2021年沪教版必修二数学期末复习-第9章 复数章节压轴题解题思路分析

章节压轴题解题思路分析

名师点睛

模块一：复数及其四则运算

1.（2021•全国高二单元测试）（2）i为虚数单位，1+111

A.0B.2iC.-2iD.4i

【答案】A

【详解】此题考查复数的运算

111

?+了+;7

答案A

点评：注意/=」

2.（2020•全国高三其他模拟）已知复数z满足z（l+/）=i202',则复数z的共粗复数4=（）

A.L

B.iC.-iD-

22

【答案】D

【分析】根据复数的乘方运算和复数的除法运算求得z=?+1i,再由共扼复数的概念可得

22

选项.

.八505..,IZ(l-Z)1+Z11.

【详解】解：因为I2021•4x505+1i4)xz=z,所以z=-----------------=----=—I—i

>1+Z(1+z)(l-0222

22

故选：D

【点睛】结论点睛：求解复数的运算问题时要牢记复数的相关运算技巧和结论：（l+i）221,

24n4fl+,•4/1+21•4/1+3

(1-/)=-2Z,(1+D-(1-D=2,i=1,z=1=—1=-i(〃£N).

3.（2018•全国高二课时练习）在复数范围内解方程|z『+（z+5）i=—=（i为虚数单位）.

2+1

【答案】z=-《土立i

22

试题分析：设z=x+yi（x,yeR）,代入|z5+（z+2）i=3二，利用复数的四则运算，再山

2+1

复数相等的条件列式，即可求得x，y的值.

试题解析：

原方程化简为|z『+(z+Z)i=l-i,

设2=*+丫i心、yGR),代入上述方程得xV+2xi=l-i,

...x'+y2=l目.2x=T,解得x=-,且y=±",

22

•••原方程的解是z=-]±@i.

22

点睛：本题考查共轨复数及复数的模的概念和复数相等的概念，以及复数的四则运算能力，

对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(a+初)(c+力)^(ac-hd)+

(ad+bc)i,(a,b,c,deR),其次要熟悉复数相关基本概念,如复数a+初(a,beR)的实部为

a、虚部为b、模为，/+收、对应点为(°,6)、共辄为a—初等知识点.

4.(2021•全国高二单元测试)已知虚数z满足|2z+l-i|=|z+2—2,[.

(1)求忖的值；

(2)若加z+^eR,求实数，"的值.

Z

【答案】(1)应；(2)m=；.

【分析】⑴设虚数2=。+万，。、bsR,由题意列方程求出/+/的值，即可得出忖；

(2)由mz+^eR,列方程求出实数机的值.

Z

【详解】(1)设虚数z=a+4(。、人£/?且力NO),

代入|2z+l-i|=|z+2-2?[得伙+1+(»-1川=|(a+2)+伍-2川，

(2a++(给-=g+2)2+(〃_，

即4片+4从+4a—4匕+2=/+力2+4。―48+8，可得/+/=2，因此，|z|=A/2：

(2)由(1)知，z=a+bi其中。、bGR,且6WO,a2+b2=2

又知77tz+—GR.

z

1/,.X1/7•、a-bi(a-hi

mz+—=mla+bi)-1------=m\a+bi]-\--------------=m\a+bi)-\------

z'7a+bii)(a+bi)(a-bi)(72

a

tna+—+，*L

2

v/7zz+—eR,mh--h=O,解得m=工.

z22

【点睛】关键点点睛：复数分类的关键：

(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的

关系式，求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式2=。+沅(a/eR)时应

先转化形式；

(2)注意分清复数分类中的条件：设复数z=a+4(a,0eR),则：

①z为实数o/?=0；②z为虚数o/?wO；③z为纯虚数=。=0,Z?#0；④

z=O=a=/?=O.

模块二：复数的几何意义

一、单选题

1.(2019•全国高二专题练习(文))已知0<a<2,复数z的实部为a,虚部为1,则目的

取值范围是

A.(1,5)B.(1,3)C.(1,75)D.(1,6)

【答案】C

【详解】本题考查复数的基本概念及复数模的求法，同时考查利用函数思想求范围.

由于0<a<2,故1</+1<5,\z\=>Ja2+1e(l,\/5j.

/■,

2.(2020•全国高三月考)已知复数z满足z=」-+l,则同=()

1+/''

A.3B.V13C.4D.5

【答案】D

【分析】利用复数的四则运算法则，化简得到复数z=4+3i,进而求得复数的模.

【详解】因为2=回+1=&(1-')+1=4+3，,

1+z2

所以|z|=5.

故选:D.

【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关复数的问题，解题的关键是熟练掌握复数的运算法

则，以及复数模的公式.

3.(2021•湖南长沙市•雅礼中学高一月考)复数ZI=l+icos6,z?=sin6-i,则归-z21

的最大值为—

【答案】V2+1

【分析】利用复数的加减运算法则计算计算Z「Z2,然后计算归-Z2I并利用三角函数的性质

分析其最值.

【详解】因为马=1+icos。，z2=sin^-i,

所以Zj-z2=(l-sin^)+(cos^-l)z,

故|z|-Z2I=J(l-sin61)2+(cos/-if=j3-2sin"2cos6=j3-2&sin(e+?),

所以当sin(e+?)=—l时，|z「Z2|有最大值，且最大值为弓-Zzk、=J3+20=&+l.

故答案为：V2+1.

【点睛】本题考查复数的模长计算，解答本题的关键在于先要表示出R-Zzl的表达式，然后

通过辅助角公式将|z「Z2|化简，结合三角函数的性质求解最值.

4.(2021•全国高三专题练习)复数z=2l=______；其所确定的点Z位于复平面的第一

1+1

象限.

13

【答案】---i,四

22

【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共甄复数，化简复数Z=4二，

1+/

从而可得结果.

【详解】复数Z=-

1+Z

_(2-0(1-0

~(1+0(1-0

-l-3zZZ—1—■3■I.

222

复数z对应的坐标为复数位于第四象限.

故答案为丁1力3；四.

22

【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚

部的理解，掌握纯虚数、共输复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母

实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造

成不必要的失分.

5.(2021•浙江高三其他模拟)已知复数z满足(z+i)(l+，)=2-i,其中i为虚数单位，则

忖=_

【答案】叵

222

【分析】由(z+i)(l+i)=2—i可得：z=2二-i,之后利用复数运算法则对其进行化简，求

l+i

得z=进而求得其模.

22

由题意得“/=包罗一不3.15.

【详解】—I---------1

222

所以目=

故答案为：①:-斗；②』工.

222

【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关复数的运算，正确解题的关键是灵活运用复数四则

运算法则.

模块三：实系数一元二次方程

1.(2021•全国高三专题练习)已知关于x的实系数方程/一2狈+/一4。+4=0两个虚根

为无1，X2,且国+冈=3,则4=()

1717

A.—B.—C.彳或；D.不存在

2222

【答案】A

【分析】关于x的实系数方程V一2ax+/—4。+4=0两个虚根为司，/，所以/<0,可

得a<l,

利用根与系数的关系可得4+W=2。,“|,工2="—4a+4=(a—2)一>(),设

X+Xf-2/7?=2a

'：22_24,根据㈤+|々|=3,可

{%*X?—in+〃—Cl—4。+4

得加92+〃.2=9可求得答案

4

【详解】关于X的实系数方程2批+4一4〃+4=()两个虚根为为，尢2,

△=4片-4,2_4Q+4)=16(Q-1)v(),所以Q<1

22

xx+x2=2a,x]-x2=tz-4tz+4=(«-2)>0

设％=m+ni,x2=m-ni(m,nsR)

x+x=2m=2a

所以}2

22

x}-x2=m+n=o2-4。+4

|%1|十|司=3,即%|+闫=2，疝+〃2=3,即>+〃2=(

o17

由凡•尤2=〃/+/=—4〃+4即/一4〃+4=(〃-29)=：，解得m=5或相=5.

又%+%=2机=2。，。<1,则〃z<1,所以〃?=’

2

所以

2

故选：A

【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、判别式、根与系数的关系、复数

的模的计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.

2.(2020・上海高二课时练习)已知虚数z满足Z3=8,则Z3+Z?+2Z+2=().

A.20B.16C.10D.6

【答案】D

【分析】利用立方差公式化简已知条件，根据z为虚数，得到Z2+2Z+4=0，由此求得

z，+z~+2z+2•

【详解】由于Z3=8,所以z'—23=(z-2)(Z2+2Z+4)=0,所以z—2=0或Z2+2Z+4=0.

由于z为虚数，所以z—2=0舍去，得Z2+2Z+4=0.

所以Z3+Z2+2Z+2=Z3+(Z2+2Z+4)-2=8+0-2=6.

故选：D

【点睛】本小题主要考查复数运算，属于中档题.

3.(2020•上海高三专题练习)方程z2-5|z|+6=O在复数集中的解有

A.2个B.4个C.6个D.8个

【答案】C

【分析】设2=。+沅，代入方程，化简后按。=0或人=0进行分类讨论，由此求得方程的解,

进而得出正确选项.

【详解】^z=a+bi,代入方程得(a+初『一5XV77F+6=0,

化筒得cr—b1—51a2+〃+6+2,血•=0①，

所以。=0或8=0,

当a=0时，由①得一6一5忖+6=0=>/+5同一6=0,

即(网+6乂网-1)=0=>网一1=0=b=±1,

对应的复数为z=±i

当人=0时，由①得〃-5问+6=0=(|a|-2)(|a|-3)=0,解得a=±2或a=±3,

对应的复数为z=±2、z=±3.

综上所述，共有6个解.

故选：C

【点睛】本小题主要考查方程在复数范围内的解，属于中档题.

4.(2020・上海高二课时练习)若复数范围内将2x2-4x+3分解因式，所得的结果为

川一月］

A.[1+争1等)B."+字2J

)⑸

C.2〔1+争x-1----2--1JD.2x+1+iX+1----1

27

【答案】C

【分析】设z=a+A,z=a(a,beR)是方程2/一4x+3=0的两个复数根，求得z,I,

进而求得分解因式的结果.

【详解】方程2/一4x+3=0的判别式A=16—4x2x3=—8<o,所以方程

2

2%-4X+3=0,有两个互为共葩复数的复数根，设2=。+初,z=a-初(a,beR)是方程

_-4

z+z=2a=----f-

2,解得=\,b=±也.所以方程

2/一4x+3=0的两个复数根，则，a

z-z=a2+b2=—

2

2X2-4X+3=0的两个复数根为1土也i.故复数范围内将2——4x+3分解因式得

2

r,⑸=2「一1+乌

2X-1----1乌、

I2)I2JI22)

故选：c

【点睛】本小题主要考查复数运算，属于中档题.

5.(2020•上海高三专题练习)方程—+(一2+，)》+1+，=0的根的情况是().

A.有两个不等实根B.有一对共朝虚根

C.有一个实根，一个虚根D.有两个不共辄虚根

【答案】D

【分析】设%、Z为方程/+(-2+i)x+l+i=0的两个根，由韦达定理可排除A、B；若再为

x,2-2x,+1=0

实数，由复数相等的条件可得〈।,由该方程无解即可排除C；即可得解.

玉+1=0

【详解】设王、/为方程/+(-2+，»+1+/=0的两个根，

则由韦达定理可得XI+工2=2-i,x/2=l+i，

所以占、%不可能为两个不等实根，也不可能是一对共轨虚根，故排除A、B；

若无1为实数，则x；+(—2+7居+l+i=M—2百+1+(%+l)i=O,

则可得-2"+1=0,此方程无解，所以原方程无实数根，故排除C.

玉+1=0

故该方程只有两个不共轨虚根.

故选：D.

【点睛】本题考查了复数范围内一元二次方程的根的情况的讨论，考查了复数相等的条件，

关键是掌握韦达定理的适用条件，属于中档题.

6.(2020・上海高二课时练习)若有两个数，它们的和是4,积为5,则这两个数是.

［答案】2±i

【分析】设=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d&R),利用z,+z2=4,z,-z2=5列方程组，解方程

组求得题目所求两个数.

【详解】设4=。+瓦/2=c+di(a,0,c,deR),依题意有％+z2=4,z/Z2=5,

。+c=4

a+c+(0+d)i=4h+d=0

即ac-bd+(qd+Z?c)z=5'"以.将b=-d代入加+6c=0,得。=c；将。=c

ac-hd=5

ad+bc=()

代入〃+c=4,解得〃=c=2；将a=c=2代入ac-〃d=5,得bd=-1,结合匕=一〃解得

b=lh=—l

或《」，.所以对应的数为2+i、

'd=-\a-1

故答案为：2±i

【点睛】本小题主要考查复数运算，属于中档题.

7.（2020・上海高二课时练习）已知z为虚数，且有|z|=5,z2+25为实数，若z为实系数

一元二次方程x2+—+c=O的根，则此方程为.

【答案】x2—2x4-25=0

【分析】设2=工+同（犬,）£1<,且ywO）,根据已知建立方程关系，求出z,利用韦达

定理得

z+z=-b,z・z=c，即可求出方程.

【详解】设2=工+”（九,ywR,且ywO）,

则IZ|=yjx2+y2=5,尤2+y2=25,

z2+2z=x2-y2+21+（2xy-2y）iG/?,/.y（x-l）=0,x=l,

y=±2>/6,z=1±2n，所以方程V+法+0=0的根为1土2瓜,

z+z=2=—b,b=—2,z•z=25=c，

所以方程为2X+25=0.

故答案为：x2—2x+25=0.

【点睛】本题考查复数的运算以及实系数一元二次方程根的性质，注意根与系数关系的应用，

考查计算求解能力，属于中档题.

8.（2020・上海高二课时练习）若4,Z2是实系数一元二次方程的两个虚根，N=a（G+，）F,

z2

且|。区2.

求：（1）实数〃的取值范围：

（2）|（。-4）+也|的最大值.

【答案】（1）（2）V26

【分析】（1）根据实系数方程的两个虚数根互为共辄复数得其模相等，利用模的性质可得。

的范围；

（2）求出|（a-4）+勿|,结合二次函数性质可得结论.

【详解】（I）Z1,Z2是实系数一元二次方程的两个虚根，，％|=忆|,

,।a（G+》Z||如6+31忆|.......（I

131=-------------------------;~；------=21a|<2,所以|a区1；

Z2\Z2\

（2）|（a—4）+勿|=J（a—+片=J2（a—2>+8在一1VaW1上单调递减，所以当。=一1

时取到最大值盘.

【点睛】本题考查复数的模的运算，考查模的性质，在复数乘除法运算中利用模的性质求模

可以更加简便.上村二团闾，年二年.

9.（2020•上海高二课时练习）设看,々是方程2/+3数+/-a=O（aeR）的两根，求

凶+国（用含。的解析式表示）.

y（«>1或。<-8）

“丁（0<«<1）

小21厂-"）（-8<a<0）

【分析】根据判别式讨论方程根的情况，若△NO,再对两实根的符号讨论，结合根与系数关

系，即可得出结论；I若/<0,方程两根为共挽虚数，利用模的关系，结合根与系数关系，即

可求出结论.

【详解】（1）当方程有实根时，△=9/一8（/-。）=a（a+8）N0,

得。20或。〈一8,若国工2=/一。20，得。之1或〃<（）.

**->P|Q21或a4—8时，X，W同号，［占|+上|=|，i+；

当0Wav1时,3,W异号，

㈤+"|=|否一3|=1(1+々)2-4中2=；8a.

(2)当方程有虚根时，/=a(a+8)<0,得—8<a<0.

/.|^|+|x2|=2|xJ=2,X］耳=2Jxz=不2(/-a).

—(a>1或a<-8)

综上：归|+闯=,受包(0<«<1)

小2(&--a)(—8<a<0)

【点睛】本题考查实系数一元二次方程根的判别式，以及根与系数关系的应用，考查分类讨

论思想和计算求解能力，属于中档题.

10.（2020•上海高二课时练习）方程3/-6（m-1»+〃?2+1=0的两个虚根的模之和为2,

求实数，"的值.

【答案】夜

【分析】设用，%是方程的两个根，计算/＜。得到，5＜加＜士黄，计算㈤=1，代

入数据计算得到答案.

【详解】设王，々是方程的两个根，因为方程有两个虚根，••./＜（），

即36（加-1）2-4X3（4+1）＜0,化简得病一3加+1＜0,

解不等式得主妙＜m＜21,

22

'•1力+闯=2，且国=闯，㈤=1，而新［=1，,J"；।=1.

in2—2＞m=+V2＞检验取m=V2-

【点睛】本题考查了方程的虚根，意在考查学生的计算能力和应用能力.

11.（2020・上海高二课时练习）已知方程工2+4》+机=0的两根为a,6且满足1。-£1=6,

求实数加的值.指出下面的解法是否有错误，若有请分析错误原因，并给出正确的解答；若没

有，请说明理由.

\a-（3\=6,得|a-6『=36.（a+=产-4s=36.

由方程的根与系数的关系，得

（-4）2-4m=36.

解方程，得加=—5.

【答案】有错误，理由见解析，机=-5或机=13.

【分析】利用举反例的方法，说明错误原因,按照ANO和/＜0进行分类讨论，由此求得优的

所有可能取值.

【详解】上面解法有错误，原因是当xeC时，z2不一定等于|z『.如z=i,则z2=-l,|z『=l.

正确解法：

（1）当△=16—4m20,即加44时，有a,0wR,此时解答同上面解法；

（2）当/＜0,即加＞4时，方程有共枕虚根，两根为於土巫三叵=一2土而4晨

2

依题意|a-J3\=\2dm-4i|=6.

解方程，得〃2=13.

综上所述，机=-5或m=13.

【点睛】本小题主要考查在复数范围内求一元二次方程的根，属于中档题.

12.（2020・上海高二课时练习）方程/+2%+%=0的两个虚根为Z1,Z2，且

|2Z1|<|Z2+1-2Z|,求实数加的范围.

【答案】

a=­l

【分析】设4=。+万3力€凡。/0）,则22="一瓦.根据韦达定理可得《，，2,再根

4

据模长公式化简不等式可得0<。<§，山〃z=1+后可得答案.

【详解】设Z]=4+4（。/€火）/0）,则Z2="一。i.

因为方程丁+2》+机=0有虚根，机eR,所以A=2?-4加<0,解得%>1,

z,+z,=-2（2a--2[a--\

根据韦达定理得《，受2,2,即1,,2，

ZjZ2=m[m=a+Z?\m=\+b

因为RzJvH+l-2i],所以4匕『<匕+1-2",

4

所以4|一1+从『<|-（。+2»/，所以4+4/<3+2）2,所以弘2_48<0，所以（）</?<§,

,16

所以0〈/〈二

••.1＜吁1+入”.

9

25

【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理，考查了韦达定理以及复数的模长

公式，属于基础题.

13.（2020•上海高二课时练习）已知复数4,Z2满足条件,|<2,|Z21<2.是否存在非零

实数"Z，使得4+22=工和7三=,同时成立？若存在，求出〃7的取值范围；若不存在，

mm

请说明理由.

31

【答案】存在，“;或根〉二

44

11

【分析】根据题意得到则4/2是方程f0一—x+—=o的两个根，讨论ANO和』<0两种情

mm

况，计算得到答案.

【详解】痣=’，则4Z2=L,Z1+Z2=^•，则马/2是方程/一J_x+_L=o的两个根,

mmmmm

当△=」一4i（）即且初WO时，geR,记/（幻=%2__1%+_1,忆|＜2,

mm4mm

/（-2）>0

/⑵>（）

3

㈤<2,解得m<—；

-2<—4

2m

A>0

当△=-L—百＜0即"?＞!时，Z-Z2为一对共施虚根，则闵＜2,则,＜4,

mm4m

即加〉工或加＜0（舍）,

4

311------1

综上，存在实数团，当机＜一一或加,一，使得Z]+Z2=一和Z[立2=—同时成立.

44mm

【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，共加复数，意在考查学生的计算能力和应用能

11

力，确定4,Z2是方程X92-—X+—=0的两个根是解题的关键.

mm

模块四：复数的三角形式

1-z

1.（2020・上海高三专题练习）当z=/时、zioo+z5o+1=（）

A.1B.-1C.iD.-i

【答案】D

【分析】根据Z^+zSO+l的结构特点，先山Z=/，得到z2=（l；）2=T，再代入

Z«X）+z50+l求解.

1—Z

【详解】因为Z=g

所以z2=IhDl=T,

2

所以Z5°=（T）25=-i,2侬=（T）5°=（—if=T,

所zi°°+z5°+l=T，

故选：D

【点睛】本题主要考查了复数的基本运算，还考查了周期性的应用，运算求解的能力，属于

基础题.

2.（2021•上海市西南位育中学高二期末）复数z=g+i与它的共物复数N对应的两个向

量的夹角为—.

【答案】60°

7

【分析】利用复数的运算法则计算二，再化成三角形式的复数，即可得出.

Z

2

_zV3+Z（A/3+Z）2+2囚1月,rno-

【详解】解：—=—；=——=-3=----7=---=--------=—H----1-cos60+1sin60.

zV3-Z（6-，）（6+。422

・.•复数z=百+i与它的共辗复数Z对应的两个向量的夹角为60°.

故答案为：60°.

3.（