数学自主训练：不等式的实际应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1。某居民小区收取冬季供暖费,根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一:（1）按照使用面积缴纳，每平方米4元；（2）按照建筑面积缴纳，每平方米3元。李明家的使用面积是60平方米.如果他家选择第（2)种方案缴纳的供暖费不多于按第（1）种方案缴纳的供暖费,那么他家的建筑面积最多不超过(）A.70平方米B.80平方米C.90平方米D。100平方米思路解析：根据使用面积应该缴纳的费用为60×4=240元，设建筑面积为x，则根据他所选择的方案,知3x—240≤0,所以x≤80，即建筑面积不超过80平方米。答案:B2。张先生买了一部手机，欲使用中国电信“神州行”卡或加入中国联通130网，经调查，收费标准如下表:网络月租费本地话费长途话费甲联通130网12元0.36元/分0.06元/6秒乙电信“神州行”无0.6元/分0。07元/6秒（注：本地话费以分钟为单位计费,长途话费以6秒钟为单位计费）若张先生每月拨打本地电话的时间是长途电话时间的5倍，且每月通话时间（分钟）在区间（40，50）内,则选择较为省钱的网络为(）A.甲B.乙C。甲或乙D。分情况而定思路解析：设张先生每月拨打长途电话的时长为x分钟，则有40＜5x+x＜50，即＜x＜,使用甲和乙方式应付话费的差为12+0。36×5x+0.06×10x—(0.6×5x+10×0.07x)=12—1.3x＞0.答案：B3.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额税率不超过500元的部分5%超过500元至2000元的部分10％超过2000元至5000元的部分15%…………某人一月份应交纳此项税款26。78元，则他的当月工资、薪金所得介于()A。800-900元B.900—1200元C。1200—1500元D.1500—2800元思路解析:分别以全月工资、薪金所得为900元，1200元，1500元，2800元计算应交纳此项税款额，它们分别为5元，20元，70元，200元。∵20＜26。78＜70，所以某人当月工资、薪金所得介于1200—1500元,选C.答案:C4。用两种金属材料做一个矩形框架,按要求长（较长的边）和宽应选用的金属材料价格每1m分别为3元和5元，且长和宽必须是整数，现预算花费不超过100元，则做成矩形框架围成的最大面积是_______________。思路解析：设长为xm，宽为ym，则根据条件知6x+10y≤100，即3x+5y≤50，且x≥y,再根据x,y都是整数的条件求xy的最大值,而xy=·3x·5y≤(）2,并且检验,知当x=8，y=5时,面积xy最大为40m2。答案：40m5.某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台，每批都购入x台（x∈N+），且每批均需运费400元，贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，若每批购入400台，则全年需用去运输和保管费用总计43600元，现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用，请问：能否恰当安排每批进货的数量,使资金够用？求出结论，并说明理由。思路分析：根据每批购入x台，建立总费用的函数y=×400+k·（2000·x），进行化简后利用均值不等式即可求解.解：设总费用为y元，保管费用与每批电视机总价值的比例系数为k（k＞0），每批购入x台,则y=×400+k·(2000·x），当x=400时,y=43600，解出k=5％。∴y=+100x≥·100x=24000(元)为所需最低费用.当且仅当=100x,即x=120时取到等号，因此只需每批购入120台，便可使资金够用。6.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站…（)A。5千米处B.4千米处C。3千米处D.2千米处思路解析：设仓库到车站的距离为x,y1=,y2=k2x，当x=10时,y1=2,y2=8,∴k1=20,k2=0。8。∴y1+y2=+0.8x(x＞0）≥20.8x·=8.当且仅当0.8x=，即x=5时,（y1+y2）min=8,因此应选A。答案:A7。某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80％出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额（元）的范围[200,400）[400,500)［500，700）［700，900）……获得奖券的金额(元）3060100130……根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2+30=110(元）。设购买商品得到的优惠率=。试问：(1）若购买一件标价为1000元的商品,顾客得到的优惠率是多少?（2）对于标价在[500,800］（元）内的商品,顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于的优惠率？解：（1）=33%。(2)设商品的标价为x元，则500≤x≤800，消费额：400≤0。8x≤640。由已知,得①或②不等式组①无解，不等式组②的解为625≤x≤750.因此，当顾客购买标价在[625，750]元内的商品时,可得到不少于的优惠率.我综合我发展8.如图3-4-3所示,电路中电源的电动势为E，内阻为r，R1为固定电阻，求可变电阻R2调至何值时，它所消耗的电功率最大,其最大电功率是多少？图3—4-3思路分析：本题牵涉到物理中的电学知识,首先根据条件建立功率的表达式,利用结论：当x＞0，y＞0且x+y=s（定值)时，x·y有最大值即可得出答案.解：由电学公式，知电功率P=UI，有P2=U2I2=，∵U2（E-U2)≤[］2=（定值)，∴仅当U2=E—U2，即2U2=E时，P2达到最大值.在E=2U2的两端同除以I（I=I1=I2），得2R2=r+R2+R1，即R2=r+R1,此时消耗的电功率最大，其最大的电功率为.9。某种商品原来定价每件p元,每月将卖出n件，假若定价上涨x成（这里x成，即，0＜x≤10），每月卖出数量将减少y成，而售货金额变成原来的z倍。（1）设y=ax,其中a是满足≤a＜1的常数，用a来表示当售货金额最大时的x值；（2)若y=x，求使售货金额比原来有所增加的x的取值范围.思路分析：第（1)题首先把上涨后的销售额用变量x表示,然后根据函数的形式求出最大值，第(2)题实际上就是根据条件解不等式。解:(1）由题意知某商品定价上涨x成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是p(1+)元、n（1—）件、npz元，因而npz=p(1+）·n（1—)，∴z=（10+x）（10—y）。在y=ax的条件下,z=｛-a［x—]2+100+｝。由于≤a＜1，则0＜≤10。要使售货金额最大，即使z值最大，此时x=.(2)由z=（10+x）（10—x）＞1，解得0＜x＜5.10。经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/时）与汽车的平均速度v（千米/时）之间的函数关系为y=(v＞0）。（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大?最大车流量为多少?（精确到0.1千辆/时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？解：（1)依题意，y=,当且仅当v=,即v=40时，上式等号成立，所以ymax=≈11。1（千辆/时)。（2）由条件，得＞10,整理得v2—89v+1600＜0，即(v—25）（v—64）＜0,解得25＜v＜64.答：当v=40千米/时时，车流量最大,最大车流量约为11.1千辆/时。如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时。11。某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔,如图3-4—4所示,塔高BC=80米，塔所在的山高OB=220米，OA=200米，图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为α,tanα=。试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高).图3-4—4思路分析：建立函数，然后求函数的最值。为了建立函数采用建立坐标系，用到角公式比较简单。解：如图所示，建立平面直角坐标系，图3—4—5则A（200，0），B（0，220）,C（0，300），直线l的方程为y=(x—200）tanα,即y=.设点P的坐标为（x，y），则P(x，）(x＞200）.由经过两点的直线的斜