湖南省长沙市师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

湖南师大附中20232024学年度高二第二学期期中考试数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若，则（）A．1 B．2 C． D．2．在平行四边形ABCD中，，，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为A． B． C． D．3．王大爷养了3只鸡和2只兔子，晚上关在同一间房子里，清晨打开房门，这些鸡和兔子随机逐一向外走，则2只兔子相邻走出房子的不同方法数有（）A．120种 B．72种 C．48种 D．36种4．过抛物线的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为2，，则抛物线方程是（）A． B． C． D．5．函数在区间上的大致图象为（）A． B． C． D．6．对于一组具有线性相关关系的数据，根据最小二乘法求得经验回归方程为，则以下说法正确的是（）A．至少有一个样本点落在回归直线上B．预报变量y的值由解释变量x唯一确定C．决定系数越小，说明该模型的拟合效果越好D．在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高7．设A为直线上一点，P，Q分别在圆与圆上运动，则的最大值为（）A． B． C． D．8．设，，，则（）A． B． C． D．二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，满分18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知a，b，c，且，．则下列关系一定成立的有（）A． B．C． D．10．已知，分别是椭圆的左、右焦点，A为椭圆上一动点，B为椭圆的上顶点，是边长为2的正三角形．下列说法正确的是（）A．离心率B．使得为等腰三角形的点A有4个C．当直线倾斜角为时，周长为6D．将椭圆C进行旋转得到椭圆，使得以和B为焦点，则C和有且仅有2个交点11．如图，正八面体棱长为2，P为棱MC．上一动点（不含端点）．下列说法正确的是（）A．存在点P，使得B．当P为棱MC的中点时，正八面体表面从N点到P点的最短距离为C．异面直线AP和MD所成角随PC的增大而减小D．以正八面体中心为球心，1为半径作球，球被正八面体各个面所截得的交线总长度为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．若集合，且，则实数______．13．已知p：“”是q：“”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______．14．如果圆至少覆盖函数的一个最大值点和一个最小值点，则m的取值范围是______．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数为奇函数．（1）求a的值；（2）当时，求的单调区间和极值．16．（本小题满分15分）如图，△ABC与△DBC所在平面垂直，且，．（1）证明：；（2）求直线BC与平面ABD所成角的余弦值．17．（本小题满分15分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求角A；（2）若，求△ABC的面积最大值．18．（本小题满分17分）投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为5或6时得2分，掷得的点数为1，2，3，4时得1分，独立地重复掷一枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分．（1）设投掷2次骰子，最终得分为X，求随机变量X的分布列与期望；（2）记n次抛掷得分恰为分的概率为，求的前n项和；（3）投掷骰子100次，记得分恰为n分的概率为，当b，取最大值时，求n的值．19．（本小题满分17分）对于椭圆，令，，那么在坐标系中，椭圆经伸缩变换得到了单位圆，在这样的伸缩变换中，有些几何关系保持不变，例如点、直线、曲线的位置关系以及点分线段的比等等；而有些几何量则等比例变化，例如任何封闭图形在变换后的面积变为原先的，由此我们可以借助圆的几何性质处理一些椭圆的问题．（1）在原坐标系中斜率为k的直线l，经过，的伸缩变换后斜率变为，求k与满足的关系；（2）设动点P在椭圆上，过点P作椭圆的切线，与椭圆交于点Q，R，再过点Q，R分别作椭圆的切线交于点S，求点S的轨迹方程；（3）点）在椭圆上，求椭圆上点B，C的坐标，使得△ABC的面积取最大值，并求出该最大值．湖南师大附中20232024学年度高二第二学期期中考试数学参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案BBCBBDAC1．B【解析】因为，所以，所以，所以．故选B．2．B【解析】因为在平行四边形ABCD中，，，对角线AC与BD交于点O，所以．3．C【解析】2只兔子相邻走出房子共有种不同方法．4．B【解析】设，，则，即．又，即，抛物线方程为．5．B【解析】设，，且区间关于y轴对称，为偶函数，故排除A，C，又，故排除D，选B．6．D【解析】对于一组具有线性相关关系的数据，可能所有的样本点都不在回归直线上，故A错误；预报变量y的值由解释变量x进行估计，故B错误；决定系数越小，残差平方和越大，说明该模型的拟合效果越不好，故C错误；在残差图中，残差点分布水平带状区城的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高，故D正确．故选D．7．A【解析】设关于直线对称的点的坐标为，则，解得，，即，由对称性可知，对于圆，圆心，半径，，当且仅当A，C，三点共线时等号成立，由于，，则，故选A．8．C【解析】因为，当且仅当时等号成立，从而当时，，则，故，；设函数，则，当时，，故在上单调递增，则，则，综上所述有，故选C．二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，满分18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ADACDBCD9．AD10．ACD【解析】对于A，依题意，，，；对于B，线段BF的中垂线与椭圆的两个交点满足要求，以B为圆心，为半径的圆与椭圆的两个交点满足要求，下顶点也满足要求，故满足要求的点A有5个，B错误；对于C，当直线倾斜角为时，垂直平分．故，．C正确；对于D，作的垂直平分线l与椭圆交于M，N两点，则，，因此M，N是两椭圆的交点．椭圆C上位于直线l下方的任意一点P均满足，即点P在椭圆外，同理可得椭圆C上位于直线l上方的任意一点Q均在椭圆内，故D正确．11．BCD【解析】对于A，连接AC，BD交于点O，由于四边形ABCD为正方形，故AC⊥BD，同理，，所以BD⊥平面ANCM，因此BD⊥AP．假设存在点P，使得AP⊥BM，则AP⊥平面BOM，故AP⊥OM，故当且仅当P，C重合时满足要求，不合题意，故A错误；对于B，将△MBC和△NBC展开至同一平面，由余弦定理得：，，B正确；对于C，过点P作交CD于点Q，连接AQ，∠APQ为所求角（记为）．△APQ为等腰三角形，设，则，，，由余弦定理有：，，容易发现这是关于x的增函数，故PC增大时，∠APQ的余弦值增大（大于0），故∠APQ减小，C正确；对于D，以O为球心，1为半径的球与各条棱均切于中点处，故每个侧面的交线即侧面正三角形的内切圆，，，D正确．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．0或1【解析】①当，即时，此时，②当，即时，此时（舍），③当，即时，由②可知（舍），则时，，综上，或1．13．【解析】由已知，可得，．4．【解析】化简得，所以，函数的图象靠近圆心的最大值点为，最小值点为．所以只需解得．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】（1）定义域：．由已知：函数为奇函数，所以，即，解得．（2）由（1）得：当时，因为，所以．令，解得．x—0＋单调递减极小值单调递增所以在上单调递减，在上单调递增．因此，当时，有极小值，并且极小值为．16．【解析】（1）证明：过A作AO⊥CB交CB的延长线于点O，连接DO，由题：，所以，又因为，，所以．因此分，故，又因为，所以平面ADO，又因为平面ADO，故．（2）设，由（1）得：OD，OC，OA两两互相垂直，故以O为原点，OD，OC，OA分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系Oxyz如图，则，，，，所以，，，设平面ABD法向量为，则有，设直线BC与平面ABD所成角为，则，又因为，所以．17．【解析】（1）因为，所以，由正弦定理：，得，故，因为，故．（2）由（1）可知，又，则，由基本不等式可知，则，所以，当时取等号．所以△ABC的面积最大值为．18．【解析】（1）X的可能取值为2，3，4，，，X的分布列为X234P数学期望．（2）因为n次抛掷得分恰为分，则只有1次抛掷得2分，于是，则，于是，两式相减，得，所以．（3）设得1分的次数为x，则得2分的次数为，因此抛掷100次所得总分为，此时，假定取最大值，必有，于是，即整理得解得，而，则，则，所以当取最大值时，．19．【解析】（1）设l上两点的坐标为，；经伸缩变换后变为，，则；；，；则．（2）作，的伸缩变换，椭圆变换得到了单位圆；椭圆变换得到了以原点为圆心的圆；P，Q，R，S变换得到，，，．O，，均在中垂线上，则O，，共线．