75正态分布教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版选择性

教学设计授课教师姓名名称7.5正态分布知识点来源□学科：数学□年级：高二□教材版本：人教A版□所属章节：选修第三册第七章随机变量的分布录制工具和方法用“芦笋”录屏软件录课，再用“剪映”剪辑并加字幕。设计思路学生已经学过频率分布直方图，连续型随机变量的定义和总体密度曲线，那么，让学生体验“正态分布曲线”的生成和发现历程是很重要的。为了达到这一目的，大部分教学设计主要采用两种情境引入的方式。一种是给出某一个例子的频率分布折线图，然后从理论上分析，随着样本量增大，作图时组距减小，折线图越来越接近于一条光滑的曲线；另一种是通过高尔顿板试验，让学生发现下落的小球在槽中的分布是有规律的，然后绘制频率分布折线图，近似为一条曲线。遗憾的是，这两种方式都没有将离散到连续的极限化过程展示出来，也没有提到二项分布和正态分布的联系。事实上，正态分布密度函数就是从二项概率推导出来的，二项分布的极限就是正态分布。如果把离散型的二项分布到连续型的正态分布的极限化过程展示出来，学生就能很好的感受正态分布曲线的生成和发现历程了。本节课先介绍与正态曲线相关的人文知识，然后演示高尔顿板试验，让学生观察小球在球槽中的分布规律，并从理论上证明小球的分布是二项分布；接下来用Geogebra展示二项分布的频率分布直方图、折线图到正态密度曲线的极限化过程，了解正态密度曲线的来源；进一步再用Geogebra继续探究正态曲线的特点和性质；最后再用Geogebra，从数与形上介绍“3σ”原则的内容，便于学生接受和理解。教学设计内容教学目的通过高尔顿板试验，体验“正态分布曲线”的生成和发现历程，理解正态分布密度函数的定义；借助Geogebra软件，分析正态分布的图形特征，归纳正态曲线的特点和性质；通过二项分布的频率分布直方图、折线图到正态曲线的过程，体验从有限到无限的思想；通过从图像探索正态密度函数性质的过程，提高用类比，数形结合等思想分析解决问题的能力。教学重点难点重点：二项分布到正态分布的极限化过程；正态分布密度函数解析式；正态曲线的特点及其所表示的意义。难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。教学过程情境导入讲解：正态分布是应用最广泛的一种连续型分布。棣莫弗（DeMoivre,16671754）最早发现了正态分布的密度形式，而后在十九世纪前叶由高斯（CarlFriedrichGauss,17771855）加以推广,所以正态分布通常又称为高斯分布。屏幕上展示的就是德国纸币和纪念币上的高斯头像和正态分布曲线。棣莫弗是在二项概率的计算中发现正态分布的密度形式的，那么，二项分布和正态分布有什么关系呢？（设计意图：介绍与正态分布相关的人文知识。）高尔顿板试验讲解：在一块板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间。自上端放入一小球，任其自由下落，在下落过程中当小球遇到钉子时，从左边落下和从右边落下的机会相等，碰到下一排钉子时又是如此，最后小球落入底板中的某一凹槽。随着试验次数的增加，掉入各个球槽内的小球个数越来越多，下落的小球在槽中的分布有何规律？【活动】PPT展示高尔顿试验的动图。讲解：可以看到，小球在槽中呈现出中间高，两边低的分布。可以证明，落在各个球槽内小球的分布是二项分布N(n,0.5)。这里不详细展开，同学们可以暂停视频，自己思考一下，用排列组合的相关知识给出解释。【活动】学生自主思考为何小球的分布服从二项分布。（设计意图：通过高尔顿板试验，增强趣味性，激发学生的学习热情。同时，也是对二项分布、排列组合相关知识的复习，增强学生综合性思维能力。）从频率分布直方图到总体密度曲线讲解：从高尔顿试验中我们可以猜测，二项分布的极限近似为一条曲线，那是否真的如此呢。我们以小球的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率与组距的比值为纵坐标，可以画出频率分布直方图。【问题1】当试验重复次数（样本容量）不断增大，分组的组距不断缩小时，二项分布的频率分布直方图的轮廓有什么特点？【活动】利用Geogebra观察二项分布趋近正态分布的过程。活动链接：讲解：这是n=10,p=0.5的二项分布的频率分布直方图和折线图。现在拖动滑块，让n增大，可以看到，折线图越来越光滑，当n=100时，已经非常光滑了，这条曲线和正态分布的密度曲线几近重合。如果p不等于0.5呢？拖动滑块，可以看到，p值的改变只是让图形产生了左右平移的效果，对它的形状并没有影响。由此可以看出，二项分布的极限就是正态分布。正态分布的密度曲线呈现出中间高，两边低的形态，形状像一口大钟，因此也叫做钟型曲线。（设计意图：通过Geogebra实现由离散型随机变量到连续型随机变量的过渡，让学生直观感受正态曲线的形成过程。）【问题2】你能求出小球落在-∞,x和[a,b]讲解：回顾频率分布直方图中，每一个小长方形的面积就代表随机变量X落在这个组里的概率。极限化以后，随机变量落在某个区间内的概率就相当于求曲线与x轴相应区间所围成的曲边梯形的面积。所以小球落在-∞,x上的概率就是图中区域A的面积，落在[a,b]上的概率就是图中区域B（设计意图：通过离散型随机变量落在某个组里的概率类比连续型随机变量落在某个区间的概率，加深学生对定积分的几何意义的理解，提升学生类比、归纳、总结的能力。）正态分布密度曲线讲解：刚才我们从视觉上看到了二项分布趋近正态分布的过程，事实上，正态分布曲线的表达式也是可以由二项分布推导出来的，感兴趣的同学可以上网搜索一下推导过程，这里我们直接给出，这条曲线的函数表达式。f其中，𝜋是圆周率，𝑒是自然对数的底，实数𝜇和𝜎(𝜎>0)为参数。我们称𝑓(𝑥)为正态密度函数，称它的图像为正态密度曲线，简称正态曲线。𝜇和𝜎分别反映的是均值和标准差.若随机变量𝑋的概率分布密度函数为𝑓(𝑥)，则称𝑋服从正态分布，记作X~N(μ,σ2)。特别地，当𝜇=0,𝜎=1时，称随机变量讲解：自然科学和社会科学中的各种变量通常呈现为正态分布，例如零件的尺寸，一定条件下小麦的株高、穗长、单位面积产量，某地每年七月份的平均气温、平均湿度和降雨量，某地区同年龄人的身高、出生体重、阅读能力、工作满意度，SAT分数等等。（设计意图：理解正态分布密度函数的定义，了解正态分布在实际生活中的意义和作用。）正态曲线的特点讲解：除了中间高，两边低，正态曲线还有其他什么特点呢？【问题3】结合正态密度函数的解析式和概率的性质，你能发现正态曲线有何特点？【活动】学生观察正态曲线的图像，并结合正态密度函数的表达式，归纳正态曲线的特点。【问题4】正态曲线由参数μ和σ完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响？它们反映了正态分布的哪些特征？【活动】利用Geogebra观察参数对正态曲线的影响。活动链接：讲解：首先固定σ,改变μ。可以看到，图像左右平移，但是形状没有发生改变，所以μ是位置参数，反映了正态分布的集中位置。接下来固定μ，改变σ。可以看到图像的形状发生了改变，对称轴没有变，当σ变大时，峰值变低，曲线越“矮胖”，这说明在均值附近的数据发生的概率变低了，远处发生的概率变大了，随机变量X的分布越分散；反之，当σ变小时，峰值变高，曲线越“瘦高”，随机变量X的分布越集中。因此σ也称为形状参数。（设计意图：引导学生固定一个参数，观察另一个参数对图像的影响，降低分析难度；同时，利用多媒体引导学生归纳正态曲线的特点，增强学生直观理解，提升学生归纳总结的能力。这样的处理能很好地突破重难点。）3σ原则讲解：接下来，让我们观察一下对任意正态分布N(μ,σ2)，X落在（μ-σ,μ+σ)，（μ-2σ,μ+2σ)，【活动】利用Geogebra观察参数对上述三个概率的影响。活动链接：讲解：可以看到，不论如何改变参数，X落在（μ-σ,μ+σ)上的概率恒为0.6827，落在（μ-2σ,μ+2σ)上的概率恒为0.9545，落在（μ-3σ,μ+3σ)上的概率恒为0.9973，也就