2020-2021学年全国百强名校“领军考试”高一下学期6月月考数学试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages44页2020-2021学年全国百强名校“领军考试”高一下学期6月月考数学试题一、单选题1．已知五个数据3，4，x，6，7的平均数是x，则该样本标准差为（）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】先求出的值，然后利用标准差公式求解即可【详解】解：因为五个数据3，4，x，6，7的平均数是x，所以，解得，所以标准差为，故选：B2．某家电公司生产三种型号的空调，产量分别是1800台、5800台和2000台，为检验公司的产品质量，现从这三种型号的空调中抽取48台进行检验，这三种型号的空调依次应抽取的台数（）A．16，16，16 B．9，29，10 C．4，33，11 D．12，27，9【答案】B【分析】利用分层抽样的性质求解【详解】解：由题意得，三种型号的空调依次应抽取的台数分别为，，，故选：B3．若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据扇形周长求解出面积取最大值时扇形的圆心角和半径，然后根据图形中的内切关系得到关于内切圆半径的等式，由此求解出的值.【详解】设扇形的半径为，圆心角为，面积为，因为，所以，取等号时，即，所以面积取最大值时，如下图所示：设内切圆圆心为，扇形过点的半径为，为圆与半径的切点，因为，所以，所以，所以，故选：C.4．十进制1011化成2进制为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】依次用除法即可求出.【详解】因为所以十进制1011化成2进制为.故选：A.5．函数的部分图象大致为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值验证即可【详解】解：函数的定义域为，因为，所以函数为奇函数，则图像关于原点对称，所以排除C，当时，，所以，所以排除AD,故选：B6．剪纸艺术在我国已经是一种比较古老的民间艺术，如何传承这门艺术？这是全体国民都要关心的事．所以我们首先是要传承这门艺术，其次要发扬这门艺术．剪纸是以数学“对称”为基础的，现在已经放入小学实验课中，现有小学剪纸教材图例如下（该三角形为正三角形），问剩余纸率为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】画出图形，设正三角形的边长为，则可得大圆的半径为，设小圆的半径为，可知，从而可求得，则可求出4个圆的面积，进而可求得剩余纸率【详解】解：如图，设正三角形的边长为，则其内切圆半径为，设小圆的半径为，则，，因为，所以,所以，解得，所以4个圆的面积为，所以剩余纸率为，故选：B7．已知平面向量是非零向量，，则向量在向量方向上的投影为（）A． B． C．1 D．－2【答案】B【分析】由，可得，可求得的数量积，进而可求出向量在向量方向上的投影【详解】解：因为，所以，所以，所以，得，所以向量在向量方向上的投影为故选：B8．已知函数（为常数，，）在处取得最小值，若将向左平移个单位，得，则下列关于叙述正确的有（）A．为偶函数，在内单调递增 B．C．为奇函数且一条对称轴为 D．它的图象关于轴对称【答案】D【分析】先根据为最小值求解出关系，然后根据图象平移求解出的值，则解析式可知，由此逐项判断即可.【详解】因为为最小值，所以，所以，所以，所以，将向左平移个单位可得，所以，所以，显然是非奇非偶函数，所以A,C错误，又，所以B错误，又为最小值，所以是对称轴，故正确；故选：D.9．按如图所示的算法框图运算，若输入x＝1，则输出k的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】模拟运算，即可出结果.【详解】解：根据题意，第一轮，，不满足判断条件，继续循环，第二轮，，不满足判断条件，继续循环，第三轮，,不满足判断条件，继续循环，第四轮，，输出.故选：B.10．从1，2，3，4中任取2个不同的数作为点P（x，y）的坐标，若点P在角的终边上，则的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先找出所有可能组合数，再找出满足的组合数即可.【详解】从1，2，3，4中任取2个不同的数作为点P（x，y）的坐标共有种，其中满足的有P（2，3），P（3，4）2种，故概率为，故选：D.11．函数，其相邻的两最值点分別是，且满足，图象过坐标原点，若在上f(x)恰有两个最大值点，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意首先求出函数解析式，再根据正弦函数的性质，求出的取值范围，最后根据正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意，所以，解得，且，，所以，又函数过点，所以，即，因为，所以，所以，令，解得，即时函数取得最大值，因为函数在上恰有两个最大值点，所以，所以故选：D12．已知P是函数图象上的一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（）A． B． C．0 D．【答案】A【分析】结合图示，将转化为和有关的函数形式，结合对勾函数的单调性以及的取值范围，可求解出的最小值.【详解】设即的圆心为，所以圆心坐标为，半径为，如图所示：因为，所以，所以，设，所以，取等号时，又由对勾函数单调性可知其在上单调递增，所以，故选：A.二、填空题13．现有甲、乙两名投标枪运动员，下面是他们七次比赛成绩的茎叶图，根据茎叶图可知________（填“＞”，“＜”，“＝”）．【答案】＞【分析】根据数据求出平均数与方差即可；【详解】解：甲的平均数；；乙的平均数；；所以故答案为：14．函数的部分图象如图所示，则函数表达式为________．【答案】【分析】利用五点法求解，先由，求出周期，再利用周期公式可求出的值，再将点代入关系式中，结合，可求出的值，再把最低点的坐标代入解析式中可求出，从而可得答案【详解】解：由图可知，，得，所以，解得，所以，因为点在函数图像上，所以，所以，得，因为，所以，所以，因为最低点的坐标为，所以，得，所以函数表达式为，故答案为：15．某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是，样本数据分组为，则样本中净重中位数是________（结果用分数表示）【答案】【分析】由于前2组的频率和为，前3组的频率和为，所以中位数在第3组，设中位数为，则有，求出即可得答案【详解】解：由频率分布直方图可知，前2组的频率和为，前3组的频率和为，所以中位数在第3组，设中位数为，则有，解得，所以中位数为，故答案为：16．在△AOB中，，AD与BC交手M点，设，在线段AC上取一点F，在线段BD上取一点E，使EF过M点，使，则________．【答案】7【分析】设，分别利用三点共线和三点共线求出，再利用三点共线和平面向量基本定理可求得结果【详解】解：设，因为三点共线，所以存在非零实数，使得，所以，所以，得，因为三点共线，所以存在非零实数，使得，所以，因为，所以，所以，由和，解得，所以，因为三点共线，所以存在非零实数，使得，因为，所以，消去，得，所以7，故答案为：7三、解答题17．已知函数，当时，（1）求值；（2）已知，若角终边上有一点P，满足，求OP的长度．【答案】（1）3；（2）1．【分析】（1）先利用诱导公对函数化简，再由，得，对利用二倍角公式化简可得结果；（2）设P（3x，x），则由可求出的值，从而可求出OP的长，或点P在以AB为直径的圆上，从而可得结果【详解】（1）由（2）法一：因为，所以设P（3x，x）又因，则则．法二：因为，所以设P（3x，x）点P在以AB为直径的圆上，则OP＝118．已知，其图象关于点中心对称．（1）求函数的解析式；（2）当，且，求值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先根据两角差的余弦公式化简原式，然后根据对称中心求解出参数的值，则的解析式可求；（2）根据已知条件求解出的值以及的范围，然后根据角的配凑结合两角和的正弦公式求解出结果.【详解】（1）因为，由图象关于点中心对称，则，所以，解得，经检验符合题意．所以，故．（2），，，又且，．19．某学校高一、高二、高三的三个年级学生人数如下表高三高二高一女生100150y男生300x600按年级分层抽样的方法评选优秀学生50人，其中高二有15人，高三有10人．（1）求x，y的值；（2）用分层抽样的方法在高二年级学生中抽取一个容量为8的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1名女生的概率．【答案】（1）x＝450，y＝400；（2）．【分析】（1）由题意和分层抽样的性质可得，从而可求出x，y的值；（2）利用分层的性质求得共抽取了2名女生，6名男生，然后分别求出从8个选2个不同的方法数和6个选2个不同的方法数，再利用对立事件和古典概型的概率公式求解即可【详解】（1）由分层抽样的原理知解得：x＝450，y＝400（2）设所抽样本中有m个女生，因为用分层抽样的方法在高二学生中抽取一个容量为8的样本，所以，解得m＝2，也就是抽取了2名女生，6名男生．因为“至少有1名女生”的对立事件“全是男生”，又因从8个选2个不同的方法有（好比一条线上有8个点，任选两点有多少线段一样）：7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28（种）6个选2个不同的方法有：5＋4＋3＋2＋1＝15（种）所以至少有一名女生的概率．20．已知向量，函数的最小正周期为．（1）求f(x)的单调递增区间；（2）若，求函数的概率．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由题意可得，再由函数的最小正周期为，可求得，从而可得，由可求出函数的增区间；（2）由可得，再由，可得，然后利用几何概型的概率公式求解即可【详解】（1）由，因为函数f(x)的最小正期为，且，所以，解得，得，由，解得．故函数的单调递增区间为，（2）因为，所以，，得，所以．则概率为：．21．农民脱贫致富，已经成为当下中国社会的大政方针，如何精准脱贫，已经成为各政府部门最关注的事情．某县因地制宜，选择了有机蔬菜种植项目进行发展经济．在有机蔬菜的种植过程中，有机肥料使用是必不可少的，根据统计某种有机蔬菜0.5亩的产量増加量y（百斤）与有机肥料x（千克）的使用量之间有如下关系表：使用有机料x（千克）12345产量增加量（百斤）1.42.12.93.54.1（1）依据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程；（2）根据所求线性回归方程，估计如果有机蔬菜使用有机肥料12千克，则有机蔬菜0.5亩产量增加量y是多少百斤？附：回归方程系数公式．【答案】（1）；（2）8.92百斤．【分析】（1）先求出、，再根据公式求出，结合回归直线过样本中心点求得，从而得出结论；（2）直接代入求解即可．【详解】解：（1），，∴；，则，则知，所以y关于x的线性回归方程为：；（2）当x＝12时，y＝0.68×12＋0.76＝8.92（百斤），∴如果有机蔬菜使用有机肥料12千克，估计有机蔬菜0.5亩产量的增加量y是8.92百斤．22．如图，在△ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点．（1）若，求最小值；（2）若，△ABC的面积为，求的最小值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由M是边BC的