2024-2025学年海南省部分学校高三（上）全真模拟数学试卷（二）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年海南省部分学校高三（上）全真模拟数学试卷（二）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U=Z，A={1,2,3}，B={x|−2<x<2,x∈Z}，则图中阴影部分表示的集合为(

)

A.{1} B.{2} C.{2,3} D.{1,2,3}2.已知不等式2x2−ax+6<0的解集是{x|−2<x<−32A.−7 B.−6 C.6 D.73.若命题“∀a，b∈R，a−2b<b−2a”为真命题，则a，A.a<b B.a>b C.a≤b D.a≥b4.已知向量a=(−1,3)，b=(2,0)，c=(1,3)，若a与λb−cA.−3 B.−1 C.1 D.35.霉菌有着很强的繁殖能力，主要依靠孢子进行繁殖.已知某种霉菌的数量y与其繁殖时间t(天)满足关系式：y=mat.若繁殖5天后，这种霉菌的数量为20，10天后数量为40，则要使数量达到100大约需要(    )(lg2≈0.3A.16天 B.17天 C.18天 D.20天6.已知α∈(0,π2)，sin2α+A.13 B.22 C.27.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且acosB−bcosA−c=0，则A=(

)A.45° B.60° C.90° D.135°8.已知函数f(x)=(a+1)x−lna，g(x)=−ex−lnx，若函数f(x)的图象与g(x)的图象在(0,+∞)上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是A.(e2,e) B.(1,e)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知集合A={x|1<x<4}，B={x|x2−(a+1)x+a<0}，则下列命题中正确的是A.若A∪B=B，则a≥4 B.若A∪B=A，则1≤a≤4

C.若B⫋A，则1<a<4 D.若A∩B=⌀，则a<110.在△ABC中，设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，则下列条件中可以判定△ABC一定为等腰三角形的有(

)A.sinA=sinB B.cosA=cosB C.asinB=bsinA D.acosB=bcosA11.如图，在平面四边形ABCD中，已知AB⊥BC，AC⊥CD，且∠BAC=π6，∠CAD=π4.若BC=1，则下列结论正确的是A.AB+DC=AC+DB B.BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)满足f(x)=2x2+12f′(1)x13.某校为了让学生感受生命的奥秘，培养学生热爱自然、探索大自然的意识，开展了“种植当岁初，滋荣及春暮”的活动.学校打算在宿舍后面的空地上开设一块面积为50m2的矩形田地ABCD让学生种植自己喜欢的植物，四周留有宽度分别为1m和2m的过道，如图所示，则该矩形田地的边AB长为______m时，过道占地面积最小，最小面积为______m2．14.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(2+x)=f(2−x)，当x∈[0,2]时，f(x)=−x+4.设ℎ(x)=log12|x+2|+4，则f(x)与四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cos(B−π4)=ca．

(1)求A；16.(本小题15分)

已知a>0，b>0，函数f(x)=ax2−3x+b满足f(1)=0．

(1)求4a+1b的最小值；

(2)解关于x17.(本小题15分)

已知向量m=(3sinx,sinx+cosx)，n=(2cosx,sinx−cosx)，函数f(x)=m⋅n，将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度可得到g(x)的图象．

(Ⅰ)求函数g(x)的解析式；

(Ⅱ)设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，18.(本小题17分)

已知函数f(x)=ax+2lnx(x>1)．

(1)当a=0时，求函数g(x)=xf(x)的单调区间；

(2)当a=2时，求函数f(x)的图象在点(e,f(e))处的切线与坐标轴围成的三角形面积；

(3)当a≥1时，证明：19.(本小题17分)

定义在D上的函数f(x)，如果满足：对于任意的x∈D，存在常数c，d，使得c≤f(x)≤d，则称f(x)是区间D上的有界函数，其中c称为f(x)在区间D上的下界，d称为f(x)在区间D上的上界，设m为下界c的最大值，M为上界d的最小值，将M−m称为界高．

(1)求证：函数f(x)=xx2+1(x∈R)为有界函数，并求其界高；

(2)已知定义在R上的函数g(x)=xe−x2+ax，其中a∈R．

(ⅰ)求证：g(x)为有界函数；

参考答案1.C

2.A

3.A

4.C

5.B

6.A

7.C

8.D

9.AB

10.ABD

11.ACD

12.6

13.5

48

14.−8

15.解：(1)由正弦定理可得2cos(B−π4)=ca=sinCsinA，

则2(cosBcosπ4+sinBsinπ4)=sin(A+B)sinA，

即2×22(cosB+sinB)=sin(A+B)sinA，

即sinAcosB+sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB，

整理得(sinA−cosA)sinB=0，又B∈(0,π)，则sinB≠0，

于是sinA=cosA，所以A∈(0,π2)，16.解：(1)f(1)=0，则a−3+b=0，即a+b=3，且a>0，b>0，

∴4a+1b=13(4a+1b)(a+b)=13(5+4ba+ab)≥13(5+24ba⋅ab)=3，

∴当且仅当a+b=34ba=ab即a=2b=1，等号成立，

∴4a+1b最小值为3．

(2)∵f(x)=ax2−3x+b≥0，a+b=3，∴ax2−3x+3−a≥0，17.解：(Ⅰ)由题意，可得f(x)=23sinxcosx+(sinx+cosx)(sinx−cosx)

=3sin2x+sin2x−cos2x=3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，

所以g(x)=f(x−π6)=2sin[2(x−π6)−π6]=2sin(2x−π2)=−2cos2x；

(Ⅱ)由g(B)=1，可得−2cos2B=1，即cos2B=−12，

所以2B=2π3或2B=4π3，所以B=π3或B=18.(1)解：当a=0时，g(x)=2xlnx，x>1，

g′(x)=2(lnx−1)(lnx)2，

当x>e时，g′(x)>0，当1<x<e时，g′(x)<0，

∴g(x)的单调递减区间为(1,e)，单调递增区间为(e,+∞)．

(2)解：当a=2时，f(x)=2(x+1)lnx，x>1

∴f(e)=2(e+1)，f′(x)=2lnx−2(x+1)⋅1x(lnx)2，f′(e)=−2e．

∴函数f(x)的图象在点(e,f(e))处的切线为：y−2(e+1)=−2e(x−e)，分别令x=0，y=0，

则易知交x轴于点(e2+2e,0)，交y轴于点(0,2e+4)，

∴切线与坐标轴围成的三角形的面积为：S=12(e2+2e)(2e+4)=e(e+2)2．

(3)证明：当a≥1时，f(x)=ax+2lnx(x>1)，

f′(x)=alnx−(ax+2)⋅1x(lnx)2=alnx−2x−a(lnx)2，

设ℎ(x)=alnx−2x−a，19.证明：(1)∵1+x2≥2x2=2|x|，∴|x|x2+