南京市联合体2024-2025九年级上学期期中数学试卷及答案

南京市联合体2024−2025第一学期期中学情分析练习卷九年级数学一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）1.下列是关于x的一元二次方程的是（）A. B.C. D.2.已知⊙O的半径为1，点P在⊙O外，则OP的长（）A.大于1 B.小于1 C.大于2 D.小于23.下列方程中，有两个相等实数根的是（）A. B. C. D.4.小明在处理一组数据“12，12，28，15，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（）A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差5.如图，已知点，，，都在上，，，下列说法错误的是（）A. B.C. D.6.如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是的内心．其中所有正确说法的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）7.一组数据为1，，3，2，则这组数据的极差是__________．8.写出一个解为1和2的一元二次方程：___________________．9.某公司对应聘者进行创新、综合知识、语言三项测试，其三项成绩分别为72分、50分、88分，若给这三个分数分别权1，2，1，则应聘者的加权平均分数为______分．10.用半径为30，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是______．11.一元二次方程的两根是，，且，则的值为________．12.如图，是的弦，，垂足为C，将劣弧沿弦折叠交于点D，，若，则的半径为_________．13.如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点D，交于点E，则扇形面积为__________．14.如图，正八边形，连接交于点I，则___________．15.对于两个不相等的实数，，规定表示，中较大的数，例如．则方程的解为__________________．16.如图，在边长为5的正方形中，点E，F，G分别在边上，与交于点P，，，则长的最小值为____________．三、解答题（本大题共11小题，共88分．）17.解方程：（1）（2）18.某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息：

平均数众数中位数七年级参赛学生成绩m87八年级参赛学生成绩85n根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：_____________，______________；（2）七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为和请判断_____________；（填“>”、“<”或“=”）；（3）请你根据统计知识，利用数据对七、八年级的成绩进行比较与评价．19.如图，用篱笆围成一块矩形花圃，该花圃一侧靠墙，而且有一道隔栏（隔栏也用篱笆制作），已知所用篱笆的总长为24m，花圃的面积为45，墙的最大可用长度为10m，求边的长．20.已知关于x的一元二次方程（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有实数根；（2）若方程的一个根是另一个根的两倍，求方程的两个根．21.如图，在的内接四边形中，，对角线是的直径．求证：四边形是矩形．22.某种商品原价为100元，经过连续两次降价，发现第二次降价后的价格比第一次降价后的价格少16元．若两次降价的百分率相同且不超过，求降价的百分率．23.用直尺和圆规作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积．（1）如图①，已知扇形，过点O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；（2）如图②，已知扇形，作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明）24.某商家购进一批产品，成本为10元/件，分为“线上”和“线下”两种销售方式．“线上”销售时：售价为16元/件，且每件产品商家需多付2元快递费；“线下”销售时：售价为12元时，线下月销量为1200件，售价每增加1元，线下月销量就减少100件．该商家本月计划购进1500件，预计全部售完，且“线上”销量小于“线下”销量．“线下”如何定价才可使“线上”和“线下”的月利润共可达到6900元？25.定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“和谐方程”．例如，方程是“和谐方程”．（1）下列方程是“和谐方程”的是．①；②；③．（2）若方程是“和谐方程”，求m的值．（3）若方程为“和谐方程”，直接写出b，c满足的数量关系．26.如图，在中，过点的与，分别相切于点，，交，交于点，．连接，．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，，求的半径．27.【问题提出】当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想？【数学眼光】如图①，设墙壁上的展品最高处点A距离地面a米，最低处点B距离地面b米，观赏者的眼睛点C距离地面m米，当过A，B，C三点的圆与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想．【数学思维】小明同学想这是为什么呢？如图②，他在过点C水平线上任取异于点C的点，连接交于点D，连接，．（1）按照小明的思路完成证明过程；【问题解决】（2）如图③，若墙壁上展品最高处的点A距地面3米，最低处的点B距地面米，最大视角为，求此时观赏者站在距墙壁多远的地方最理想，并求出观赏者的眼睛点C与地面的距离？（3）如图③，设墙壁上的展品最高处的点A距地面a米，最低处的点B距地面b米，观赏者的眼睛点C距地面m米，直接写出最佳观赏距离的长．（用含a，b，m的代数式表示）南京市联合体2024−2025第一学期期中学情分析练习卷九年级数学一、选择题1.C2.A3.B4.B5.C6.D二、填空题7.48.9.6510.1011.－1012.513.14.67.515.，16.三、解答题17.（1），（2），18.（1）80，86（2）（3）从众数和方差上看，八年级比七年级成绩的大众水平较高，且较为稳定；从中位数看七年级成绩比八年级中等水平较高，综上，我认为八年级的成绩较好．19.∵，则矩形的长，依题意，得：即，当时，，舍去当时，成立答：边的长为5米20.（1）证明：由题意得，∵∴∴不论m为何值，该方程总有实数根（2）∵∴解得∵方程的一个根是另一个根的两倍∴或∴原方程的两个根为或21.证明：是的直径在和中又四边形是平行四边形平行四边形是矩形22.解：设降价的百分率为x由题意得：整理得：解得：两次降价的百分率相同且不超过答：降价百分率为23.（1）（2）24.解：设“线下”定价为x元/件，由题意得：整理得：解得：当时，“线上”销量小于“线下”销量，符合题意当时，“线上”销量大于“线下”销量，不符合题意，舍去答：“线下”定价为15元/件25.定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“和谐方程”．例如，方程是“和谐方程”．（1）下列方程是“和谐方程”的是．①；②；③．（2）若方程是“和谐方程”，求m的值．（3）若方程为“和谐方程”，直接写出b，c满足的数量关系．（1）②③；（2）解：∵∴∵方程是“和谐方程”∴∴即解得：（3）解：对于则∵方程为“和谐方程”∴∵∴，即（或）26.（1）证明：四边形是的内接四边形四边形是平行四边形，又四边形是平行四边形；（2）解：与，分别相切于点，，且，由（1）可得，四边形是平行四边形，，如图，连接交于点，连接，过点作