2020-2021学年辽宁省部分重点高中高一下学期期中考试数学试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages44页2020-2021学年辽宁省部分重点高中高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．在等腰直角三角形中，若，，则的值等于（）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】直接根据向量数量积的定义计算即可得答案.【详解】解：故选：B.2．中，，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，利用诱导公式得到，且A为锐角，在利用半角公式求解.【详解】因为在中，，所以，且A为锐角，所以，故选：C3．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】首先先求以为终边的角为，再根据三角函数的定义求点的纵坐标，以及根据图形表示.【详解】，所以对应的角是，由在内转过的角为，可知以为始边，以为终边的角为，则点的纵坐标为，所以点距水面的高度表示为的函数是.故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键读懂题意，并能抽象出函数关系，关键是求以在内转过的角为，再求以为终边的角为.4．的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量，．若，则角C的大小为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量共线的坐标表示及余弦定理计算可得；【详解】解：因为向量，且，所以，即所以，∵，∴.故选：B.5．函数（且）的图象恒过定点，且点在角的终边上，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由条件可得，，然后利用诱导公式可得答案.【详解】由可得，所以所以故选：C6．若象限角满足，则是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【分析】由条件可得，然后结合三角函数的平方关系可得答案.【详解】因为所以，因为所以，所以是第三象限角故选：C7．若为锐角三角形，则下列式子一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据锐角三角形可推出，可得，可得，可知A不正确；可得，所以，可知D正确；当为等边三角形时，可知BC不正确.【详解】因为为锐角三角形，所以，所以，所以，即，所以，又，所以，故A不正确；由得，得，所以，又，所以，故D正确；当为等边三角形时，，，，故B不正确；当为等边三角形时，，，，故C不正确.故选：D8．在非等腰中，内角满足，若关于x的不等式对任意恒成立，则角A的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先整理式子可得：，因为非等腰，所以，则：在恒成立，整理移项，再利用基本不等式得：，再利用三角函数的性质，即可得解.【详解】在中，由，代入可得：，所以：整理可得：，即：，因为非等腰，所以，，代入可得：，两边同除，可得：在恒成立，，即，又因为，则，所以，即，又因为非等腰，所以，所以，故选：D.【点睛】本题考查了解三角形，考查了三角形的性质及恒等变换公式，考查了转化思想和基本不等式，本题解题的关键是对原式的处理，使之能使用基本不等式，而不能走进一元二次不等式的误区，进行讨论，属于较难题.二、多选题9．设向量，，则（）A． B．与的夹角是C． D．与同向的单位向量是【答案】BC【分析】由条件算出，，即可判断A，算出的值可判断B，算出的值可判断C，与同向的单位向量是，可判断D.【详解】因为，，所以，，故A错误因为，所以与的夹角是，故B正确因为，所以，故C正确与同向的单位向量是，故D错误故选：BC10．下列各式中，值为的是（）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由二倍角公式计算可得．【详解】；；；．故选：AC．11．给出下列命题，其中正确的选项有（）A．非零向量，满足，则与的夹角为30°B．中，是成立的充要条件C．若，，，为锐角，则实数的取值范围是D．已知单位向量，，且，则当取最小值时，【答案】ABD【分析】对于A，先由向量的加减法法则判断三角形的形状，再求夹角即可；对于B，由正弦定理判断；对于C，为锐角，则且不共线，从而可求出的取值范围；对于D，对平方化简求其最小值即可【详解】解：对于A，如图，，则，因为，则为等边三角形，所以，，可得平行四边形为菱形，所以平分，即，所以与的夹角为30°，所以A正确；对于B，由正弦定理得，当时，，反之当时，，所以是成立的充要条件，所以B正确；对于C，因为，，，所以,，因为为锐角，所以且不共线，由，得，解得，由共线，得，得，所以当为锐角时，且，所以C错误；对于D，，所以当时，取最小值，所以D正确，故选：ABD12．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．函数的振幅是2，初相是B．若把图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数C．若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是奇函数D．，若恒成立，则的范围为【答案】BCD【分析】由函数图象可求其周期，利用周期公式可求的值，由，结合范围，可求的值，从而可得函数的解析式，然后逐一判断即可.【详解】由图象可得，，，，，即，，，，，，故A正确；把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数为，因为所以在上是增函数，故B正确；把函数的图象向左平移个单位，得到的函数为，是奇函数，故C正确；由可得当时，，的最小值为所以，即，故D正确故选：BCD三、填空题13．的值为____________【答案】【分析】利用二倍角公式及对数的运算计算可得；【详解】解：故答案为：14．当时，函数取得最大值，则______.【答案】0【分析】由辅助角公式得（其中），由此可得当时，函数取得最大值，即，然后将代入中化简可得答案【详解】解：（其中），所以当时，函数取得最大值，即，所以，所以，故答案为：015．的内角，，所对的边分别是，，，已知，则的取值范围是___________.【答案】【分析】由正弦定理及三角形内角性质得，可得，根据余弦定理，应用基本不等式有，结合A为三角形内角，即可求的范围.【详解】由正弦定理知：，∵，∴，即，又由余弦定理知：当且仅当时等号成立，而，∴，则.故答案为：.【点睛】关键点点睛：应用三角恒等变换、正弦定理的边角关系确定三边的数量关系，根据余弦定理及基本不等式，求角A余弦值的范围，结合三角形内角的性质求角的范围.16．正的边长为1，中心为O，过O的动直线l与边AB，AC分别相交于点M、N，，，.给出下列四个结论：①②若，则③不是定值，与直线l的位置有关④与的面积之比的最小值为.其中所有正确结论的序号是________【答案】①④【分析】利用向量加法的平行四边形法则可判断①；利用向量数量积的定义可判断②；根据三点共线可判断③；由三角形的面积公式结合③，利用基本不等式可判断④.【详解】对于①，由，故①正确；对于②，，故②错误；对于③，由①，因为三点共线，所以，即，故③错误；对于④，，又，故④正确.故答案为：①④四、解答题17．已知向量，，其中，且.（1）求的值；（2）若，且，求角.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，可得方法一：与联立，求得，，代入即可；方法二：，由求解.（2）根据，，得到，再由，得到，然后由求解.【详解】（1），，即.方法一：代入，得，又，则，，则，代入可解得.方法二：，.（2），，又，.，.由，得.18．在中，角的对边分别是，，，如图所示，点在线段上，满足.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合诱导公式和二倍角公式可求得，进而得到；（2）在中利用余弦定理可求得，从而求得，由平面向量数量积的定义可计算求得结果.【详解】（1）由正弦定理得：，，，又，，，，，，，解得：.（2），，为等边三角形，设，则，在中，由余弦定理得：，解得：，，，.【点睛】关键点点睛：本题第二问考查平面几何中的平面向量数量积的求解问题，解题关键是能够灵活应用余弦定理求得三角形的边长，进而根据边长求得所求向量夹角的余弦值.19．已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个：①函数的最大值为2；②函数的图象可由的图像平移得到；③函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为.（1）请写出这两个条件的序号，并求出的解析式；（2）锐角中，内角､､所对的边分别为､､.，，求周长的取值范围.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】选①③，（1）；（2）．【分析】确定只能选条件①③，（1）由最大值得，由周期得，得函数解析式．（2）由（1）求得，由锐角三角形求得的范围，用正弦表示出（也用表示）求和，利用三角函数恒等变换化为一个角的一个三角函数，然后结合正弦函数性质得取值范围，从而得周长范围．【详解】①②两个条件矛盾，最大值不相同，②③两个条件也矛盾，周期不相同．只有选①③（1）由①，由③，则最小正周期是，，所以；（2），，，，，所以，由，得，，，因为，所以，，所以，即．即周长范围是．【点睛】关键点点睛：本题考查由三角函数性质求函数解析式，考查正弦定理解三角形，三角函数的恒等变换及三角函数性质．求三角函数解析式，掌握“五点法”是解题关键，由周期确定，则最值确定，由点的坐标确定．三角函数的最值与范围问题通常都是利用三角形函数恒等变换公式转化为形式，然后结合正弦函数性质求解．20．已知的图象与直线相切，并且每相邻两个切点间的距离为.（1）求函数的单调递增区间；（2）已知中，内角，，的对边分别是，，，其中，若锐角满足，且，求内切圆的面积.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形可得，由图象与直线相切，并且每相邻两个切点间的距离为，可得，周期为，从而可求出，，所以，由可求出函数的单调增区间；（2）由可求出，然后由可求得，再由余弦定理可得，记为内切圆半径，则，从而可求出，进而可求出内切圆的面积【详解】（1），的图象与直线相切，且，，，又每相邻两个切点间的距离为，所以，函数的最小正周期为，，可得，，令，解得：函数的单调递增区间是，；（2）由得，可得，为锐角，则，，则，由余弦定理得，，记为内切圆半径，的面积，即，内切圆的面积.21．山顶有一座石塔，设塔顶在地面上的正投影为点.记石塔的高度，山的高度.（1）如图（1），若以，为观测点，在塔顶处测得地面上一点的俯角为，在塔底处测得处的俯角为，用，，表示山的高度.（2）如图（2），若将观测点选在地面的直线上，记，已知石塔高度，称为在点观测石塔的视角，请试着使用，表示；并依据你的结论解决如下问题：如果满足当时，观测的视角（即）最大，求山的高度.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）在中，，，然后利用正弦定理可得，求出，从而可表示出山的高度；（2）设，则，，由表示出,然后利用基本不等式可求得最大值，进而可求出山的高度【详解】（1）解：在中，，，由正弦定理得：，得，则，（2）设，，，，又则当且仅当，即时，最大，从而最大，由题意，，解得.22．已知函数.（1）若先将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将之向左平移个单位，得到函数图象，求函数的解析式（2）设，则是否存在实数，满足对于任意，都存在，使得成立?如果存在，请