循环小数化分数教案

深圳市教育培训中心PAGE2011学年度寒假六年级学生版编辑：高仁江 循环小数化分数教案姓名 分数 家长评价 东东有个神奇的体温表，它不仅可以测到体温还可以测到心情。

东东最怕的数学考试来临时，体温表知道他很恐慌不想去考试，就把温度升上去很多，东东就因为可以请病假而不用去考试了；东东发烧的时候，却非常想出去春游，体温表得知了他期待的心情，就把体温的数字降低到正常，东东就高兴的去玩了，但结果回家后病情就加重了。

时间一长，东东就发现了是体温表有问题，生气的对他说：“你干嘛要自作聪明啊？你就是一个体温表而已！你就明明白白告诉我事实真相就好了啊！！！你凭什么变来变去的！”这时候体温表委屈的说：“我死去的哥哥就是因为每次都告诉了你事实真相，结果就被你给摔碎了啊……”

很多人在该做自己的事情的时候，越过了自己应该负责的职责，本来自己只要做这一小堆事情就好了，却偏偏要想到许多宏观的离自己职责很远的东西并在其中左右着自己，这样的出发点也许是好的，但具体的工作并不需要每个人都成为政治家，如果过了的话，那每个人实际上都没有尽到自己的本份，那才是最没有职业道德的！感悟：【经典导航1】下列分数哪些能化为有限小数、纯循环小数、混循环小数？若能化成有限小数，小数部分有几位？若能化成混循环小数，不循环部分有几位？解：9＝32，111=3×37，275=52×11，22=2×1132=25，250=2×53能化为有限小数，小数部分的位数分别为5位，3位与1位；能化为纯循环小数；能化为混循环小数，并且不循环部分的位数分别为2位与1位。【扬帆起航1】基本概念及定理循环小数：一个数的小数部分，如果从某一位起，一个或几个数字依次不断地重复出现，这样的数就叫做循环小数。循环小数是无限小数，它的位数是无限的。循环小数的小数部分中，依次不断重复的数字，叫做它的一个循环节。如果循环节从小数部分第一位（十分位）开始的，叫做纯循环小数；循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。定理一：如果最简分数的分母除2、5质因数外，不含其它质因数，这个分数能化成有限小数。将能化成有限小数的最简分数的分母进行质因数分解，看质因数2和5的幂指数，较大的那个指数的大小就是有限小数的位数。定理二：如果最简分数的分母除2、5质因数外，含其它质因数，这个分数不能化成有限小数。定理三：如果一个最简分数的分母里，如果只含有2,5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数，这个纯循环小数循环节的最少位数，等于9、99、999、9999……诸数中能被分母整除的最小那个数里9的个数。定理四：一个最简分数的分母里，如果除含有2或5质因数外，还含有其它质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数。这个不纯循环部分里的数字的个数，等于2、5中较多的一个数的个数。循环节的最少位数等于9、99、999、9999……诸数中能被分母2、5以外的质因数（或质因数的乘积）整除的最小那个数里9的个数。【经典导航1】方法一：（代数法）类型1：纯循环小数如何化为分数例题：如何把0.33……和0.4747……化成分数例1：0.33……×10＝3.33……0.33……×10－0.33……=3.33……－0.33……(10-1)×0.33……=3即9×0.33……=3那么0.33……=3/9=1/3例2：0.4747……×100＝47.4747……0.4747……×100－0.4747……＝47.4747……－0.4747……(100－1)×0.4747……=47

即99×0.4747……=47

那么0.4747……=47/9由此可见,纯循环小数化为分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。【扬帆起航2】方法重于问题由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。转化需要先“去掉”无限循环小数的“无限小数部分”。一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就剪掉了。纯循环小数化分数的方法：（1）分数的分子是第一个循环节数字所组成的数。（2）分母是数字9所组成的数，9的个数等于循环节的位数，整数部分不变。纯循环小数化成分数后，能约分的要约分。混循环小数化分数的方法：（1）分数的分子是小数点右边第一个数字到第一个循环节末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数，所得的差。（2）分母是由数字9，以及后面带数字0所组成的数，其中9的个数等于循环节的位数，0的个数等于不循环部分的位数。混循环小数化成分数后，能约分的要约分。【扬帆起航3】经典例题例1把纯循环小数化分数：从以上例题可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9。9的个数与循环节的位数相同。能约分的要约分。

二、混循环小数化分数不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。怎样把混循环小数化为分数呢？看下面的例题。例2把混循环小数化分数。（2）先看小数部分0.353由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。分母的头几位数是9，末几位是0。9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。例3真分数化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么是多少?【分析与解】=0.，=0.，=0.，=0.，=0.，=0.．因此，真分数化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又因为1992÷27=73……21,27-21=6，而6=2+4，所以=0.，即=6．评注：的特殊性，循环节中数字不变，且顺序不变，只是开始循环的这个数有所变化三、循环小数的四则运算循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。例4计算下面各题：解：先把循环小数化成分数后再计算。例5计算下列各题：（1）；解：（2）；解：（3）计算：【分析与解】方法一：====2.4方法二：=()=2.1+×(1+2+3+4+8+9)=2.1+×27=2.1+0.3=2.4方法三：如下式，0.011111…0.122222．．．0.233333．．．0.344444．．．(1+2+3+4+8+9=27)0.788888．．．+0.899999．．．2.399997．．．注意到，百万分位的7是因为没有进位造成，而实际情况应该是2.399999…==2.4．评注：==1,=．例5、天齐将乘以a时，把看成1.23，使得乘积比正确结果小0.3，正确结果是多少？解：由于所以a＝从而，正确结果为：例6、将一个纯循环小数化成最简真分数后，它的分母与分子之差为9。求a，b，c各是多少？解：因为，而999＝33×37由于写成最简真分数后，分子、分母的差为9。所以abc必为9的倍数，且不能为37的倍数（否则999与abc至少有公约数9×37，约简后分母为3，不合题意）。由于abc仅为9的倍数，不是27的倍数，则约简后的分母为3×37＝111，此时分子为111-9＝102，但不是最简分数，，不合题意。若abc为27的倍数，则约简后的分母为37，此时分子为37-9＝28，即。于是，abc=28×27=756，即a=7，b=5，c＝6。例7、计算下面各题。分析与解：（1）把循环小数化成分数，再按分数计算。（2）可根据乘法分配律把1.25提出，再计算。（3）把循环小数化成分数，根据乘法分配律和等差数列求和公式计算。测试（5.15）姓名分数1.把纯循环小数化分数：2.把混循环小数化分数3.计算下面各题：解：先把循环小数化成分数后计算。4.计算：目前我们只能将这些小数都化成分数才能算出结果。现在，根据下面的提示，直接观察每个算式于最后结果之间的关系，希望你能从中发现直接运算的法则。怎么样？发现了什么直接算的规则了吗？请归纳出来。我们利用类似的方法还可以去研究其他的几种情形。5.两个循环节位数相同的纯循环小数相加。考察下面的一些例子。再试试直接列竖式结果会怎样？能归纳出直接运算的法则了吗？6.两个循环节位数不相等的纯循环小数相加。考察下面的例子：再试试直接列竖式结果会怎样？能归纳出直接运算的法则了吗？如果能得出以上三种情形的运算法则的话，那么，利用这些法则去直接计算混循环小数之间的加法运算就不是一件难事了。规律有限小数家循环小数，和仍然是个循环小数。其循环节跟原加数的循环节相同。法则是：用有限小数跟循环小数的非循环部分对应数位相加，循环小数的非循环部分不够时，就用第一个循环节、第二个循环节……补足再相加，用这个和作和的非循环部分，原来加数的循环节仍作和的循环节。两个循环节位数相同的纯循环小数相加，和仍然是个循环小数。法则是：用两个循环节相加的和除于99……9（其中9的个数等于循环节的位数），商作和的整数部分，余数作小数部分的循环节（若余数位数不够原加数循环节的位数时，就在余数的前面补足“0”作循环节）。两个循环节位数不同的纯循环小数相加，和仍然是个循环小数，其循环节的位数是两个加数循环节位数的最小公倍数。方法是：先把两个加数改成循环节位数相同（两加数循环节位数的最小公倍数）而大小不变的循环小数，再按照法则（2）进行计算。练习练习直接计算下列各题直接计算下列各题将分数化成小数计算循环小数与整数作乘法我们已经知道，循环小数之间可以作加法运算。由于一个数乘以整数就是求几个相同数连加的简便运算，因此，找出循环小数乘以整数的运算法则是完全可能的。下面分两种情形来讨论。纯循环小数乘以整数。考察下面例子：再试试直接列竖式结果会怎样？能归纳出直接运算的法则了吗？混循环小数乘以整数。混循环小数乘以整数可以转化为纯循环小数进行计算。例如，计算任何一个混循环小数乘以整数的试题都可以利用类似的方法转化，不是吗？请归纳出法则。规律纯