专题57二次函数（全章直通中考）（培优练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（苏科版）

专题5.7二次函数（全章直通中考）（培优练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2023·湖北十堰·统考中考真题）已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2022·山东济南·统考中考真题）抛物线与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点，为图形G上两点，若，则m的取值范围是（

）A．或B．C． D．3．（2022·内蒙古·中考真题）如图，抛物线（）的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为），下列结论：①；②；③当时，x的取值范围是；④点，都在抛物线上，则有．其中结论正确的个数是（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2021·四川雅安·统考中考真题）定义：，若函数，则该函数的最大值为（

）A．0 B．2 C．3 D．45．（2018·浙江绍兴·统考中考真题）若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（

）A． B． C． D．6．（2020·湖北黄石·中考真题）若二次函数的图象，过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是（

）A．B． C． D．7．（2023·浙江衢州·统考中考真题）已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列论中：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为（

）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④9．（2023·山东枣庄·统考中考真题）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程（）必有一个根大于2且小于3；③若是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数m，都有，其中正确结论的个数是（）

A．5 B．4 C．3 D．210．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，，．点M在菱形的边和上运动（不与点A，C重合），过点M作轴，与菱形的另一边交于点N，连接，，设点M的横坐标为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（

）

A．

B．

C．

D．

填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在抛物线上，点E在直线上，若，则点E的坐标是．

12．（2019·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点．为抛物线的顶点．若直线交直线于点，且为线段的中点，则的值为．13．（2019·广西贵港·中考真题）我们定义一种新函数：形如（，且）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x22x3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为，和；②图象具有对称性，对称轴是直线；③当或时，函数值随值的增大而增大；④当或时，函数的最小值是0；⑤当时，函数的最大值是4．其中正确结论的个数是.14．（2013·河南·中考真题）如图，抛物线的顶点为P（－2，2）与y轴交于点A（0，3），若平移该抛物线使其顶P沿直线移动到点，点A的对应点为，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为15．（2019上·重庆巴南·九年级阶段练习）如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为．16．（2023·湖北武汉·统考中考真题）抛物线（是常数，）经过三点，且．下列四个结论：①；②；③当时，若点在该抛物线上，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则．其中正确的是（填写序号）．17．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则．

18．（2022·四川成都·统考中考真题）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米）与物体运动的时间（秒）之间满足函数关系，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是；当时，的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023·广东广州·统考中考真题）已知点在函数的图象上．（1）若，求n的值；（2）抛物线与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．①m为何值时，点E到达最高处；②设的外接圆圆心为C，与y轴的另一个交点为F，当时，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．20．（8分）（2023·江苏·统考中考真题）已知二次函数（为常数）．（1）该函数图像与轴交于两点，若点坐标为，①则的值是_________，点的坐标是_________；②当时，借助图像，求自变量的取值范围；（2）对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围（用含的式子表示）；（3）当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围．21．（10分）（2023·山东日照·统考中考真题）在平面直角坐标系内，抛物线交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．

（1）求点C，D的坐标；（2）当时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线上方抛物线上一点，将直线沿直线翻折，交x轴于点，求点P的坐标；（3）坐标平面内有两点，以线段为边向上作正方形．①若，求正方形的边与抛物线的所有交点坐标；②当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的值．22．（10分）（2023·湖北黄石·统考中考真题）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为万元/件．设第个生产周期设备的售价为万元/件，售价与之间的函数解析式是，其中是正整数．当时，；当时，．（1）求，的值；（2）设第个生产周期生产并销售完设备的数量为件，且y与x满足关系式．当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大?最大的利润是多少万元?当时，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，求实数的取值范围．23．（10分）（2023·四川乐山·统考中考真题）已知是抛物（b为常数）上的两点，当时，总有（1）求b的值；（2）将抛物线平移后得到抛物线．探究下列问题：①若抛物线与抛物线有一个交点，求m的取值范围；②设抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E，外接圆的圆心为点F，如果对抛物线上的任意一点P，在抛物线上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求长的取值范围．24．（12分）（2023·海南·统考中考真题）如图1，抛物线交x轴于A，两点，交y轴于点．点P是抛物线上一动点．

（1）求该抛物线的函数表达式；（2）当点P的坐标为时，求四边形的面积；（3）当动点P在直线上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（4）如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作直线轴，交x轴于点H，当点P在第二象限时，作直线，分别与直线交于点G和点I，求证：点D是线段的中点．参考答案：1．A【分析】设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为，求得其坐标的横坐标，结合图象分析出的范围，根据二次函数的性质得出，进而即可求解．解：如图所示，设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为联立解得：或∴，由，则，对称轴为直线，设，则点在上，∵且，∴点在点的左侧，即，，当时，对于，当，，此时，∴，∴∵对称轴为直线，则，∴的取值范围是，故选：A．【点拨】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，数形结合熟练掌握是解题的关键．2．D【分析】求出抛物线的对称轴、C点坐标以及当x=m1和x=m+1时的函数值，再根据m1＜m+1，判断出M点在N点左侧，此时分类讨论：第一种情况，当N点在y轴左侧时，第二种情况，当M点在y轴的右侧时，第三种情况，当y轴在M、N点之间时，来讨论，结合图像即可求解．解：抛物线解析式变形为：，即抛物线对称轴为，当x=m1时，有，当x=m+1时，有，设（m1,1）为A点，（m+1,1）为B点，即点A（m1,1）与B（m+1,1）关于抛物线对称轴对称，当x=0时，有，∴C点坐标为，当x=m时，有，∴抛物线顶点坐标为，∵直线l⊥y轴，∴直线l为，∵m1＜m+1，∴M点在N点左侧，此时分情况讨论：第一种情况，当N点在y轴左侧时，如图，由图可知此时M、N点分别对应A、B点，即有，∴此时不符合题意；第二种情况，当M点在y轴的右侧时，如图，由图可知此时M、N点满足，∴此时不符合题意；第三种情况，当y轴在M、N点之间时，如图，或者，由图可知此时M、N点满足，∴此时符合题意；此时由图可知：，解得，综上所述：m的取值范围为：，故选：D．【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质、翻折的性质，注重数形结合是解答本题的关键．3．C【分析】根据抛物线的开口，对称轴，特殊值x=1可判断①②正确，根据图像可得，当y>0时，是x轴上方的图像，可判断③错误，求出，，结合①②的结论即可判断出④正确．解：∵抛物线的开口向下，a<0，对称轴为x=1，∴，∴，∵抛物线交于y轴正半轴，∴c>0，∴，故①正确；∵抛物线与x轴交于（1,0），∴当x=1时，，∵，∴将代入，得3a+c=0，故②正确；根据图像可得，当y>0时，是x轴上方的图像，抛物线过点（1,0），对称轴为x=1，根据抛物线的对称性可得，抛物线过点（3,0），∴y＞0时，有，故③错误；∵抛物线与x轴的两个交点为：（1,0），（3,0），对称轴为x=1，当x=2时，，当x=2时，，∵，3a+c=0，a<0，∴，，∴，故④正确，故选：C．【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，解决这类题需要掌握：a看抛物线开口方向，b往往看对称轴，c看抛物线与y轴的交点，以及抛物线的对称性以及代入特殊点等．4．C【分析】根据题目中所给的运算法则，分两种情况进行求解即可．解：令,当时，即时，，令，则w与x轴的交点坐标为（2，0），（1，0），∴当时，，∴（），∵y随x的增大而增大，∴当x=2时，；当时，即时，，令，则w与x轴的交点坐标为（2，0），（1，0），∴当时，或，∴（或），∵的对称轴为x=1，∴当时，y随x的增大而减小，∵当x=2时，=3，∴当时，y<3；当，y随x的增大而增大，∴当x=1时，=0；∴当时，y<0；综上，的最大值为3．故选C．【点拨】本题是新定义运算与二次函数相结合的题目，解题时要注意分情况讨论，不要漏解．5．B解：分析：根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论．详解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），∴该抛物线解析式为y=x（x2）=x22x=（x1）21．将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x1+2）213=（x+1）24．当x=3时，y=（x+1）24=0，∴得到的新抛物线过点（3，0）．故选B．点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，求出原抛物线的解析式是解题的关键．6．D【分析】根据题意，把A、B、C三点代入解析式，求出，再求出抛物线的对称轴，利用二次根式的对称性，即可得到答案．解：根据题意，把点、、代入，则，消去c，则得到，解得：，∴抛物线的对称轴为：，∵与对称轴的距离最近；与对称轴的距离最远；抛物线开口向上，∴；故选：D．【点拨】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，以及二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，正确求出抛物线的对称轴进行解题．7．C【分析】根据已知条件列出不等式，利用二次函数与轴的交点和二次函数的性质，即可解答．解：，，点，都在直线的上方，且，可列不等式：，，可得，设抛物线，直线，可看作抛物线在直线下方的取值范围，当时，可得，解得，，的开口向上，的解为，根据题意还可列不等式：，，可得，整理得，设抛物线，直线，可看作抛物线在直线下方的取值范围，当时，可得，解得，，抛物线开口向下，的解为或，综上所述，可得，故选：C．【点拨】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确列出不等式是解题的关键．8．B【分析】将代入，可判断①；根据抛物线的对称轴及增减性可判断②；根据抛物线的顶点坐标可判断③；根据的图象与x轴的交点的位置可判断④．解：将代入，可得，故①正确；二次函数图象的对称轴为直线，点到对称轴的距离分别为：4，1，3，，图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小，，故②错误；二次函数图象的对称轴为直线，，又，，，当时，y取最大值，最大值为，即二次函数的图象的顶点坐标为，若m为任意实数，则故③正确；二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，与x轴的另一个交点坐标为，的图象向上平移一个单位长度，即为的图象，的图象与x轴的两个交点一个在的左侧，另一个在的右侧，若方程的两实数根为，且，则，故④正确；综上可知，正确的有①③④，故选B．【点拨】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合思想．9．C【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①；对称性判断②；增减性，判断③；对称轴和特殊点判断④；最值判断⑤．解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴，∴，∴；故①错误；由图可知，抛物线与轴的一个交点的横坐标的取值范围为：，∵抛物线关于直线对称，∴抛物线与轴的一个交点的横坐标的取值范围为：，∴方程（）必有一个根大于2且小于3；故②正确；∵，∴抛物线上的点离对称轴的距离越远，函数值越大，∵是抛物线上的两点，且，∴；故③错误；∵∴，由图象知：，，∴；故④正确；∵，对称轴为直线，∴当时，函数值最小为：，∴对于任意实数m，都有，即：，∴；故⑤正确；综上：正确的有3个；故选C．【点拨】本题考查二次函数的图象和性质，正确的识图，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．10．A【分析】先根据菱形的性质求出各点坐标，分M的横坐标x在，，之间三个阶段，用含x的代数式表示出的底和高，进而求出分段函数的解析式，根据解析式判断图象即可．解：菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，，，，，，，，设直线的解析式为，将，代入，得：，解得，直线的解析式为．轴，N的横坐标为x，（1）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中上的高为，，，，该段图象为开口向上的抛物线；（2）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中，上的高为，，该段图象为直线；（3）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中上的高为，由，可得直线的解析式为，，，，，该段图象为开口向下的抛物线；观察四个选项可知，只有选项A满足条件，故选A．【点拨】本题考查动点问题的函数图象，涉及坐标与图形，菱形的性质，二次函数、一次函数的应用等知识点，解题的关键是分段求出函数解析式．11．和【分析】先根据题意画出图形，先求出点坐标，当点在线段上时:是△DCE的外角，，而，所以此时，有，可求出所在直线的解析式，设点坐标，再根据两点距离公式，，得到关于的方程，求解的值，即可求出点坐标；当点在线段的延长线上时，根据题中条件，可以证明，得到为直角三角形，延长至，取，此时，，从而证明是要找的点，应为，为等腰直角三角形，点和关于点对称，可以根据点坐标求出点坐标．解：在中，当时，，则有，令，则有，解得：，∴，根据点坐标，有所以点坐标

设所在直线解析式为，其过点、有，解得∴所在直线的解析式为：当点在线段上时，设而∴∴因为：，，有解得：，所以点的坐标为:当在的延长线上时，在中，，,∴∴如图延长至，取，

则有为等腰三角形，，∴又∵∴则为符合题意的点，∵∴的横坐标：，纵坐标为；综上E点的坐标为：或，故答案为：或【点拨】本题考查了二次函数与一次函数综合应用，熟练掌握一次函数根二次函数的图象和性质，分情况找到点的位置，是求解此题的关键．12．2【分析】先根据抛物线解析式求出点坐标和其对称轴，再根据对称性求出点坐标，利用点为线段中点，得出点坐标；用含的式子表示出点坐标，写出直线的解析式，再将点坐标代入即可求解出的值．解：∵抛物线与轴交于点，∴，抛物线的对称轴为∴顶点坐标为，点坐标为∵点为线段的中点，∴点坐标为设直线解析式为（为常数，且）将点代入得∴将点代入得解得故答案为2【点拨】考核知识点:抛物线与坐标轴交点问题.数形结合分析问题是关键.13．4【分析】由，和坐标都满足函数，∴①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，②也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值随值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与轴的两个交点，根据，求出相应的的值为或，因此④也是正确的；从图象上看，当或，函数值要大于当时的，因此⑤时不正确的；逐个判断之后，可得出答案．解：①∵，和坐标都满足函数，∴①是正确的；②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，因此②也是正确的；③根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值随值的增大而增大，因此③也是正确的；④函数图象的最低点就是与轴的两个交点，根据，求出相应的的值为或，因此④也是正确的；⑤从图象上看，当或，函数值要大于当时的，因此⑤是不正确的；故答案是：4【点拨】理解“鹊桥”函数的意义，掌握“鹊桥”函数与与二次函数之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数与轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握.14．12．【分析】连接AP，A′P′，过点A作AD⊥PP′于点D，根据平移的性质得出四边形APP′A′是平行四边形，进而得出AD，PP′的长，求出面积即可．解：连接AP，A′P′，过点A作AD⊥PP′于点D，由题意可得出：AP∥A′P′，AP＝A′P′，∴四边形APP′A′是平行四边形，∵抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3），平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），∴PO2，∠AOP＝45°，又∵AD⊥OP，∴△ADO是等腰直角三角形，∴PP′＝22＝4，∴AD＝DO＝sin45°•OA3，∴抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为：412．故答案为：12．【点拨】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法和勾股定理等知识，根据已知得出AB，是解题关键．15．【分析】连接AC,与对称轴交于点P,此时DE+DF最小，求解即可.解：连接AC,与对称轴交于点P,此时DE+DF最小，点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，在二次函数y=x2+2x﹣3中，当时，当时，或即点P是抛物线对称轴上任意一点，则PA=PB,PA+PC=AC,PB+PC=DE+DF的最小值为：故答案为【点拨】考查二次函数图象上点的坐标特征，三角形的中位线，勾股定理等知识点，找出点P的位置是解题的关键.16．②③④【分析】①根据图象经过，，且抛物线与x轴的一个交点一定在或的右侧，判断出抛物线的开口向下，，再把代入得，即可判断①错误；②先得出抛物线的对称轴在直线的右侧，得出抛物线的顶点在点的右侧，得出，根据，即可得出，即可判断②正确；③先得出抛物线对称轴在直线的右侧，得出到对称轴的距离大于到对称轴的距离，根据，抛物线开口向下，距离抛物线越近的函数值越大，即可得出③正确；④根据方程有两个相等的实数解，得出，把代入得，即，求出，根据根与系数的关系得出，即，根据，得出，求出m的取值范围，即可判断④正确．解：①图象经过，，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的两个交点都在的左侧，∵中，∴抛物线与x轴的一个交点一定在或的右侧，∴抛物线的开口一定向下，即，把代入得，即，∵，，∴，故①错误；②∵，，，∴，∴方程的两个根的积大于0，即，∵，∴，∴，即抛物线的对称轴在直线的右侧，∴抛物线的顶点在点的右侧，∴，∵，∴，故②正确；③∵，∴当时，，∴抛物线对称轴在直线的右侧，∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离，∵，抛物线开口向下，∴距离抛物线越近的函数值越大，∴，故③正确；④方程可变为，∵方程有两个相等的实数解，∴，∵把代入得，即，∴，即，∴，∴，即，∵在抛物线上，∴，n为方程的两个根，∴，∴，∵，∴，∴，故④正确；综上分析可知，正确的是②③④．故答案为：②③④．【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，根据已知条件判断得出抛物线开口向下．17．或【分析】根据题意求得点，，，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可求解．解：由，当时，，∴，∵，四边形是矩形，∴，①当抛物线经过时，将点，代入，∴解得：②当抛物线经过点时，将点,代入，∴解得：综上所述，或，故答案为：或．【点拨】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键．18．【分析】根据题意，得45+3m+n=0，，确定m，n的值，从而确定函数的解析式，根据定义计算确定即可．解：根据题意，得45+3m+n=0，，∴，∴，解得m=50，m=10，当m=50时，n=105；当m=10时，n=15；∵抛物线与y轴交于正半轴，∴n＞0，∴，∵对称轴为t==1，a=5＜0，∴时，h随t的增大而增大，当t=1时，h最大，且（米）；当t=0时，h最最小，且（米）；∴w=，∴w的取值范围是，故答案为：．当时，的取值范围是∵对称轴为t==1，a=5＜0，∴时，h随t的增大而减小，当t=2时，h=15米，且（米）；当t=3时，h最最小，且（米）；∴w=，w=，∴w的取值范围是，故答案为：．【点拨】本题考查了待定系数法确定抛物线的解析式，函数的最值，增减性，对称性，新定义计算，熟练掌握函数的最值，增减性，理解新定义的意义是解的关键．19．（1）的值为1；（2）①；②假设存在，顶点E的坐标为，或．【分析】（1）把代入得，即可求解；（2）①，得，即可求解；②求出直线的表达式为：，得到点的坐标为；由垂径定理知，点在的中垂线上，则；由四边形为平行四边形，则，求出，进而求解．（1）解：把代入得；故的值为1；（2）解：①在中，令，则，解得或，，，点在函数的图象上，，令，得，即当，且，则，解得：（正值已舍去），即时，点到达最高处；②假设存在，理由：对于，当时，，即点，由①得，，，，对称轴为直线，由点、的坐标知，，作的中垂线交于点，交轴于点，交轴于点，则点，则，则直线的表达式为：．当时，，则点的坐标为．由垂径定理知，点在的中垂线上，则．四边形为平行四边形，则，解得：，即，且，则，∴顶点E的坐标为，或．【点拨】本题为反比例函数和二次函数综合运用题，涉及到一次函数基本知识、解直角三角形、平行四边形的性质、圆的基本知识，其中（3），数据处理是解题的难点．20．（1）①②或；（2）；（3）【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式，令，求出点的坐标即可；②画出函数图像，图像法求出的取值范围即可；（2）求出二次函数的最小值，即可得解；（3）根据当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，得到和关于对称轴对称，进而求出的值，得到为的函数值，求出，推出直线过抛物线顶点或在抛物线的下方，即可得出结论．（1）解：①∵函数图像与轴交于两点，点坐标为，∴，∴，∴，∴当时，，∴，∴点的坐标是；故答案为：；②，列表如下：1345005画出函数图像如下：

由图可知：当时，或；（2）∵，∴当时，有最小值为；∵对于一切实数，若函数值总成立，∴；（3）∵，∴抛物线的开口向上，对称轴为，又当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，∴直线与抛物线的两个交点为，直线在抛物线的下方，∴关于对称轴对称，∴，∴，∴，∴，当时，有最小值，∴．

【点拨】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性较强，属于中考压轴题．21．（1），；（2）；（3）①，，；②【分析】（1）先求出，再求出抛物线对称轴，根据题意可知C、D关于抛物线对称轴对称，据此求出点D的坐标即可；（2）先求出，如图，设上与点M关于直线对称的点为，由轴对称的性质可得，利用勾股定理建立方程组，解得或（舍去），则，求出直线的解析式为，然后联立，解得或，则；（3）分图31，图32，图33三种情况，利用到x轴的距离之差即为纵坐标之差结合正方形的性质列出方程求解即可．（1）解：在中，当时，，∴，∵抛物线解析式为，∴抛物线对称轴为直线，∵过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D，∴C、D关于抛物线对称轴对称，∴；（2）解：当时，抛物线解析式为，当，即，解得或，∴；如图，设上与点M关于直线对称的点为，由轴对称的性质可得，∴，解得：，即∴，∴，解得或（舍去），∴，∴，设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为，联立，解得或∴；

（3）解：①当时，抛物线解析式为，，∴，∴，，当时，，∴抛物线恰好经过；∵抛物线对称轴为直线，由对称性可知抛物线经过，∴点时抛物线与正方形的一个交点，又∵点F与点D重合，∴抛物线也经过点；综上所述，正方形的边与抛物线的所有交点坐标为，，；

②如图31所示，当抛物线与分别交于T、D，∵当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，∴点T的纵坐标为，∴，∴，解得（舍去）或；

如图32所示，当抛物线与分别交于T、S，∵当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，∴，解得（舍去，因为此时点F在点D下方）

如图33所示，当抛物线与分别交于T、S，∵当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，∴，∴，∴，解得或（舍去）；当时，，当时，，∴不符合题意；

综上所述，．【点拨】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质等等，利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键．22．（1），；（2），；．【分析】（）用待定系数法求出，的值即可；（）当，根据利润（售价成本）设备的数量，可得出关于的二次函数，由函数的性质求出最值；当时，关于的函数解析式，再画出关于的函数图象的简图，由题意可得结论．解：（1）把时，；时，代入得：，解得：，；（2）设第个生产周期创造的利润为万元，由（）知，当时，，∴，，，∵，，∴当时，取得最大值，最大值为，∴工厂第个生产周期获得的利润最大，最大的利润是万元；当时，，∴，∴，则与的函数图象如图所示：

由图象可知，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，∴当，时，，当，时，，∴的取值范围．【点拨】此题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，明确一次函数与二次函数的性质并分类讨论是解题的关键．23．（1）0；（2）①②【分析】（1）根据，且时，总有，变形后即可得到结论；（2）按照临界情形，画出图象分情况讨论求解即可．（1）解：由题可知：

时，总有，．则，∴，∴总成立，且，；（2）①注意到抛物线最大值和开口大小不变，m只影响图象左右平移下面考虑满足题意的两种临界情形：（i）当抛物