2020-2021学年辽宁省沈阳市郊联体高一下学期开学初数学试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages44页2020-2021学年辽宁省沈阳市郊联体高一下学期开学初数学试题一、单选题1．已知全集为R，集合，，则（）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出集合B的范围，比较两集合范围得解.【详解】,故选;A2．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在这三校分别抽取学生A．20人，30人，10人B．30人，30人，30人C．30人，45人，15人D．30人，50人，10人【答案】C【详解】试题分析：甲校、乙校、丙校的学生数比例为3600：5400：1800=2：3：1，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生90×=30人，90×=45人，90×=15人【解析】分层抽样方法3．设，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】解出不等式，得出解集，再利用集合的包含关系得出两条件的充分必要性关系.【详解】解不等式，得或，是的真子集，因此，“”是“”的必要不充分条件，故选B.【点睛】本题考查必要条件的判定，一般转化为集合间的包含关系来判断，具体关系如下：（1），则“”是“”的充分不必要条件；（2），则“”是“”的必要不充分条件；（3），则“”是“”的充要条件；（4），则“”是“”的既不充分也不必要条件.4．已知为奇函数，当时，，则在上是A．增函数，最小值为 B．增函数，最大值为C．减函数，最小值为 D．减函数，最大值为【答案】C【详解】试题分析：,图像为开口向下对称轴为的抛物线,所以时在上单调递减．因为为奇函数图像关于原点对称,所以函数在也单调递减．所以在上,．故C正确．【解析】1函数的奇偶性；2二次函数的单调性．5．已知a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为（）A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a【答案】A【分析】根据指数函数、对数函数与幂函数的单调性，借助中间量即可比较大小.【详解】解：由函数在上单调递增，所以，由于函数在上单调递减，所以，由于函数在上单调递增，所以，故.故选：A.6．如图，已知，，，，则A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可得：，，则：.本题选择D选项.7．玉溪某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品A．60件 B．80件 C．100件 D．120件【答案】B【分析】确定生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和，可得平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，利用基本不等式，即可求得最值．【详解】解：根据题意，该生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和是这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为（为正整数）由基本不等式，得当且仅当，即时，取得最小值，时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小故选：【点睛】本题考查函数的构建，考查基本不等式的运用，属于中档题，运用基本不等式时应该注意取等号的条件，才能准确给出答案，属于基础题．8．已知是函数，（）的一个零点，是函数的一个零点，则的值为（）A．1 B．2008 C． D．4016【答案】B【分析】把所给的两个函数式进行整理，先使得函数的值等于0，得到方程，移项整理，变成两个基本初等函数的形式，在同一直角坐标系中画出函数的图象，根据反函数的性质即可求解.【详解】因为是函数，（）的一个零点，所以，即，则是函数与函数交于点的横坐标；是函数的一个零点，所以，即，则是函数与函数交于点的横坐标；如图所示因为函数与函数互为反函数，所以关于直线对称，则为点的纵坐标，所以，故选：B.二、多选题9．在全国人民的共同努力下，特别是医护人员的奋力救治下，“新冠肺炎”疫情得到了有效控制.如图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图.则下列关于甲、乙两省新增确诊人数的说法，正确的是（）A．甲省的平均数比乙省低B．甲省的方差比乙省大C．甲省的中位数是27D．乙省的极差是12【答案】ABD【分析】由折线图取原始数据，可计算甲乙的平均数、中位数、极差，摆动幅度大小决定方差大小.【详解】甲省确诊人数的平均数是，乙省确诊人数的平均数是所以正确；甲省确诊人数摆动幅度比乙省大，所以甲省的方差大所以正确；甲省确诊人数，中位数是24，所以错误；乙省确诊人数，极差是12，所以正确；故选：.【点睛】本题主要考查折线图的均值、方差、中位数，考查学生的识图能力、理解能力和应用能力.10．下列说法错误的有（）A．如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与或的方向相同B．在中，必有C．若，则，，一定为一个三角形的三个顶点D．若，均为非零向量，则【答案】ACD【分析】直接利用向量的线性运算，向量的夹角运算，三角形法则，向量的模的应用判断、、、的结论．【详解】解：对于：非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与或的方向相同或为零向量，故错误；对于：在中，必有，故正确；对于：若，则，，一定为一个三角形的三个顶点，或、、三点共线时，也成立，故错误；对于，均为非零向量，则，故错误；故选：．11．下列命题正确的是（）A．“”是“”的必要不充分条件B．命题“，”的否定是“，”C．若，则D．设，“”，是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件【答案】BD【分析】根据不等式的性质可判断A；根据含有量词的否定可判断B；根据基本不等式的适用条件可判断C；根据奇函数的性质可判断D.【详解】对于A，当时，可得，故“”是“”的充分条件，故A错误；对于B，由特称命题的否定是存在改任意，否定结论可知B选项正确；对于C，若时，，故C错误；对于D，当时，，此时，充分性成立，当为奇函数时，由，可得，必要性不成立，故D正确.故选：BD.【点睛】本题考查充分条件与必要条件，考查命题及其关系以及不等关系和不等式，属于基础题.12．对于函数，，若存在，使，则称，是函数与的图象的一对“关于轴的隐对称点”已知函数满足：①的图象关于直线对称；②；③当时，．函数（其中且），若函数与恰有7对“关于轴的隐对称点”，则实数的值可以为（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据满足条件作出函数的图象，然后结合新定义分析知，进而则可作出函数的图象，然后数形结合即可求出实数的范围，结合选项判断即可.【详解】因为的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称，即为偶函数，又因为，所以的图象关于直线对称，且，即的周期为2，又因为当时，，函数（其中且），显然，故作出函数与函数的图象：则由图可知，即，故，结合选项知B、C符合，故选：BC.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、填空题13．设，点的坐标为，则点的坐标为________.【答案】【分析】向量的坐标等于点的坐标减去点的坐标．【详解】解：设点的坐标为，则，，，点的坐标为．故答案为：．【点睛】本题考查平面向量的坐标表示，一个向量的坐标等于终点坐标减去起点的坐标，属于基础题．14．一名工人维护台独立的游戏机，一天内这台需要维护的概率分别为、和，则一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率为______（结果用小数表示）【答案】0.568【分析】记“至少有一台游戏机不需要维护”为事件，首先求解出，利用对立事件概率公式可求得结果.【详解】记“至少有一台游戏机不需要维护”为事件则本题正确结果：【点睛】本题考查对立事件概率的求解，属于基础题.15．已知函数，若实数，满足，则等于______．【答案】【分析】根据函数奇偶性的定义，求得函数为定义域上的奇函数，结合，得到，即可求解.【详解】由题意，函数的定义域为关于原点对称，又由，即，所以函数为定义域上的奇函数，因为，所以，即.故答案为：.16．已知函数.若函数存在5个零点，则实数的取值范围为______.【答案】【分析】令，将问题转化为与、的交点，作出函数的大致图像，利用数形结合的思想即可求解.【详解】函数的零点，令，解得，将问题转化为与、的交点，作出的大致图像，如下：由图可知，函数存在5个零点，则，解得，故实数的取值范围为.故答案为：【点睛】关键点点睛：将问题转化为与、的交点，作出函数的大致图像是关键，考查了数形结合的思想.四、解答题17．已知向量，，（1）若与共线，求实数；（2）求的最小值及相应的值.【答案】（1）；（2）见解析【分析】（1）利用向量共线定理可得关于t的方程，解出即得t值；（2）利用求模公式表示出||，根据二次函数的性质可得其最小值及相应的t值；【详解】（1）∵，又与共线，，∴，解得.（2）∵，，，∴，∴，当且仅当时取等号，即的最小值为.【点睛】本题考查平面向量共线的坐标表示、利用数量积求模等知识，熟记运算性质及定理，准确计算是关键，属基础题．18．某校2020届高三数学教师为分析本校2019年高考文科数学成绩，从该校文科生中随机抽取400名学生的数学成绩进行统计，将他们的成绩分成六段，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图．（1）若每组数据以该组的中点值作为代表，估计这400个学生数学成绩的众数和平均数；（2）用分层抽样的方法，从这400名学生中抽取20人，再从所抽取的20人中成绩在内的学生中抽取2人，求这2人至少有一人成绩在内的概率．【答案】（1）众数的估计值为115，平均数的估计值为；（2）．【分析】（1）根据频率分布直方图，结合众数和平均数的计算，即可容易求得结果；（2）利用分层抽样求得在各个区间抽取的人数，列举所有抽取的可能，找出满足题意的可能，用古典概型的概率计算公式，即可求得结果.【详解】（1）众数的估计值为最高矩形对应的成绩区间的中点，即众数的估计值为115，平均数的估计值为．（2）由频率分布直方图可得，成绩在内的人数为（人），内的人数为（人），内的人数为（人），内的人数为（人），内的人数为（人），内的人数为（人），按分层抽样方法，抽取20人，则成绩在内的抽1人，在内的抽2人，在内的抽4人，在内的抽6人，在内的抽5人，在内的抽2人．记成绩在内的5人分别为，，，，，成绩在内的2人分别为，，则从成绩在内的学生中任取2人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种，其中成绩在中至少有一人的基本事件有，，，，，，，，，，，共11种，所以2人中至少有一人成绩在内的概率．【点睛】本题考查由频率分布直方图计算众数和平均数，以及古典概型的概率求解，涉及分层抽样，属综合基础题.19．已知函数在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.（1）求的值；（2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）由二次函数的性质可得，即可得解；（2）令，转化条件为在上恒成立，结合二次函数的性质即可得解.【详解】（1）的图象开口向上，且对称轴为，在上单调递增，.，；（2）由（1）得，不等式即在上恒成立，令，的图象开口朝上，则要使在上恒成立，，解得，实数k的取值范围为.【点睛】本题考查了由函数的最值求参数，考查了二次函数图象与性质的应用及恒成立问题的解决，属于中档题.20．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或者没人都已投次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.（1）求乙获胜的概率；（2）求投篮结束时，乙只投了个球的概率.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）分第一次甲不中乙中，第一次都不中第二次甲不中乙中，第一次都不中第二次都不中第三次甲不中乙中三类，利用独立事件的概率求解；（2）分第一次都不中第二次甲不中乙中，第一次都不中第二次都不中第三次甲中两类，利用独立事件的概率求解；【详解】设分别表示甲、乙在第次投篮投中，则（1）所求概率为，；（2）所求概率为，.21．设是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“次不动点”，也称在区间上存在次不动点．设函数，．（1）若，求函数的次不动点；（2）若函数在上不存在次不动点，求实数的取值范围．【答案】（1）函数的次不动点为0；（2）．【分析】（1）结合题中定义解方程即可求出结果；（2）结合题中定义转化为在上无解，结合在上恒成立，然后分别参变分离即可求出结果.【详解】解：（1）当，函数，依题得，，，，．函数的次不动点为0；（2）根据已知，得在上无解，在上无解，令，，在区间上无解，在区间上无解，设，在区间上单调递减，故，或，又在上恒成立，在上恒成立，即在上恒成立，设，在区间上单调递减，故，，综上实数的取值范围．22．已知函数，，且是的奇函数．（1）求实数的值；（2）判断并证明函数的单调性，并利用结论解不等式；（3）若不等式对任意的恒立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）在上是单调增函数，证明见解析；；（3）．【分析】（1）根据奇函数的定义即可求出结果；（2）首先设，，且