2025年高考数学全真模拟卷04（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

2025年高考数学全真模拟卷04（新高考专用）（考试时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．（5分）（2024·河南周口·模拟预测）已知复数z=1+1i3，i为虚数单位，则A．2i B．−2i C．2 【解题思路】根据复数的除法和乘方的运算法则，结合复数虚部的定义进行求解即可.【解答过程】1+1因此复数1+1i3故选：D.2．（5分）（2024·天津和平·二模）若x∈R，下列选项中，使“x2<1A．−2<x<1 B．−1<x<1 C．0<x<2【解题思路】根据题意，x2<1等价于−1<x<1，若所求必要条件对应的范围为A，则(−1,1)【解答过程】不等式x2<1等价于使“x2<1”成立的一个必要不充分条件，对应的集合为A，则(−1,1)是由此对照各项，可知只有A项符合题意．故选：A．3．（5分）（2024·贵州贵阳·二模）已知向量a=1,−2,b=2,x，若A．2 B．1 C．0 D．−4【解题思路】借助向量坐标运算与向量平行的坐标表示计算即可得.【解答过程】3a−b由3a−b解得x=−4.故选：D.4．（5分）（2024·四川达州·二模）下图是某地区2016-2023年旅游收入(单位:亿元)的条形图，则下列说法错误的是（

）

A．该地区2016-2019年旅游收入逐年递增B．该地区2016-2023年旅游收入的中位数是4.30C．经历了疫情之后，该地区2023年旅游收入恢复到接近2018年水平D．该地区2016-2023年旅游收入的极差是3.69【解题思路】根据中位数、极差的定义即可判断BD；结合图形，分析数据即可判断AC.【解答过程】A：由图可知该地区2016-2019年旅游收入逐年递增，故A正确；B：由图可知，2016-2023年旅游收入的中位数为3.94+4.572C：从图表可知2023年旅游收入为4.91亿元，接近2018年的5.13亿元，故C正确；D：2016-2023年旅游收入的极差是5.73−2.04=3.69亿元，故D正确.故选：B.5．（5分）（2024·湖北·模拟预测）已知点P是直线x−y−m=0上的动点，由点P向圆O:x2+y2=1引切线，切点分别为M,N且∠MPN=90A．2 B．±2 C．2 D．【解题思路】连接OM,ON，结合圆的切线性质可推得点P在以点O为圆心，2为半径的圆C上，再由题意可知该圆与直线x−y−m=0相切，利用点到直线的距离公式，即可求得答案.【解答过程】连接OM,ON，则PM⊥OM,PN⊥ON.又∠MPN=90∘,OM=ON，所以四边形MPNO于是点P在以点O为圆心，2为半径的圆C上.又由满足条件的点P有且只有一个，则圆C与直线x−y−m=0相切，所以点O到直线x−y−m=0的距离d=2,∴m故选：D.6．（5分）（2024·青海西宁·二模）关于函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,0<φ<π2，有下列四个说法：①f(x)的最大值为3；②f(x)的相邻两个零点分别为x1，x2，且有x1−x2=πA．−332 B．332 【解题思路】根据题意，由条件可得②和③相互矛盾，然后分别验证①②④成立时与①③④成立时的结论，即可得到结果.【解答过程】说法②可得T2=πω=π，得到当①②④成立时，由题意A=3，ω=1，π3+φ=2kπ因为φ∈0,π2，令所以fx=3sin说法①③④成立时，由题意A=3，ω=2，2π3+φ=2k则φ=2kπ故选：B.7．（5分）（2024·陕西安康·模拟预测）在四棱锥P−ABCD中，△PAD为等边三角形，四边形ABCD为矩形，且AB=2BC，平面PAD⊥平面ABCD，则直线AC与平面PCD所成角的正弦值为（A．12 B．22 C．3【解题思路】取M为PD的中点，先证明AM⊥平面PCD，得∠ACM为所求线面角，由边长间的关系求正弦值.【解答过程】平面PAD⊥平面ABCD，又平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，CD⊥AD，则CD⊥平面PAD，又CD⊂平面PCD，故平面PCD⊥平面PAD，取PD的中点M，连接AM,CM，如图所示，平面PCD∩平面PAD=PD，平面AM⊂平面PAD，△PAD为等边三角形，则AM⊥PD，故AM⊥平面PCD，则直线AC与平面PCD所成角即为∠ACM，令BC=a，则AB=2a，AC=3故sin∠ACM=故选：A.8．（5分）（2024·陕西·模拟预测）函数fx满足lnx=1+fx1−fx，且A．e B．1 C．57 D．【解题思路】通过解方程可得f(x)的解析式，由f(x1)+f(x2)=1化简可得【解答过程】因为lnx=1+f(x)1−f(x)，所以ln又因为f(x所以lnx1−1所以lnx因为x1>e，x2>所以lnx整理得ln2解得ln(x1所以f(x1x2)=故f(x1x故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．（6分）（2024·黑龙江牡丹江·一模）已知−π6,0为函数fA．a=3 B．函数y=fC．曲线y=f(x)关于x=7π12对称 D．函数y=f(x)在【解题思路】根据对称可得a=33，即可由辅助角公式求解【解答过程】解：因为−π6,0所以f−即−32a+所以fxy=fx−f7π所以曲线y=f(x)关于x=7π当x∈−5π12,π12时，故选：BCD．10．（6分）（2024·黑龙江大庆·三模）已知点P1,2是双曲线C:3x2−y2A．双曲线的浙近线方程为y=±B．双曲线的焦点到渐近线的距离为1C．PAD．△PAB的面积为3【解题思路】首先根据双曲线方程求渐近线方程，判断A，再根据点到直线的距离判断BC，最后根据几何关系，求∠APB，再代入面积公式，即可求解.【解答过程】因为双曲线的方程为C:3x2−y2双曲线的右焦点233,0到渐近线y=由点到直线的距离公式可得PA⋅PB=如图，因为KOA=3，所以∠AOx=60∘.在△PAD∠PDA=∠ODB，所以∠APD=∠BOD=60S△PAB故选：ABD.11．（6分）（2024·河北·二模）已知函数fx=xeA．函数fx在RB．若对任意x>0，不等式fax≥flnxC．函数gx在0,+D．若fx1=gx【解题思路】对于A，直接求得单调区间即可；对于BCD，构造函数，研究函数的最值即可.【解答过程】对于A，fx的定义域为R,f则m′x=x+2e当x∈−2,+∞时，m′x>0,∴m在−2,+∞∴f′x对于B，由A知fx在R上单调递增，由fax≥flnx2得ax≥lnx2，则当x>0时，a≥lnx2x=2在e,+∞上单调递减，∴ℎ(x)max=ℎ对于C,gx的定义域为0,+∞则n′x=1x−2n′x>0;∴nx即g′∴g′x对于D，若fx则x1由AC知：fx,gx由x1ex1+2=x2+2lnx2得当t∈e,+∞时，p′t<0,∴p∴p(t)max=pe=故选：ABD.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）（2024·陕西榆林·模拟预测）已知在递增的等比数列an中，a1a2a3=1，1a【解题思路】设等比数列an的公比为q，根据等比数列的性质可得a2=1，即有a【解答过程】设等比数列an的公比为q，因为a1a2a又1a1+由an是递增的等比数列，解得a所以q=a2a故答案为：2n−213．（5分）（2024·湖南长沙·二模）已知2cos2x+π12cosx−【解题思路】由3x=2x+π12+x−【解答过程】因为2cos所以2cos所以cos2x+所以cos所以cos2x+故答案为：−714．（5分）（2024·陕西榆林·模拟预测）已知曲线fx=x2与gx=ln【解题思路】先设出切点，求导得到切线方程，斜率截距对应相等，得到1−lna=1【解答过程】设曲线fx=x2与gx∵f′x=2x，g′x∴y−x12∴2x1=1x令ℎx=1当0<x<22时，ℎ′x<0，ℎx单调递减；当∴ℎx≥ℎ22=12故答案为：2e四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（13分）（2024·陕西安康·模拟预测）在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,tan(1)求证：bcos(2)若a=2，△ABC面积为1，求边c的长．【解题思路】（1）根据题中等式利用同角三角函数商关系公式，两角和的正弦公式，三角和内角和定理，正弦定理化简得到结果；（2）利用（1）的结果计算sinC=1−1b2【解答过程】（1）证明：根据tanC=(a−1)tanB，以及tan得sinCcosC所以acosCsin根据B+C=π−A，得所以acos由正弦定理，得abcosC=a，因此（2）由（1）知，cosC=1bS△ABC所以b2=2，得b=2又a=2，所以由余弦定理得c=a16．（15分）（2024·四川雅安·三模）已知函数fx(1)若函数fx有极值，求实数a(2)若关于x的不等式fx+x1+cosx【解题思路】（1）先对函数求导，分类讨论研究函数的单调性，结合函数单调性与极值的关系即可求解.（2）由已知变形为2sinx−xcos【解答过程】（1）依题意，f′x=a−1−2cosx因为1+2cosx∈−1,3，所以当a≤−1时，f当a≥3时，f'x≥0，故f当−1<a<3时，f′x=0综上a∈−1,3（2）依题意，由fx得a−1x−2sinx+x设ℎx则ℎ′设mx=cos当x∈0,π2所以在x∈0,π2上，ℎ当π2−a≤0，即a≥π2时，则ℎx当π2−a>0，即（i）若1−a<0，即1<a<π∃x0∈0,π2，使得ℎ′x0（ii）若1−a≥0，即a≤1,ℎℎx在x∈0,π综上，实数a的取值范围为−∞17．（15分）（2024·河南周口·模拟预测）如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD与平面(1)求平行六面体ABCD−A(2)求平面BCC1B【解题思路】（1）连接AC，AC（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【解答过程】（1）连接AC，AC因为底面ABCD与平面ABC1D所以△ABC与△ABC取AB的中点O，连接OC，OC1，则OC⊥AB，OC因为侧面BCC1B所以△BCC1的面积为152所以sin∠CBC1在△BCC1中，CC所以OC2+O因为AB∩OC=O，AB,OC⊂平面ABCD，所以OC1⊥故平行六面体ABCD−A1B（2）由（1）可知，AB,OC,OC1两两垂直，以O为原点，以OB,OC,OC1所在直线分别为x轴、y轴、则B(1,0,0)，C(0,3,0)，C1BC=(−1,3,0)，C设平面BCC1B由BC⋅m=0,CC1⋅设平面CDD1C由CD⋅n=0,CC1⋅于是cos〈设平面BCC1B1与平面所以cosθ=|18．（17分）（2024·辽宁锦州·模拟预测）甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，两人平局的概率为γα+β+γ=1,α>0,β>0,γ≥0(1)若α=2(2)当γ=0时，（i）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望EX（ii）若比赛不限制局数，求“甲学员赢得比赛”的概率（用α,β表示）．【解题思路】（1）用事件A,B,C分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”，“平局”，记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件N，则事件N包括事件：ABAA,BAAA,ACCA,CACA,CCAA共5种，即可求解；（2）（i）由题意得X的所有可能取值为：2,4,5，求出对应的概率，列出分布列及求出数学期望，并求出最大值；（ii）由（1）得前两局比赛结果可能有：AA,BB,AB,BA，其中事件AA表示“甲学员赢得比赛”，事件BB表示“乙学员赢得比赛”，事件AB,BA表示“甲、乙两名学员各得1分”，当甲、乙两名学员得分总数相同时，甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同，所以P(M)=P(AA)⋅1+P(BB)⋅0+P(AB)⋅P(M)+P(BA)⋅P(M)即可求解．【解答过程】（1）用事件A,B,C分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”，“平局”，则P(A)=α=2记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件N，则事件N包括事件：ABAA,BAAA,ACCA,CACA,CCAA共5种，所以P(N)=P=2P=2×2（2）（i）因为γ=0，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即α+β=1，由题意得X的所有可能取值为：2,4,5，P(X=2)=αP(X=4)=αβ+βαP(X=5)=αβ+βα所以X的分布列为：X245Pα2αβ4所以X的期望为：E(X)=2=2=4因为α+β=1≥2αβ，所以αβ≤等号成立时，α=β=12，所以所以E(X)=4α故E(X)的最大值为：134（ii）记“甲学员赢得比赛”为事件M，则P(M)=α由（1）得前两局比赛结果可能有：AA,BB,AB,BA，其中事件AA表示“甲学员赢得比赛”，事件BB表示“乙学员赢得比赛”，事件AB,BA表示“甲、乙两名学员各得1分”，当甲、乙两名学员得分总数相同时，甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同，所以P(M)=P(AA)⋅1+P(BB)⋅0+P(AB)⋅P(M)+P(BA)⋅P(M)=P(A)P(A)+P(A)P(B)P(M)+P(B)P(A)P(M)==α所以1−2αβP(M)=α2