2020-2021学年上海市华师大三附中高一下学期第一次月考数学试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages44页2020-2021学年上海市华师大三附中高一下学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知，则点在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【详解】∵，∴，，，∴，∴点在第二象限，故选B.点睛：本题主要考查了由三角函数值的符号判断角的终边位置，属于基础题；三角函数值符号记忆口诀记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（为正）．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正.2．集合，，则，的关系是（）A． B． C． D．不确定【答案】B【分析】根据诱导公式化简即可得答案.【详解】解：由于，所以，因为，所以故选：B3．已知△ABC的三个内角为A，B，C，若函数有一个零点为1，则△ABC一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形【答案】A【分析】根据函数的零点有，结合二倍角公式、两角和差的余弦公式可得，即可判断三角形形状；【详解】函数有一个零点为1，即；∴，而，∴，知：；故选：A【点睛】本题考查了利用三角恒等变换化简三角函数，并判断三角形的形状，其中运用了二倍角的余弦公式、两角和差的余弦公式及三角形内角性质；4．已知顶点在原点的锐角绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题首先可根据终边交单位圆于得出，然后根据得出以及，最后根据两角差的正弦公式即可得出结果.【详解】因为锐角绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，所以，或（舍去），，则，，故，故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查根据角的终边经过的点的坐标求角的正弦值和余弦值，考查两角差的正弦公式，求出点坐标、以及的值是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.二、填空题5．已知扇形的圆心角为，半径为5，则扇形的弧长_________.【答案】【分析】根据扇形的弧长公式进行求解即可．【详解】∵扇形的圆心角α，半径为r＝5，∴扇形的弧长l＝rα5．故答案为．【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式的计算，熟记弧长公式是解决本题的关键，属于基础题．6．幂函数的图象过点，则的解析式为_______________．【答案】【详解】由待定系数法得，所以7．若角的终边过点，________．【答案】【分析】根据三角函数终边上点的定义得，进而利用二倍角公式求解即可得答案.【详解】解：由三角函数终边上点的定义得，所以.故答案为：8．若函数的图像恒过定点，则该定点坐标为________．【答案】【分析】根据指数函数过定点，并结合函数图象平移变换即可得答案.【详解】解：因为函数函数的图像恒过定点，函数图像向上平移一个单位即可得到的图像，所以函数的图像恒过定点.故答案为：9．半径为4的圆内接三角形的面积是，角A、B、C所对应的边依次为a、b、c，则的值为______．【答案】1【分析】由三角形的面积公式，求得，再由正弦定理，求得，代入即可求解.【详解】由三角形的面积公式，可得，所以，又由正弦定理可得，所以，所以，所以.故答案为：.10．方程在区间上的所有解的和为__________．【答案】【分析】利用二倍角公式，将方程，转化为求解.【详解】方程，即为：，解得或，因为，所以或，所以方程在区间上的所有解的和为故答案为：11．在中，若，，，则________．【答案】或【分析】根据正弦定理直接求解即可.【详解】解：根据正弦定理得，因为，所以或故答案为：或12．若，则________．【答案】或.【分析】根据题意和三角函数的基本关系，化简得到，即可求解.【详解】由，可得，所以，即，解得或.故答案为：或.13．已知，化简：________．【答案】【分析】先利用平方关系去根号，得到，再利用角的范围去绝对值.【详解】原式.因为，所以.所以原式故答案为：14．在中,内角所对应的边分别为，若，，则的面积为_________.【答案】【详解】分析：由，，利用余弦定理可得，结合三角形的面积公式进行求解即可.详解：因为，，所以由余弦定理得：，即，因此的面积为，故答案为.点睛：本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.15．已知是关于的实系数方程的两个根，则的最小值为__________.【答案】【分析】由题意，根的判别式且，求出的范围，再根据韦达定理，用表示出和，然后用两角和的正切公式表示出，借助一次函数的单调性即可求出最小值．【详解】解：由题意有，且，∴，且，∵是关于的实系数方程的两个根，由韦达定理，和，∴，∵，且，∴，且，∴的最小值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查两角和的正切公式得应用，考查韦达定理的应用，属于中档题．16．我国古代数学家秦九韶左《数书九章》中记述了了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角，，所对的边分别为，，，则的面积，根据公式，且，则的面积为________．【答案】【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，求得，再结合已知及余弦定理，求得的值，代入已知公式，即可求解.【详解】解：由题意，因为，所以，即，又由，所以，由因为，所以，所以，即，因为，由余弦定理可得，解得，则的面积为.故答案为：三、解答题17．已知，都是锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（3）【分析】（1）由诱导公式得，，进而得，，进而利用和角公式求解即可；（2）由题知，进而结合（1）即可得答案.【详解】解：（1）由诱导公式得，即，，因为，都是锐角，所以，，所以（2）因为，都是锐角，所以，，所以，由（1），所以18．在△ABC中，a＝8，b＝6，cosA，求：（1）角B；（2）BC边上的高．【答案】（1）B（2）4【分析】（1）由同角的三角函数关系可得sinA,再根据正弦定理解得sinB,即可求角；（2）先可求得,即可求得面积,进而求得BC边上的高【详解】（1）在△ABC中,a＝8,b＝6,cosA,所以角A为钝角,由sin2A+cos2A＝1,解得sinA,由正弦定理可得,解得sinB,所以B（2）由（1）可得sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB,所以,由于,解得h＝4,故BC边上的高为4【点睛】本题考查求三角函数值,考查正弦定理的应用,考查三角形面积公式的应用,考查运算能力19．已知，是关于两个根，且为第三象限角．求：（1）的值；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由题知，进而得，故，解得；（2）结合（1）得，故.【详解】解：（1）因为，是关于两个根，所以，即，所以，解得，所以，解得（2）因为，为第三象限角所以，所以20．我国的“洋垃极禁止入境”政策已实施一年多某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB，对应的圆心角，该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD对不明船只进行识别查证如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内在圆弧的两端点A，B分别建有监测站，A与B之间的直线距离为100海里．求海域ABCD的面积；现海上P点处有一艘不明船只，在A点测得其距A点40海里，在B点测得其距B点海里判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD？请说明理由．【答案】（1）平方海里；（2）这艘不明船只没进入了海域ABCD．.【分析】利用扇环的面积公式求出海域ABCD的面积；由题意建立平面直角坐标系，利用坐标求出点P的位置，判断点P是否在海域ABCD内．【详解】，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD，，，，平方海里，由题意建立平面直角坐标系，如图所示；由题意知，点P在圆B上，即，点P也在圆A上，即；由组成方程组，解得或；又区域ABCD内的点满足，由，点不在区域ABCD内，由，点也不在区域ABCD内；即这艘不明船只没进入了海域ABCD．【点睛】本题考查了圆的方程模型应用问题，是中档题．21．已知，设．（1）求证：；（2）求的解析式；（3）若角是一个三角形的最小内角，试