陕西省西安市高三上学期期末考试数学（文）试题

数学（文）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】∵集合，∴故选：A2.复数，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】∵复数，，∴∴故选：D3.若，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】∵a＞b＞0，0＜c＜1，∴logca＜logcb，故B正确；∴当a＞b＞1时，0＞logac＞logbc，故A错误；ac＞bc，故C错误；ca＜cb，故D错误；故选：B4.设函数，若，则实数的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】①当m≥2时，f（m）=7为：m2﹣2=7，解得m=3或m=﹣3（舍去），则m=3；②当m＜2时，f（m）=7为：，解得m=27＞2，舍去，综上可得，实数m的值是3，故选：D．5.设，则“”是“直线：与直线：平行”的（）A.充分必要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选：C．6.执行如图所示的程序框图，如果运行结果为，那么判断框中应填入（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意可知输出结果为S=5040，通过第一次循环得到S=1×2=2，k=3，通过第二次循环得到S=1×2×3=6，k=4，通过第三次循环得到S=1×2×3×4=24，k=5，通过第四次循环得到S=1×2×3×4×5=120，k=6，通过第四次循环得到S=1×2×3×4×5×6=720，k=7，通过第六次循环得到S=1×2×3×4×5×6×7=5040，k=8，此时执行输出S=5040，结束循环，所以判断框中的条件为k＞7？．故选：B．点睛：本题的实质是累加满足条件的数据，可利用循环语句来实现数值的累加（乘）常分以下步骤：（1）观察S的表达式分析，确定循环的初值、终值、步长；（2）观察每次累加的值的通项公式；（3）在循环前给累加器和循环变量赋初值，累加器的初值为0，累乘器的初值为1，环变量的初值同累加（乘）第一项的相关初值；（4）在循环体中要先计算累加（乘）值，如果累加（乘）值比较简单可以省略此步，累加（乘），给循环变量加步长；（5）输出累加（乘）值．7.已知公差不为的等差数列满足，，成等比数列，为数列的前项和，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】所以，选C.8.三棱锥的三条侧棱，，两两垂直，且，，，则该三棱锥的外接球的体积是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】解：三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长：=以球的直径是，半径为，球的体积：=．故选：A．点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．9.等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于，两点，；则的实轴长为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：等轴双曲线焦点在轴上，设其方程为，且．抛物线的准线方程为，代入双曲线方程，解得．，解得．双曲线实轴，故选C．考点：1、等轴双曲线的简单性质；2、抛物线准线方程．10.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为底面半径为、高为的圆锥的，所以该几何体的体积，故选D.考点：三视图.11.我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列，，，，…，.①第二步：将数列①的各项乘以，得数列（记为），，,…，.则等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】∵ak=．n≥2时，ak﹣1ak==n2（﹣）．∴a1a2+a2a3+…+an﹣1an=n2[（1﹣）+（）+…+（﹣）]=n2（1﹣）=n（n﹣1）．故选：A12.已知函数，（，，）满足，且，则下列区间中是的单调减区间的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由可得：，即，∴，∴，∵，∴函数图象关于对称，∴，∴，又，∴，∴令，解得：，令，，∴的单调减区间的是故选：A点睛：形如y＝Asin的函数的单调区间的求法①若A＞0，ω＞0，把ωx＋φ看作是一个整体，由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπk∈Z求得函数的增区间，由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπk∈Z求得函数的减区间.,②若A＞0，ω＜0，则利用诱导公式先将ω的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解.第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，的夹角为，，，则__________．【答案】【解析】∵向量，的夹角为，，，∴∴故答案为：14.设，满足约束条件则取得最大值时的最优解为__________．【答案】【解析】作可行域：

Z表示目标函数线纵截距的相反数，所以要使z最大，即纵截距最小，所以当目标函数线过A(5,2)时，目标函数值最大，为故答案为：点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15.一根长度为米的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得两段的长都不小于米的概率为__________．【答案】【解析】记“两段的长都不小于1m”为事件A，则只能在中间1m的绳子上剪断，才使得剪得两段的长都不小于1m，所以由几何概型的公式得到事件A发生的概率P（A）=．故答案为：16.若对于曲线上任意点处的切线，总存在上处的切线，使得，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】f（x）=﹣ex﹣x的导数为f′（x）=﹣ex﹣1，设（x1，y1）为f（x）上的任一点，则过（x1，y1）处的切线l1的斜率为k1=﹣ex1﹣1，g（x）=2ax+sinx的导数为g′（x）=2a+cosx，过g（x）图象上一点（x2，y2）处的切线l2的斜率为k2=2a+cosx2．由l1⊥l2，可得（﹣ex1﹣1）•（2a+cosx2）=﹣1，即2a+cosx2=，任意的x1∈R，总存在x2∈R使等式成立．则有y1=2a+cosx2的值域为A=[2a﹣1，2a+1]．y2=的值域为B=（0，1），有B⊆A，即（0，1）⊆[2a﹣1，2a+1]．即，解得0≤a≤．故答案为：[0，]．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.若向量，，其中.记函数，若函数的图象上相邻两个对称轴之间的距离是.（1）求的表达式；（2）设三内角、、的对应边分别为、、，若，，，求的面积.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知利用平面向量数量积的运算化简可得函数解析式f（x）=，由题意可知其周期为π，利用周期公式可求ω，即可得解函数解析式．（Ⅱ）由f（C）=1，得，结合范围0＜C＜π，可得，解得C=，结合已知由余弦定理得ab的值，由面积公式即可计算得解．试题解析：（1）∵，∴由题意可知其周期为，，即，∴.（2）由，得，∵，∴，∴，解得，又∵，，由余弦定理得，∴，即，∴由面积公式得面积为.18.如图，直三棱柱中，，分别是，的中点.（1）证明：平面；（2）设，，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）连结AC1交A1C于点F，连结DF，则BC1∥DF，由此能证明BC1∥平面A1CD；（2）由已知得AA1⊥CD，CD⊥AB，从而CD⊥平面ABB1A1．由此能求出三菱锥C﹣A1DE的体积．试题解析：（1）连结交于点，则为中点，又是中点，连结，则.因为平面，平面，所以平面.（2）因为是直三棱柱，所以.由已知，为的中点，所以.又，于是平面.由，得，，，，，故，即.所以.点睛：:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．19.为了迎接第二届国际互联网大会，组委会对报名参加服务的名志愿者进行互联网知识测试，从这名志愿者中采用随机抽样的方法抽取人，所得成绩如下：，，，，，，，，，，，，，，.（1）作出抽取的人的测试成绩的茎叶图，以频率为概率，估计这志愿者中成绩不低于分的人数；（2）从抽取的成绩不低于分的志愿者中，随机选名参加某项活动，求选取的人恰有一人成绩不低于分的概率.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（Ⅰ）根据成绩，茎为十位数字5,6,7,8,9，个数数字为叶，得茎叶图，由样本得成绩在90以上频率为，由此可估计出成绩不低于90分的人数；（Ⅱ）抽取的成绩不低于80分的志愿者有6人，从中选3人可有20种选法（可用列举法列出各种可能），然后再数出恰有一人成绩不低于90分的有12种，由概率公式可得概率．试题解析：（Ⅰ）抽取的15人的成绩茎叶图如图所示，由样本得成绩在90以上频率为，故志愿者测试成绩在90分以上（包含90分）的人数约为=200人.（Ⅱ）设抽取的15人中，成绩在80分以上（包含80分）志愿者为,,,,,,其中，的成绩在90分以上（含90分），成绩在80分以上（包含80分）志愿者中随机选3名志愿者的不同选法有：{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{,,},{,,},{,,}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，},{，，}共20种，其中选取的3人中恰有一人成绩在90分以上的不同取法有：{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{,,},{,,}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}共12种，∴选取的3人中恰有一人成绩在90分以上的概率为=.考点：茎叶图，样本估计总体，古典概型．20.已知是圆：上的动点，在轴上的射影为，点是线段的中点，当在圆上运动时，点形成的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）经过点的直线与曲线相交于点，，并且，求直线的方程.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）利用代入法，求曲线E的方程；试题解析：（1）设，则在圆上，所以，即（2）（ⅰ）当直线斜率不存在时，经检验，不满足题意；（ⅱ）设直线斜率为，则其方程为，则令，得设，①②又由，得，将它代入①，②，得，（满足）所以直线的斜率为，所以直线的方程为.21.已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，判断方程在区间上有无实根；（3）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)内无实数根；（3）.【解析】试题分析：（2）把m的值代入后，求出f（1），求出x=1时函数的导数，由点斜式写出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）代入m的值，把判断方程f（x）=g（x）在区间（1，+∞）上有无实根转化为判断函数h（x）=f（x）﹣g（x）在（1，+∞）上有无零点问题，求导后利用函数的单调性即可得到答案；（Ⅲ）把f（x）和g（x）的解析式代入不等式，整理变形后把参数m分离出来，x∈（1，e]时，不等式f（x）﹣g（x）＜2恒成立，转化为实数m小于一个函数在（1，e]上的最小值，然后利用导数分析函数在（1，e]上的最小值．试题解析：（1）时，，，，切点坐标为，∴切线方程为（2）时，令，，∴在上为增函数，又，所以在内无实数根.（3）恒成立，即恒成立.又，则当时，恒成立，令，只需小于的最小值.，∵，∴，∴时，，∴在上单调递减，∴在的最小值为，则的取值范围是.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不