第一章第二节充要条件与量词

第二节充要条件与量词课程标准1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.考情分析考点考法:充分必要条件的判断与量词是考查的重点,通常与数列、平面向量、函数、不等式知识相结合.多以选择题、填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、逻辑推理、直观想象【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qpp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件pq且qp【微点拨】p是q的充分不必要条件,等价于¬q是¬p的充分不必要条件.2.全称量词命题与存在量词命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.3.全称量词命题和存在量词命题的否定量词命题量词命题的否定结论∃x∈M,p(x)∀x∈M,¬p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题∀x∈M,p(x)∃x∈M,¬p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题【微点拨】1.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”.2.对省略了全称量词的命题否定时,要对原命题先加上全称量词再对其否定.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12431.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是 ()A.p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件B.“三角形的内角和为180°”是全称量词命题C.已知集合A,B,A∪B=A∩B的充要条件是A=BD.命题“∃x∈R,sin2x2+cos2x2=1【解析】选ABC.A选项,充分条件与必要条件是相对而言的,正确;B选项,任意三角形的内角和为180°,正确;C选项,由集合的运算知,正确;D选项,由同角基本关系式易知,对任意实数x,sin2x2+cos2x2=1,2.(必修第一册P18例1变条件)已知a∈R,则“a>1”是“a2>1”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由不等式的性质,当a>1时,一定有a2>1;当a2>1时,有a>1或a<1,不能得到a>1.则“a>1”是“a2>1”的充分不必要条件.3.(2023·天津高考)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.a2=b2,即(a+b)(ab)=0,解得a=b或a=b;a2+b2=2ab,即(ab)2=0,解得a=b;故“a2=b2”不能推出“a2+b2=2ab”,充分性不成立.“a2+b2=2ab”能推出“a2=b2”,必要性成立.故“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.4.(不能正确运用充要关系建立不等关系致误)若x2x2<0是2<x<a的充分不必要条件,则实数a的值可以是 ()A.1 B.0 C.1 D.2【解析】选D.由x2x2<0得1<x<2,因此,若x2x2<0是2<x<a的充分不必要条件,所以(1,2)⫋(2,a),则a≥2.【巧记结论·速算】若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即p:A={x|p(x)},q:B={x|q(x)},则(1)若A⊆B,则p是q的充分条件;(2)若B⊆A,则p是q的必要条件;(3)若A⫋B,则p是q的充分不必要条件;(4)若B⫋A,则p是q的必要不充分条件;(5)若A=B,则p是q的充要条件.【即时练】“|x1|<2”是“x<3”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.因为|x1|<2⇔2<x1<2⇔1<x<3,且(1,3)是(∞,3)的真子集,所以“|x1|<2”是“x<3”的充分不必要条件.【核心考点·分类突破】考点一充分、必要条件的判断[例1](1)(2024·绍兴模拟)“x>1”是“x≥0”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由x>1,则x≥0必成立,充分性成立;而x≥0,x>1不一定成立,必要性不成立;所以“x>1”是“x≥0”的充分不必要条件.(2)“a=b”是“|a|=|b|”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若a=b成立,由向量相等得到两向量的长度、方向都相同,即有|a|=|b|,反之,若|a|=|b|成立,两个向量的方向不同,则推不出a=b,所以“a=b”是“|a|=|b|”的充分不必要条件.(3)(2024·潍坊模拟)已知p是r的充分不必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,下列命题中:①r是q的充要条件;②p是q的充分不必要条件;③r是q的必要不充分条件;④r是s的充分不必要条件.正确命题的序号是 ()A.①④ B.①②C.②③ D.②④【解析】选B.由p是r的充分不必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,可得p⇒r,r推不出p,q⇒r,r⇒s,s⇒q,所以r⇔q,故r是q的充要条件,①正确;p⇒q,q推不出p,故p是q的充分不必要条件,②正确;r⇔q,故r是q的充要条件,③错误;r⇔s,故r是s的充要条件,④错误.(4)(2024·南京模拟)已知p:关于x的方程ax2+bx+c=0有两个异号实数根,q:ac<1,则p是q的________条件.

【解析】若关于x的方程ax2+bx+c=0有两个异号实数根,则a≠0Δ=b2-4ac>0若ac<1,则可以推出ac<0,则a≠0,ca<0,Δ=b24ac>0,则关于x的方程ax2+bx+c=0有两个异号实数根所以p是q的必要不充分条件.答案:必要不充分【解题技法】判断充分、必要条件的两种方法(1)定义法:①弄清条件p和结论q分别是什么;②尝试p⇒q,q⇒p;③根据定义进行判断.(2)集合法:根据p,q对应的集合之间的包含(或真包含)关系进行判断.提醒:定义法适用于推理判断性问题;集合法适用于涉及字母范围的推断问题.【对点训练】1.设集合A={x|x2>0},B={x|x<0},C={x|x22x>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.因为A={x|x2>0}={x|x>2},B={x|x<0},所以A∪B={x|x>2或x<0},因为C={x|x22x>0}={x|x>2或x<0},所以“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.2.(2024·哈尔滨模拟)“θ=π4+2kπ(k∈Z)”是“sinθ=22”成立的 (A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若θ=π4+2kπ(k∈Z),则sinθ=sin(π4+2kπ)=sinπ4=22,若sinθ=22,不一定有θ=π4+2kπ(k∈例如θ=3π4+2kπ(k∈Z),则sinθ=sin(3π4+2kπ)=sin3π4=22,综上所述:“θ=π4+2kπ(k∈Z)”是“sinθ=22”3.(2024·北京模拟)在人类中,双眼皮由显性基因A控制,单眼皮由隐性基因a控制.当一个人的基因型为AA或Aa时,这个人就是双眼皮,当一个人的基因型为aa时,这个人就是单眼皮.随机从父母的基因中各选出一个A或者a基因遗传给孩子组合成新的基因.根据以上信息,则“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的 ()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若父母均为单眼皮,则父母的基因一定为aa和aa,孩子就一定是单眼皮.若孩子为单眼皮,则父母的基因可能是Aa和Aa,即父母均为双眼皮,故“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的充分不必要条件.【加练备选】1.(2024·温州模拟)已知a,b∈R,则“|a|>1,|b|>1”是“a2+b2>2”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由a,b∈R,|a|>1,|b|>1,得a2>1,b2>1,于是a2+b2>2,由a,b∈R,取a=1,b=2,满足a2+b2>2,显然“|a|>1,|b|>1”不成立,所以“|a|>1,|b|>1”是“a2+b2>2”的充分不必要条件.2.已知{an}是公差为3的等差数列,其前n项的和为Sn,设甲:{an}的首项为零;乙:S2+3是S1+3和S3+3的等比中项,则 ()A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解析】选C.由{an}是公差为3的等差数列,可知S1+3=a1+3,S2+3=2a1+6,S3+3=3a1+12.若S2+3是S1+3和S3+3的等比中项,则(2a1+6)2=(a1解得a1=0或a1=3(舍去,因为此时S1+3=S2+3=0),故S2+3是S1+3和S3+3的等比中项能推出{an}的首项为零,若{an}的首项为零,即a1=0,由{an}是公差为3的等差数列,则an=3(n1)=3n3,Sn=n(3所以S2+3=6,S1+3=3,S3+3=12,所以(S2+3)2=(S1故{an}的首项为零可推出S2+3是S1+3和S3+3的等比中项,可得甲是乙的充要条件.考点二充分、必要条件的探究与应用[例2](1)(2024·商洛模拟)“不等式x2+2xm≥0在x∈R上恒成立”的一个充分不必要条件是 ()A.m<1 B.m>4C.2<m<3 D.1<m<2【解析】选A.因为“不等式x2+2xm≥0在R上恒成立”,所以等价于二次方程x2+2xm=0的判别式Δ=4+4m≤0,即m≤1.所以A选项,m<1是m≤1的充分不必要条件,A正确;B选项中,m>4不可推导出m≤1,故B不正确;C选项中,2<m<3不可推导出m≤1,故C不正确;D选项中,1<m<2不可推导出m≤1,故D不正确.(2)金榜原创·易错对对碰①已知P={x|x28x20≤0},非空集合S={x|1m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,则m的取值范围是__________.

【解析】由x28x20≤0,得2≤x≤10,所以P={x|2≤x≤10},由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P,则1-m≤1+m,1-所以当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件,即所求m的取值范围是[0,3].答案:[0,3]②已知P={x|x28x20≤0},非空集合S={x|1m≤x≤1+m},若¬P是¬S的必要不充分条件,则m的取值范围是__________.

【解析】由已知可得P={x|2≤x≤10},因为¬P是¬S的必要不充分条件,所以S是P的必要不充分条件,所以x∈P⇒x∈S且x∈Sx∈P.所以[2,10]⫋[1m,1+m].所以1-m≤-2,所以m≥9,即m的取值范围是[9,+∞).答案:[9,+∞)【解题技法】1.充分、必要条件的探求类型含义探求p成立的充分不必要条件探求的条件⇒p;p探求的条件探求p成立的必要不充分条件探求的条件p;p⇒探求的条件探求p成立的充要条件探求的条件⇒p;p⇒探求的条件2.利用充分、必要条件求参数的两个关注点(1)转化:把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)检验:在求参数范围时,要注意边界或区间端点值的检验,从而确定取舍.【对点训练】1.(2024·乌鲁木齐模拟)一元二次方程ax2+5x+4=0(a≠0)有一个正根和一个负根的一个必要不充分条件是 ()A.(∞,0) B.(0,+∞)C.(∞,2) D.(∞,1)【解析】选C.由题意,记方程ax2+5x+4=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,因为一元二次方程ax2+5x+4=0(a≠0)有一个正根和一个负根,所以x1x2=根据选项可得到a<2是a<0的必要不充分条件.2.若关于x的不等式|x1|<a成立的充分条件是0<x<4,则实数a的取值范围是________.

【解析】|x1|<a⇒1a<x<1+a,因为不等式|x1|<a成立的充分条件是0<x<4,所以(0,4)⊆(1a,1+a),所以1-a≤0,1+a答案:[3,+∞)【加练备选】1.已知p:x≥k,q:(x+1)(2x)<0.如果p是q的充分不必要条件,那么实数k的取值范围是 ()A.[2,+∞) B.(2,+∞)C.[1,+∞) D.(∞,1]【解析】选B.由q:(x+1)(2x)<0,可知q:x<1或x>2.因为p是q的充分不必要条件,所以x≥k⇒x<1或x>2,即[k,+∞)是(∞,1)∪(2,+∞)的真子集,故k>2.2.(多选题)(2024·东莞模拟)已知关于x的方程x2+(m3)x+m=0,下列结论正确的是 ()A.方程有一个正根一个负根的充要条件是m<0B.方程有两个正根的充要条件是0<m≤1C.方程无实数根的充要条件是m>1D.当m=3时,方程的两个实数根之和为0【解析】选AB.关于x的方程x2+(m3)x+m=0中Δ=(m3)24m=m210m+9,两根和为3m、两根积为m.若方程有一个正根和一个负根,则m2-10m+9>0m<0,解得若方程有两个正根,则m2解得0<m≤1,故B对;若方程无实数根,则Δ=m210m+9<0,解得1<m<9,故C错;当m=3时,方程x2+(m3)x+m=0可化为x2+3=0,显然无实数解,故D错.考点三全称量词命题与存在量词命题【考情提示】全称量词命题与存在量词命题在近几年的高考中出现的频率不高,但是有关命题的否定及通过命题的真假求参数范围我们应作为备考的重点.角度1含有量词的命题的否定[例3](2024·西安模拟)若命题p:∀x∈R,1x-2<0,则¬p表述准确的是 (A.∃x∈R,1xB.∀x∈R,1xC.∃x∈R,1x-2>0或D.∀x∈R,1x-2>0或【解析】选C.全称量词命题的否定为存在量词命题,排除BD选项,其中1x-2<0可解得x<2,x<2的否定应是A选项中,1x-2≥0可解得x>2,故A选项错误,C角度2含量词命题真假的判断[例4](多选题)(2024·沈阳模拟)下列命题中为真命题的是 ()A.∃x∈R,12B.对于∀x∈R,n∈N*且n>1,都有nxnC.∀x∈R,ln(x1)2≥0D.∃x∈R,lnx≥x1【解析】选AD.当x≥0时,0<12x≤1,故A当n为偶数,且x<0时,nxn=x,故B当x=1时,ln(x1)2无意义,故C选项是假命题;当x=1时,lnx≥x1,故D选项是真命题.角度3含量词命题的应用[例5]金榜原创·易错对对碰①若命题“对∀x∈R,ax2ax1<0”是真命题,则a的取值范围是__________.

②若命题“∃x∈R,使得3x2+2ax+1<0”是假命题,则实数a的取值范围是__________.

【解析】①“对∀x∈R,ax2ax1<0”是真命题,当a=0时,则有1<0;当a≠0时,则有a<0且Δ=(a)24×a×(1)=a2+4a<0,解得4<a<0,综上所述,实数a的取值范围是(4,0].答案:(4,0]②命题“∃x∈R,使得3x2+2ax+1<0”是假命题,即“∀x∈R,3x2+2ax+1≥0”是真命题,故Δ=4a212≤0,解得3≤a≤3.即实数a的取值范围为[3,3].答案:[3,3]【解题技法】含量词命题的解题策略(1)判定全称量词命题是真命题,需证明都成立;要判定存在量词命题是真命题,只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时,可以先判断其否定的真假.(2)由命题真假求参数的范围,一是直接由命题的真假求参数的范围;二是可利用等价命题求参数的范围.