解直角三角形专题复习(知识点+考点+测试)

解直角三角形】专题复习(知识点+考点+测试)

解直角三角形》专题复一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余。几何表示：因为∠C=90°，所以∠A+∠B=90°。2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。几何表示：因为∠C=90°，且∠A=30°，所以BC=AB。3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。几何表示：因为∠ACB=90°，D为AB的中点，所以CD=AB=BD=AD。4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。几何表示：在Rt△ABC中，因为∠ACB=90°，所以a²+b²=c²。5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。即：因为∠ACB=90°，CD⊥AB，所以CD²=AD•BD，AC²=AD•AB，BC²=BD•AB。6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。（a•b=c•h）由上图可得：AB•CD=AC•BC。二、锐角三角函数的概念在△ABC中，∠C=90°，锐角A的正弦、余弦、正切、余切分别为sinA=a/c，cosA=b/c，tanA=a/b，cotA=b/a。锐角三角函数的取值范围：-1≤sinα≤1，-1≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.三、锐角三角函数之间的关系1）平方关系：同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于1，即sin²A+cos²A=1.2）倒数关系：互为余角的两个角，它们的切函数互为倒数，即tanA•tan(90°—A)=1，cotA•cot(90°—A)=1.3）弦切关系：tanA=sinA/cosA，cotA=cosA/sinA。4）互余关系：互为余角的两个角，它们相反函数名的值相等，即sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)，tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)。四、特殊角的三角函数值角度（°）sinαcosαtanαcotα30°1/2√3/2√3/3√345°√2/2√2/21160°√3/21/2√31/√390°10不存在0说明：锐角三角函数的增减性，当角度在0°~90°之间变化时，sinα、tanα随角度增大而增大，cosα、cotα随角度增大而减小。正弦值和余弦值随着角度的增大或减小而呈现相反的变化趋势。正弦值随着角度的增大而增大，随着角度的减小而减小；余弦值则相反，随着角度的增大而减小，随着角度的减小而增大。同样地，正切值随着角度的增大或减小而增大或减小，而余切值则相反。解直角三角形是指在直角三角形中，已知除直角外的某些元素，求解所有未知元素的过程。直角三角形中除直角外的已知元素共有五个，即三条边和两个锐角。解直角三角形的基本关系有三种：边边关系、角角关系和边角关系。其中，边角关系涉及到四种锐角三角函数。解直角三角形的基本类型有四种，分别是：已知两直角边a、b；已知一直角边a和斜边c；已知一直角边a和锐角A；已知一锐角A和斜边c。对于每种类型的已知条件，都有对应的解法。在实际问题中，解直角三角形可以用于测量物体高度、航行问题、计算坝体或边路的坡度等问题。在解题时，可以采用图形、条件单个直角三角形直接求解、实际问题数学问题辅助线构造、抽象转化不是直角三角形直角三角形方程求解等常用数学思想方法。解直角三角形是中考数学考试的重要考点之一，涉及到锐角三角函数的定义、特殊角三角函数值等知识点。熟练掌握解直角三角形的基本类型和解法，能够灵活运用数学思想方法解决实际问题，是中考数学考试中必备的技能。1、答案为B。根据cosA=2/2可知∠A为45°，而tanB=3>1，说明∠B为锐角，故△ABC为锐角三角形。改写：根据已知条件cosA=2/2，可得∠A为45°，而tanB=3>1，说明∠B为锐角，因此可以判断出△ABC为锐角三角形。2、答案为B。sin65°>cos26°。改写：可以通过计算得知sin65°的值大于cos26°。3、答案为D。根据题意，可以列出等腰梯形的各边长度关系式：(3+x)/2:(4-x)/2=2:3，解得x=9，故下底宽为3+9+3=15米。改写：根据题意，可以列出等腰梯形的各边长度关系式，通过解方程可以得到下底宽的长度为15米。4、答案为D。重叠部分的面积为sinα。改写：根据几何关系，可以得出重叠部分的面积为sinα。5、答案为B。正弦值会随着边长的缩小而缩小。改写：由三角函数的定义可知，正弦值与边长成正比，因此缩小边长会导致正弦值的缩小。6、答案为B。根据勾股定理可得AC=√(AB²-BC²)=√(23-4)=√19.改写：根据勾股定理，可以得到AC的长度为√19.7、答案为D。由sin²B+cos²B=1可得cosB=√(1-sin²B)，代入已知条件可得cosA=4/5，故∠A为锐角。改写：由三角函数的基本关系式可得cosA的值，进而可以判断出∠A的范围。8、答案为A。根据三角函数的基本关系式，可以将式子化简为(13/4)sinα-2cosα，再将cosα用sinα表示，化简后可得141/372.改写：通过三角函数的基本关系式，可以将式子进行化简，得到结果为141/372.9、底边上的高为√(6²-1²)=√35/2，底角的余弦值为1/2.改写：根据等腰三角形的性质，可以求出底边上的高以及底角的余弦值。10、购买地毯至少需要2×(4+√2)×30=300+60√2元。改写：根据图中所示的几何关系，可以计算出需要购买的地毯面积，从而得到所需的最少金额。11、(1)△ANE的面积为1/2×AE×EN=1/2×3×1=3/2；(2)sin∠ENB=EN/EB=1/√10.改写：根据图中所示的几何关系，可以计算出△ANE的面积以及sin∠ENB的值。12、设灯塔C与船的连线与正东方向夹角为α，则：在A点，tanα=1/3；在B点，tan(α-30°)=3；在D点，tan(α+45°)=1/3；解得α=15°，AD=20×0.5×cos15°≈17.32海里。改写：通过三角函数的关系式，可以求得灯塔C与船的连线与正东方向的夹角，进而计算出AD的长度。613、某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅。一条幅从楼顶A处放下，在楼前点C处拉直固定。小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前D处测得楼顶A点的仰角为31°，再沿DB方向前进16米到达E处，测得点A的仰角为45°。已知点C到大厦的距离BC=7米，∠ABD=90°。请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数。参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）。答案：首先可以求出AB的长度，根据三角函数的定义，tan31°=AB/BD，可得AB≈9.然后可以利用三角形ABD和三角形ACD的相似性，求出CD的长度，即CD=BC/tan31°≈11.最后可以利用三角形ACD的正弦定理，求出AD的长度，即AD=CD/sin31°≈21.因此，条幅的长度为AB+AD≈30.14、小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离。他先在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东65°方向，然后，他从凉亭A处沿湖岸向东方向走了100米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东45°方向（点A、B、C在同一平面上）。请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离（结果精确到1米）。（参考数据sin25°≈0.4226，cos25°≈0.9063，tan25°≈0.4663，sin65°≈0.5563，cos65°≈0.4226，tan65°≈2.1445）答案：首先可以利用三角形ABC的正弦定理，求出AC的长度，即AC=100/sin65°≈115.67.然后可以利用三角形ABC的余弦定理，求出AB的长度，即AB=sqrt(AC^2-BC^2)≈100.08.最后可以利用三角形ABC的正弦定理，求出BC的长度，即BC=AB*sin25°/sin90°≈42.26.因此，湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离为AC-BC≈73.41米。715、今年“五一“假期，某数学活动小组组织一次登山活动。他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点。再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图所示。斜坡AB的长为1040米，斜坡BC的长为400米，在C点测得B点的俯角为30°。已知A点海拔121米，C点海拔721米。1）求B点的海拔；（2）求斜坡AB的坡度。答案：首先可以利用三角形ABC的正弦定理，求出角BAC的大小，即sinBAC=BC/AC≈0.365，因此∠BAC≈21.94°。然后可以利用三角形ABC的余弦定理，求出角ABC的大小，即cosABC=(AB^2+BC^2-AC^2)/(2*AB*BC)≈0.968，因此∠ABC≈14.09°。根据题目中给出的信息，可以得到∠CBA=180°-∠BAC-∠ABC≈144.97°。根据三角形ABC的角度和定理，可以得到∠ACB=180°-∠CBA≈35.03°。因此，B点的海拔为AC*sin30°+121≈377.66米。斜坡AB的坡度为tan21.94°≈0.40.16、通过研究三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），如图，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的。根据上述角的正对定义，解下列问题：1）sad60°=；2）对于°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是；3）如图，已知sinA=5/13，其中∠A