清单07勾股定理勾股定理逆定理（18种题型解读（58题））（原卷版）

清单07勾股定理、勾股定理逆定理（18种题型解读（58题））【知识导图】【知识清单】【考试题型1】利用勾股定理求线段长1．（2023上·四川成都·八年级校考期中）若直角三角形两条直角边的长分别为3和6，则该直角三角形斜边上的高为．2．（2023上·河南驻马店·八年级统考期中）如图，做一个长80cm，宽60cm的长方形木框，需在对角的顶点间钉一根木条用来加固，则木条的长为3．（2023上·重庆忠县·九年级重庆市忠县忠州中学校校考期中）在△ABC中，AB=AC，AD是BC的中线，若AB=10，BC=12，则AD长为．4．（2023上·山西太原·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，若∠ABC的平分线交AC于点D，则AD的长为【考试题型2】利用勾股定理求面积5．（2023上·江苏连云港·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°,AC=3,BC=2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是．6．（2023上·海南·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，顶点A、B、C恰好分别落在一组平行线中的三条直线上，若相邻两条平行线间的距离是2个单位长度，则△ABC的面积是．7．（2023上·江苏淮安·八年级统考期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC、AB为边向外作正方形，面积分别为S1，S2．若S1=2，S8．（2023上·江苏苏州·八年级苏州高新区实验初级中学校考阶段练习）如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的面积为5，两边的正方形面积分别是S1，S2，则S

9．（2023上·辽宁本溪·八年级统考期中）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为8、

【考试题型3】已知两点坐标求两点距离10．（上海市徐汇区部分学校20232024学年八年级上学期月考数学试题）若点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(-3,0)，则线段AB的长为．11．（2019下·河南许昌·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点P5,-12到原点O0,0的距离是【考试题型4】勾股树问题12．（2023上·山东济宁·七年级济宁学院附属中学校考期中）下面各组a、b、c，是勾股数的是．（填序号）（1）a=7，b=24，c=25（2）a=5，b=13，c=12（3）a=4，b=5，c=6（4）a=0.5，b=0.3，c=0.413．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．若正整数a，n满足a2+n2=n+12，这样的三个整数a,n,n+1（如：3，4，5或5，12，【考试题型5】勾股定理与折叠问题14．（2023上·四川成都·八年级校考期中）已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则AE的长为cm，BF的长为15．（2023上·贵州六盘水·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．E为线段BD上一点，连接CE，将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B'落在CD的延长线上．若AB=5，BC=4，则△B'

16．（2023上·浙江杭州·八年级杭州市十三中教育集团（总校）校联考期中）如图，长方形ABCD中，∠B=90°，AB=6，BC=8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上，则BE17．（2023上·江苏泰州·八年级靖江市靖城中学校考期中）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是．

18．（2023上·河南驻马店·八年级驻马店市第二初级中学校考期中）如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E是线段BC上的动点，将△ABE沿直线AE翻折，得到△AB'E，点F是DC上一点，且DF=2，连接AF，B'F，则当BE

【考试题型6】勾股定理与网格问题19．（2023上·浙江温州·七年级统考期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，以数1表示的点为圆心，阴影正方形边长为半径，画圆弧交数轴于点A（点A位于原点右侧），则点A表示的数为．

20．（2023上·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，△ABC的面积是，点A到BC边的距离为．

21．（2023上·广东深圳·八年级深圳实验学校校考期中）如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中AB边上的高是．

【考试题型7】利用勾股定理证明线段的平方关系22．（2023上·陕西西安·八年级西安市第二十六中学校联考期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC,BD交于点O．若AD=1,BC=4，则AB2

23．（2022下·河北石家庄·八年级石家庄外国语学校校考阶段练习）已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．（1）若AB=5，OA=3，OC=4，则BC=；（2）若AD=2，BC=5，则A（3）若AB=m，BC=n，CD=c，AD=d，则m，n，c，d之间的数量关系是．24．（2022上·陕西西安·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，对角线分别为AC，BD，且AC⊥BD于点O，若AD＝2，BC＝6，则25．（2022·北京海淀·八年级校考期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AB=6，CD=10【考试题型8】勾股定理的证明方法26．（2023上·河南郑州·八年级校考期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请你从图1，图2，图3中任选一个图形来证明该定理；(2)①如图4，图5，图6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1,S2，直角三角形面积为27．（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图1所示，有若干张正方形和长方形卡片，其中A型卡片、B型卡片分别是边长为a、b的正方形，C型卡片是长为a、宽为b的长方形，且它的一条对角线长为c（如图1中的虚线）．(1)【操作一】若用若干张图1中的卡片拼成一个边长为a+3b的正方形，则需要A型卡片__________张，B型卡片__________张，C型卡片__________张；(2)【操作二】将两张C型卡片沿如图1所示虚线剪开后，拼成如图2所示的正方形，请借助于图2中阴影部分面积的两种表达方式，探索a、b、c满足的数量关系，写出你的结论并证明；(3)【操作三】如图3，将2张A型卡片和2张B型卡片无叠合的置于长为2a+b，宽为a+2b的长方形中．若图2中阴影部分的面积为4，图3中阴影的部分面积为15，记每张A型、B型、C型卡片的面积分别为SA、SB、SC【考试题型9】分类讨论思想在直角三角的应用28．（2024上·广东佛山·八年级校考阶段练习）若一直角三角形两直角边长分别为5和12，则斜边长为（

）A．13 B．119 C．13或15 D．1529．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）在Rt△ABC中，已知其两边长分别为a，b，且满足a-32+A．25 B．7 C．25或7 D．25或1630．（2022上·陕西榆林·八年级校考期中）直角三角形的两直角边的长分别为6，10，第三边长为（

）A．8 B．234 C．8或234 D．8【考试题型10】利用勾股定理解决动点问题31．（2023上·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，在等腰△ABC中，∠CAB=∠CBA，作射线BC，AD是腰BC的高线，E是△ABC外射线BC上一动点，连结AE．

(1)当AD=4，BC=5时，求CD的长；(2)当BC=CE时；求证：AE⊥AB；(3)设△ACD的面积为S1，△ACE的面积为S2，且S1S2=1832．（2023上·江西·八年级期末）如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9cm，AC=12cm，AB=15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm(1)如图（1），当t=时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；(2)如图（2），在△DEF中，∠E=90°，DE=4cm，DF=5cm，∠D=∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌33．（2023上·吉林长春·八年级吉林大学附属中学校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，动点P从点A出发沿线段AB以每秒2个单位长的速度运动至点B，过点P作PQ⊥AB，交射线AC于点Q．设点P的运动时间为t秒t>0

(1)线段AB的长为_____．(2)连接CP，当△ACP是等腰三角形时，求t的值．(3)当直线PQ把△ABC分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，直接写出t的值．【考试题型11】利用勾股定理解决规律问题34．（2023上·广西南宁·九年级南宁市第四十七中学校考期中）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S202335．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如果正整数a、b、c满足等式a2+b2=c2，那么正整数a、babc345861015817………………xy122A．142 B．143 C．144 D．14536．（2023上·河北保定·八年级保定十三中校考期中）图1是第七届国际数学教育大会（ICME7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形演化而成的．若图2中的OA1

（1）线段OA12的长为（2）若S1代表△A1OA2的面积；S2代表△A237．（2023上·四川成都·九年级校联考期中）如图，等腰Rt△OA1A2，OA1=A1A2=1，以O

【考试题型12】利用勾股定理解决新定义问题38．（2023上·上海黄浦·九年级统考期中）新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”．已知一个直角梯形的“等腰直角线”等于4，它的面积是．39．（2020上·山西太原·八年级太原师范学院附属中学校考阶段练习）我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据奇异三角形的定义，请你判断：若某三角形的三边长分别为1、2、7，则该三角形（填“是”或者“不是”）奇异三角形．40．（2022上·四川成都·八年级校考期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，已知点P1a,b，P2c,b，P3c,d，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点P1，P例如：点P1-1,2，P21,2，P31,3的（1）理解：点Q10,1，Q24,1，Q34,4的（2）探究：已知点O0,0，A-4,0，B-4,y．则点O，A，B的“最佳间距”41．（2023下·广东广州·八年级统考期末）定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD是AB边上的高，则△ABC中AB边的“中偏度值”为．

【考试题型13】判断三边能否构成直角三角形42．（2023上·江苏连云港·八年级校考期中）三角形的三边长分别是7,24,25，可以判断这是三角形．43．（2022下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）一个三角形的三边长为5、5、25，则该三角形的面积为44．（2023上·江苏常州·八年级统考期中）若n>1，△ABC三边长分别是n2-1，2n，n2+1，则45．（2023上·山东威海·八年级威海经济技术开发区皇冠中学校联考期中）已知△ABC三边长分别为a，b，c，且满足a2c2-b【考试题型14】图形上与已知两点构成直角三角形的点46．（2023下·浙江台州·八年级校考期中）在如图所示的5×5的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足△ABC为以AB为斜边的直角三角形．这样的点C有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个47．（2019·福建·校联考一模）点A（2，m），B（2，m5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若△ABO是直角三角形，则m的值不可能是（

）A．4 B．2 C．1 D．0【考试题型15】在网格上判断直角三角形48．（2023上·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，图中小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC是（

）

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断49．（2023上·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）如图是由6个边长相等的正方形组成的网格，则∠1+∠2=（）

A．80° B．85°C．90° D．95°50．（2021上·广东深圳·八年级统考期末）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B都在格点上，则下列结论错误的是（

A．△ABC的面积为10 B．∠BAC=90°C．AB=25 D．点A到直线BC的距离是【考试题型16】利用勾股定理逆定理求解51．（2023上·山东青岛·八年级校考期中）若△ABC的三边分别是a，b，c，则下列条件能判断△ABC是直角三角形的是（

）A．∠A=∠B=2∠C B．∠A:∠B:∠C=3:4:5C．a=1，b=2，c=3 D．a=1，b=2，52．（上海市徐汇区部分学校20232024学年八年级上学期月考数学试题）如图，在四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，DA=24，且∠B=90°，下列结论中：①∠D=90°；②∠A+∠C=180°；③∠C=120°；④S四边形ABCD=204A．② B．①② C．①④ D．①③④53．（2023下·河南许昌·八年级统考期中）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a+ca-cA．∠A为直角 B．∠B为直角 C．∠C为直角 D．∠A是锐角【考试题型17】利用勾股定理逆定理证明54．（2023上·河南周口·八年级统考期中）如图，已知等腰△ABC的腰AB=13cm，D是腰AB上一点，且CD=12cm，(1)求证：△BDC是直角三角形．(2)求△ABC的周长．55．（2023上·陕西西安·八年级西安市第二十六中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，AD为BC边上的中线，且AD＝12，过点

(1)求证：AD⊥BC；(2)求DE的长．56．（2023上·浙江衢州·八年级统考期中）如图，在四边形ACED中，∠C=∠E=90°，BC=a，AC=b，AB=BD=c，AD=(1)求证：∠ABD=90°；(2)求证：DE=a，BE=b；(3)求证：c2=a【考试题型18】勾股数的探究57．（2021上·山西晋中·八年级统考期中）阅读下列内容，并解决问题．一道习题