即，该方程至多两个根；当时，令，得，该方程至多两个根，因为函数恰有4个不同的零点，所以函数在区间和上均有两个零点，函数在区间上有两个零点，即直线与函数在区间上有两个交点，当时，；当时，，此时函数的值域为，则，解得，若函数在区间上也有两个零点，令，解得，，则，解得，综上所述，实数的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查根据函数零点数目求参数的取值范围，可将其转化为两个函数的交点数目进行求解，考查函数最值的应用，考查推理能力与计算能力，考查分类讨论思想，是难题.16、②④【解析】①当时，在平面内存在与直线平行的直线．②若直线，则平面的交线必与直线垂直，而在平面内与平面的交线平行的直线有无数条，因此在平面内，一定存在无数条直线与直线垂直．③当直线为平面的交线时，在平面内一定存在与直线垂直的直线．④当直线为平面的交线，或与交线平行，或垂直于平面时，显然在平面内一定存在与直线垂直的直线．当直线为平面斜线时，过直线上一点作直线垂直平面，设直线在平面上射影为，则平面内作直线垂直于，则必有直线垂直于直线，因此在平面内，一定存在与直线垂直的直线考点：直线与平面平行与垂直关系三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）S＝R2sin－R2，θ∈；（2）当θ＝时，矩形ABCD面积S最大，最大面积为838.35m2.【解析】（1）设OM与BC的交点为F，用表示出，，，从而可得面积的表达式；（2）结合正弦函数的性质求得最大值【详解】解：（1）由题意，可知点M为PQ的中点，所以OM⊥AD.设OM与BC的交点为F，则BC＝2Rsinθ，OF＝Rcosθ，所以AB＝OF－AD＝Rcosθ－Rsinθ.所以S＝AB·BC＝2Rsinθ(Rcosθ－Rsinθ)＝R2(2sinθcosθ－2sin2θ)＝R2(sin2θ－1＋cos2θ)＝R2sin－R2，θ∈.（2）因为θ∈，所以2θ＋∈，所以当2θ＋，即θ＝时，S有最大值.Smax＝(－1)R2＝(－1)×452＝0.414×2025＝838.35(m2).故当θ＝时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积为838.35m2.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的应用，解题关键是利用表示出矩形的边长，从而得矩形面积．利用三角函数恒等变换公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质求得最大值18、（1）1（2）【解析】（1）由函数奇偶性列出等量关系，求出实数k的值；（2）对原式进行化简，得到对恒成立，分和两种情况分类讨论，求出实数a的取值范围.【小问1详解】由可得，即对恒成立，可解得:【小问2详解】当时，有由，即有，且故有对恒成立，①若，则显然成立②若，则函数在上单调递增故有，解得：；综上：实数a的取值范围为19、（1）；（2）.【解析】（1）根据所选的条件求得，，再由差角正弦公式求的值；（2）由题设可得，进而可得，结合及差角余弦公式，即可求值.【小问1详解】由，则：若选①，由，，得，，若选②，由得：，所以，若选③，由得，，，，所以.【小问2详解】∵，∴，又，∴∴.20、（1）正确，；（2）（i）和，（ii）存在符合题意，理由见解析.【解析】（1）根据和谐区间的定义判断两个函数即可；（2）（i）根据是奇函数求出的解析式，再利用“和谐区间”的定义求出的“和谐区间”，（ii）由（i）可得的解析式，由与都是奇函数，问题转化为与的图象在第一象限内有一个交点，由单调性求出的端点坐标，代入可得临界值即可求解.【小问1详解】函数定义域为，且为奇函数，当时，单调递减，任意的，则，所以时，没有“和谐区间”，同理时，没有“和谐区间”，所以“函数没有“和谐区间”是正确的，在上单调递减，所以在上单调递减，所以值域为，即，所以，所以，是方程的两根,因为，解得，所以函数的“和谐区间”为.【小问2详解】（i）因为当时，所以当时，，所以因为是定义在上的奇函数，所以，所以当时，，可得，设，因为在上单调递减，所以，，所以，，所以，是方程的两个不相等的正数根，即，是方程的两个不相等的正数根，且，所以，，所以在区间上的“和谐区间”是，同理可得，在区间上的“和谐区间”是.所以的“和谐区间”是和，（ii）存在，理由如下：因为函数的图象是以在定义域内所有“和谐区间”上的图象，所以若集合恰含有个元素，等价于函数与函数的图象有两个交点，且一个交点在第一象限，一个交点在第三象限.因为与都是奇函数，所以只需考虑与的图象在第一象限内有一个交点.因为在区间上单调递减，所以曲线的两个端点为，.因为，所以的零点是，，或所以当的图象过点时，，；当图象过点时，，，所以当时，与的图象在第一象限内有一个交点.所以与的图象有两个交点.所以的取值范围是.21、(1)x＝2或4x－3y－5＝0(2)见解析【解析】（1）设过两直