数学自主训练：空间直角坐标系空间两点的距离公式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1。点（2，0，3）在空间直角坐标系中的位置是在(）A。y轴上B.xOy平面上C.xOz平面上D.第一卦限内思路解析：已知点的坐标确定点在空间直角坐标系中的哪个位置的题目，要先从特殊坐标值0入手,如果有一个坐标值为0，那么这个点就一定在坐标平面内，如果有两个坐标值为0,那么这个点就一定在坐标轴上，如果有3个坐标值为0,那么这个点就一定在原点上。如果没有特殊的坐标值0，关键就是判断好坐标的性质符号，然后与卦限的符号对应。因为点（2，0，3）的纵坐标为0，所以此点一定在xOz平面上。因此,选C。答案：C2.已知两点M1(-1，0,2)、M2(0，3,-1)，此两点间的距离为()A。B.C.19D.11思路解析:已知两点的坐标，求两点间的距离，关键是要熟记空间两点间的距离公式，还要正确无误地把对应的坐标代入公式，同时计算正确.由空间两点间的距离公式，得.因此，选A.答案：A3.如图2—4-(1，2)—4所示，正方体的棱长为1，M是所在棱上的中点，N是所在棱上的四分之一分点，则M、N之间的距离为（)图2—4-（1，2）—4A.B.C。D.思路解析：本题有两种解题思路，一是根据空间两点间的距离公式进行求解，但是要先给出点M和点N的坐标。二是根据图象可得，点M和点N都在同一个平面内，可以根据平面几何知识和勾股定理解决。根据题意,得点M和点N的坐标分别为（1,0，）、(,1,0)，根据空间两点间的距离公式，得。因此，选B.答案：B4.点M（4,-3，5）到原点的距离d=_________________。思路解析：已知一个点的坐标,求这个点到原点的距离，可以选用空间直角坐标系中的两点间的距离公式的特殊形式，即d=，将已知点的坐标代入即可.把点M（4，—3，5）的坐标代入公式d=，得d=.答案：5.指出下列点的特殊性：（4，0，0）、(0，-7，0）、(0，—7，2)、（5，0，3）。思路解析：空间点的特殊性有以下几个方面：一是点在坐标轴上，三个坐标值中有两个坐标值为0;二是点在坐标平面内,三个坐标值中有一个坐标值为0；三是点在坐标原点上，三个坐标值都等于0。答案：因为点(4，0，0)的纵坐标和竖坐标都等于0，所以这个点在坐标x轴上；因为点（0，—7，0)的横坐标和竖坐标都等于0，所以这个点在y轴上；因为点(0，-7，2)的横坐标为0，所以这个点在坐标平面yOz内；因为点(5,0，3）的纵坐标等于0，所以这个点在坐标平面xOz内。6。指出下列各点在空间中的哪一个卦限.(1)(-1，3，2）；（2）（3，3，-1）;(3)(—5，—2，-2）;（4）（—5，1，-1）。思路解析:根据一个点的坐标判断这个点在空间直角坐标系中的哪个卦限，关键是要判断准确这个点的各个坐标的性质符号和哪个卦限的符号相对应.答案：(1）点(—1，3，2)在第Ⅱ卦限；（2）点(3，3，—1)在第Ⅴ卦限；（3）点（—5，-2，-2）在第Ⅶ卦限;(4）点(-5,1，—1)在第Ⅵ卦限.7。若空间点M(x，y，z)的坐标满足条件xyz＜0，问M点可能在空间中的哪几个卦限?思路分析：对题中的已知条件要进行分类讨论，然后根据讨论得出的横坐标、纵坐标和竖坐标的符号对应各个卦限的符号进行判断。解:当x＞0时，因为xyz＜0，所以y与z异号.则点M的坐标符号为（+,+，—）或（+，—，+)，同理，当x＜0时，点M的坐标符号为（—，+,+)或(—，-,—）.因此，点M可能在Ⅱ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅶ卦限.8。方程x2+y2+z2—2x+4y+2z=0表示什么曲面？思路分析：实际上，目前我们知道的三元二次方程表示的曲面只有球面，但为了说明这个方程表示的是球面，还要对其进行配方,观察它符合球面方程.解:将方程x2+y2+z2—2x+4y+2z=0配方变形，得(x-1)2+（y+2)2+(z+1）2=6。因此，这个方程表示的是以(1,-2，—1）为球心,半径为6的球面.我综合我发展9.如图2—4-（1，2）-5,在长方体OABC-D′A′B′C′中，OA=3，OC=4，OD′=3，A′C′与B′D′相交于点P，分别写出点C、B′、P的坐标。图2—4-（1，2)-5思路解析：求空间点的坐标的关键是要分别求出横坐标、纵坐标和竖坐标,在求这三个坐标的时候，要根据具体题意作出相关线段，或者找到表示坐标的向量。根据题意，得点C在y轴上，因为OC=4，所以点C的坐标为(0，4，0);点B′的横坐标与点A的横坐标相同,因为OA=3，所以点B′的横坐标为3，点B′的纵坐标与点C的纵坐标相同，因为OC=4,所以点B′的纵坐标为4，点B′的竖坐标与点D′的竖坐标相同，因为OD′=3,所以点B′的竖坐标为3,所以点B′的坐标为（3,4，3）；点P的横坐标为点A横坐标的一半，纵坐标为点C纵坐标的一半，竖坐标与点D′的竖坐标相同，因此,点P的坐标为P（1。5，2，3）。答案：C（0，4，0），B′(3，4,3），P（1。5，2,3）。10.如图2—4—(1,2）—6，正方体OABC—D′A′B′C′的棱长为a，E、F、G、H、I、J分别为棱C′D′、D′A′、A′A、AB、BC、CC′的中点,写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标.图2-4—（1,2)-6思路解析：正六边形EFGHIJ各顶点都在坐标平面内,因此可以先确定属于哪个坐标平面,然后再在这个坐标平面内确定点的坐标,这样就把空间的点的坐标转化为平面内的点的坐标了,最后再加上另一个坐标0.由图可知,正六边形EFGHIJ的顶点F、G在坐标平面xOz内，因为正方体OABC—D′A′B′C′的棱长为a，所以AG=D′F=，而点G的横坐标与点A的横坐标相同，点F的竖坐标与点D′的竖坐标相同，都为a，所以点F和点G的坐标分别为F（，0,a）,G（a，0，)。同理可知，点H和点I在坐标平面xOy内，坐标分别为H（a，，0),I（，a,0)，点E和点J在坐标平面yOz内，坐标分别为E（0，,a）,J（0，a,).答案：E（0，，a），F（,0，a)，G（a，0，),H(a，,0），I(，a，0),J(0，a,）。11.已知一长方体ABCD-A1B1C1D1思路解析:解答本题的关键是能正确地将空间图形画出来，然后根据图形分析各点的坐标情况进行解答.一般情况下，空间几何体的顶点的字母标注顺序是逆时针方向标，所以顶点B是点A关于坐标平面yOz的对称点，所以点B的坐标为（2，-3，—1)，顶点C是点A关于坐标轴z轴的对称点，所以点C的坐标为（2，3，—1)，顶点D是点A关于坐标平面xOz的对称点，所以点D的坐标为(—2，3，—1）,点A1是点A关于坐标平面xOy的对称点,所以点A1的坐标为(-2，—3，1），点B1是点A关于坐标轴y轴的对称点，所以点B1的坐标为(2，