数学自主训练：8函数y=Asin：ωxφ的图像

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1.浙江高考卷,文1）函数y＝sin(2x+)的最小正周期是(）A.B。πC。2πD.4π思路解析：T===π。答案：B2.若函数y=f（x）的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图像沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线与y=sinx的图像相同，则y=f（x)是（)A。y=sin（2x+）+1B.y=sin（2x—)+1C。y=sin（2x-）+1D.y=sin（2x+）+1思路解析：逆向法解决，将y=sinx的图像沿y轴向上平移1个单位得到函数y=sinx+1的图像;再将函数y=sinx+1的图像向右平移个单位得到函数y=sin（x-）+1的图像；再将函数y=sin（x—)+1的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的得到函数y=sin（2x—）+1。这就是函数y=f（x)的解析式。答案：B3。（2006四川高考卷,理5文6）下列函数中,图像的一部分如图1-7-5所示的是（）图1—7-5A.y=sin(x+）B.y=sin(2x—）C.y=cos(4x-）D.y=cos(2x-)思路解析：从图像看出，=+=，∴函数的最小正周期为π.∴ω==2。∴排除A、C.∵图像过点(—，0),代入选项B，∴f（—）=sin（--）=-1≠0。∴排除B.答案:D4.把函数y=sin（ωx+φ)（其中φ为锐角）的图像向右平移个单位，或向左平移个单位都可使对应的新函数成为奇函数，则原函数的一条对称轴方程是（）A。x=B。x=C.x=-D。x=思路解析：将函数y=sin（ωx+φ）的图像向右平移个单位后，得函数y=sin［ω(x-）+φ］为奇函数，根据奇函数的性质，由函数的定义域为R,知sin［ω(0—)+φ］=0（即f（0）=0）。∴ω（-）+φ=0,φ=。将函数y=sin（ωx+φ)向左平移个单位后，得函数y=sin［ω（x+）+φ］也是奇函数，∴sin［ω（0+）+φ］=0.将φ=代入,得sin（+）=0.∴=kπ，ω=2k(k∈Z）。∵φ∈（0,)，∴ω=2，且φ=。又正弦函数图像的对称轴过取得最值的点，设2x+=kπ+,则x=+。当k=1时，x=，即x=是函数y=sin（2x+）的一条对称轴方程。答案：D5.求函数y=2sin（3x-)的对称中心。思路分析:利用整体策略求出对称中心坐标。解：由y=sinx的对称中心是（kπ,0），令3x-=kπ,x=+(k∈Z),即对称中心是(+,0）(k∈Z）.6.设函数f(x)=Asin（ωx+φ)(A＞0，ω＞0),φ取何值时，f（x)为奇函数?思路分析：结合正弦函数的图像和性质来讨论.解：（1)∵x∈R，f(x）是奇函数，∴f(x）+f（—x)=0。则有f(0）=0，∴sinφ=0.∴φ=kπ,k∈Z。当φ=kπ,k∈Z时，f(x)=Asin（ωx+kπ）,当k为偶数时，f(x）=Asin（ωx)是奇函数；当k为奇数时，f(x）=-Asin（ωx)是奇函数。综上可得，当φ=kπ,k∈Z时，f（x)为奇函数。我综合我发展7。函数y=5sin(-2x)的单调递增区间是_________.思路解析：函数y=—5sin(2x—）=5sin（2x+），令2kπ—≤2x+≤2kπ+(k∈Z）,解得kπ-≤x≤kπ—.答案：［kπ—，kπ-］(k∈Z)8.已知sin(2x+）=—，x∈［0，2π］，求角x的集合.思路分析：先由x的范围确定2x+的范围,然后判断角的个数求出角.解：∵0≤x≤2π，∴≤2x+≤。∵sin（2x+）=-，∴2x+=或2x+=或2x+=或2x+=。∴x＝，，，.∴x的集合为｛，，，}.9。函数f（x)=2sin（x+）（k≠0）。（1）求f（x)的最大值M、最小值N和最小正周期T。（2）试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时,函数f（x）至少有一个值是M，一个值是N。（3）当k=10时,由y=sinx的图像经过怎样的变换得到y=f(x)的图像？思路分析:由于k影响函数的周期，所以求最小的正整数k就要讨论函数周期的限制.解：（1）∵f(x）=2sin(x+)，k≠0，且x∈R,∴M=2，N=—2,T=.（2）由题意，得当自变量x在任意两个整数间变化时，函数f(x）至少有一个最大值，又有一个最小值,则函数的周期应不大于区间长度的最小值1，即≤1，解得｜k|≥10π，所以最小的正整数k=32.(3)当k=10时，有f（x）=2sin(2x+）.变换步骤是:①把y=sinx的图像上所有的点向左平行移动个单位，得函数y=sin（x+）的图像；②把函数y=sin(x+）的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,得函数y=sin(2x+）的图像；③把函数y=sin(2x+)的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得函数f(x)=2sin(2x+)的图像.10。如图1—7—6所示，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ)+b（A＞0,ω＞0,0＜φ＜π).图1-7-6（1)求这段时间的最大温差；(2）写出这段曲线的函数解析式.思路分析：图像最上方的点的纵坐标是温度的最大值,最下方的点的纵坐标是温度的最小值。解：（1)由图知这段时间的最大温差是30-10=20(℃).（2）图中从6时到14时的图像是函数y=Asi