数学自主训练：弧度制

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1．下列命题中，错误的是（)A.“度”与“弧度"是度量角的两种不同的度量单位B.一度的角是周角的,一弧度的角是周角的C.根据弧度的定义,180°等于π弧度D。不论用角度制还是用弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关思路解析：由角和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制,角的大小与半径的长短无关，只与弧长与半径的比值有关。答案:D2．α是第三象限的角，则π+α是（）A。第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角思路解析：结合图形，π+α可以看成将α按顺时针旋转π得到的，则π+α是第一象限的角。答案：A3.如果一扇形的圆心角为72°,半径等于20cm，则扇形的面积为(）A.40πcm2B。80πcm2C.40cm2思路解析：先把角度化为弧度，然后利用弧度制下的扇形面积公式即可解出。72°=，S=｜α｜r2=××202=80πcm2.答案:B4．若扇形的面积是1cm2，它的周长是4cm,则扇形圆心角的弧度数为（)A。1B。2C.3思路解析：设扇形的半径为Ｒ，弧长为l，由已知条件可知解得所以扇形的圆心角度数为=2.答案：B5．若α、β满足—＜α＜β＜，则α—2β的取值范围是____________________。思路解析：由题意，得-＜α＜，-π＜—2β＜π，∴—＜α-2β＜。答案：（—，)6.1弧度的圆心角所对的弦长为2,求这个圆心角所对的弧长及扇形的面积.思路分析：解决此问题的关键是求圆的直径.图1-3—5解：如图所示，作OC⊥AB于C，则C为AB的中点,且AC=1，∠AOC=，∴r=OA==。则弧长l=｜α|·r=，面积S=lr=。我综合我发展7。在直径为10cm的轮子上有一长为6cm思路分析：P点在一新圆上，所以要求点P转过的弧长，需先求新圆的半径.解:P到圆心O的距离PO==4（cm)，即点P所在新圆的半径为4,又点P转过的角的弧度数α=5×5=25,所以弧长为α·OP=25×4=100（cm）。即点P转过的弧长为100cm.8.如图1—3—6，动点P、Q从点（4,0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度,点Q按顺时针方向每秒钟转弧度,求P、Q第一次相遇时所用的时间，相遇点的坐标及P、Q点各自走过的弧长。图1—3-6思路分析：利用方程思想，结合题意，求出第一次相遇的时间；利用解直角三角形的知识，根据点所处位置，确定相遇点坐标；（3）利用弧长公式求弧长.解：设P、Q第一次相遇时所用的时间是t，则t·+t·｜—|=2π，所以t=4（秒），即第一次相遇的时间为4秒,设第一次相遇点为C，则第一次相遇时已运动到终边在·4=的位置，则xC=—cos·4=—2，yC=-sin·4=-，所以C点的坐标为（-2，-),P点走过的弧长为·4=；Q点走过的弧长为·4=。9.将钟表上的时针作为角的始边，分针作为终边，那么当钟表上显示8点5分时,时针与分针构成的角度是_____________。思路解析：本题应从任意角的概念出发，研究时针与分针所构成的角α，其中有正角、负角，共有无穷多个角.要求这无穷多个角，可先求出在-360°-0°范围内的角∠AOB.∠AOB＝—(×360°×+90°+×360°)=—147。5°,所以角α可表示为α＝k·360°—147。5°（k∈Z）答案：k·360°—147。5°（k∈Z）10。如图1—3-7，已知一长为dm，宽为1dm的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚,翻滚到第四面时被一小木板挡住,且木块底面与桌面成角为，求点A走过的路程及走过的弧所在扇形的总面积.图1-3-7思路分析：A点首先以B为圆心,以2为半径旋转达到A1的位置;再以C为圆心，以1为半径旋转到A2的位置;然后以A2为圆心旋转，最后以D为圆心，以3为半径转过到达A3,A点走过的路程将包括三段弧,将这三段弧长及三个扇形面积分别相加即可。解:由题意得所对的圆的半径为2，圆心角为，则弧长l1=2×=π，扇形面积S1=××22=π。所对的圆半径是1，圆心角是，则弧长l2=1×=，扇形面积S2=××12=.所对的圆半径为，圆心角为,则弧长l3=×=，扇形面积S3=××（）2=.则所走过路程是三段圆弧之和,即π++=,三段弧所在扇形的总面积是π++=dm2。11.一条铁路在转弯处成圆弧形,圆弧的半径为2km，一列火车用每小时30km的速度通过，10s间转过几度？思路分析：利用速度和时间求出路程，即得圆弧的弧长，再由弧长公式可得圆心角的度数。