第02讲 函数与基本初等函数（2022-2024高考真题）（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

第02讲函数与基本初等函数（2022-2024高考真题）（新高考专用）一、单项选择题1．（2024·全国·高考真题）已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x−1)+f(x−2)，且当x<3时f(x)=x，则下列结论中一定正确的是（

）A．f(10)>100 B．f(20)>1000C．f(10)<1000 D．f(20)<10000【解题思路】代入得到f(1)=1,f(2)=2，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【解答过程】因为当x<3时f(x)=x，所以f(1)=1,f(2)=2，又因为f(x)>f(x−1)+f(x−2)，则f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5，f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21，f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89，f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f(11)>377f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f(13)>987，f(16)>f(15)+f(14)>1597>1000，则依次下去可知f(20)>1000，则B正确；且无证据表明ACD一定正确.故选：B.2．（2024·北京·高考真题）已知x1,y1，x2A．log2y1C．log2y1【解题思路】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.【解答过程】由题意不妨设x1<x2，因为函数y=2对于选项AB：可得2x1+根据函数y=log2x对于选项D：例如x1=0,x可得log2y1对于选项C：例如x1=−1,x可得log2y1故选：B.3．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数d=S−1lnN是河流水质的一个评价指标，其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1A．3N2=2C．N22=N【解题思路】根据题意分析可得S−1lnN1【解答过程】由题意得S−1lnN1=2.1,S−1lnN故选：D.4．（2024·全国·高考真题）已知函数f(x)=−x2−2ax−a,x<0ex+A．(−∞,0] B．[−1,0] C．[−1,1] 【解题思路】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【解答过程】因为fx在R上单调递增，且x≥0时，f(x)=则需满足−−2a2×−1即a的范围是[−1,0].故选：B.5．（2024·天津·高考真题）若a=4.2−0.3，b=4.2A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a【解题思路】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【解答过程】因为y=4.2x在R上递增，且所以0<4.2所以0<4.2−0.3<1<因为y=log4.2x在(0,+所以log4.20.2<log所以b>a>c，故选：B.6．（2024·天津·高考真题）设a,b∈R，则“a3=b3”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.【解答过程】根据立方的性质和指数函数的性质，a3=b3和故选：C.7．（2024·全国·高考真题）设函数f(x)=(x+a)ln(x+b)，若f(x)≥0，则a2A．18 B．14 C．1【解题思路】解法一：由题意可知：f(x)的定义域为−b,+∞，分类讨论−a与−b,1−b的大小关系，结合符号分析判断，即可得b=a+1，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln(x+b)的符号，进而可得x+a的符号，即可得【解答过程】解法一：由题意可知：f(x)的定义域为−b,+∞令x+a=0解得x=−a；令ln(x+b)=0解得x=1−b若−a≤−b，当x∈−b,1−b时，可知x+a>0,此时f(x)<0，不合题意；若−b<−a<1−b，当x∈−a,1−b时，可知x+a>0,此时f(x)<0，不合题意；若−a=1−b，当x∈−b,1−b时，可知x+a<0,lnx+b当x∈1−b,+∞时，可知x+a≥0,ln可知若−a=1−b，符合题意；若−a>1−b，当x∈1−b,−a时，可知x+a<0,此时f(x)<0，不合题意；综上所述：−a=1−b，即b=a+1，则a2+b所以a2+b解法二：由题意可知：f(x)的定义域为−b,+∞令x+a=0解得x=−a；令ln(x+b)=0解得x=1−b则当x∈−b,1−b时，lnx+b<0，故x+a≤0x∈1−b,+∞时，lnx+b>0，故故1−b+a=0，则a2当且仅当a=−1所以a2+b故选：C.8．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是（A．f(x)=−lnx C．f(x)=−1x 【解题思路】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.【解答过程】对于A，因为y=lnx在0,+∞上单调递增，y=−x所以fx=−ln对于B，因为y=2x在0,+∞上单调递增，y=所以fx=1对于C，因为y=1x在0,+∞上单调递减，y=−x所以fx=−1对于D，因为f12=显然fx=3故选：C.9．（2023·全国·高考真题）若fx=x+aln2x−1A．−1 B．0 C．12 【解题思路】根据偶函数性质，利用特殊值法求出a值，再检验即可.【解答过程】因为f(x)为偶函数，则f(1)=f(−1)，∴(1+a)ln当a=0时，fx=xln2x−12x+1，2x−1则其定义域为x|x>12或f−x故此时fx故选：B.10．（2023·全国·高考真题）已知函数fx=e−(x−1)A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b【解题思路】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【解答过程】令g(x)=−(x−1)2，则g(x)开口向下，对称轴为因为62−1−1−所以62−1−由二次函数性质知g(6因为62−1−1−即62−1<1−2综上，g(2又y=ex为增函数，故a<c<b，即故选：A.11．（2023·全国·高考真题）已知f(x)=xexeaxA．−2 B．−1 C．1 D．2【解题思路】根据偶函数的定义运算求解.【解答过程】因为fx=x又因为x不恒为0，可得ex−e则x=a−1x，即1=a−1，解得故选：D.12．（2023·天津·高考真题）设a=1.010.5,b=1.010.6A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．c<a<b【解题思路】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【解答过程】由y=1.01x在R上递增，则由y=x0.5在[0,+∞所以b>a>c.故选：D.13．（2023·全国·高考真题）设函数fx=2xx−a在区间0,1A．−∞,−2 C．0,2 D．2,+【解题思路】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【解答过程】函数y=2x在R上单调递增，而函数fx则有函数y=x(x−a)=(x−a2)2−a所以a的取值范围是2,+∞故选：D.14．（2022·天津·高考真题）函数fx=xA． B．C． D．【解题思路】分析函数fx的定义域、奇偶性、单调性及其在−【解答过程】函数fx=x且f−x函数fx又当x<0时，fx当x>1时，fx故选：D.15．（2022·全国·高考真题）已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=1，则k=122f(k)=（A．−3 B．−2 C．0 D．1【解题思路】法一：根据题意赋值即可知函数fx的一个周期为6，求出函数一个周期中的f【解答过程】[方法一]：赋值加性质因为fx+y+fx−y=fxfy，令x=1,y=0可得，2f1=f1f0，所以f0=2，令x=0可得，fy+f−y=2fy，即fy=f−y，所以函数fx为偶函数，令y=1得，fx+1+f一个周期内的f1所以k=122[方法二]：【最优解】构造特殊函数由fx+ycosx+y+cosx−y=2cosxcosy，可设f所以fxfx+y+fx−y=2cosπ3x+π3y+2cos由于22除以6余4，所以k=122故选：A．16．（2022·全国·高考真题）已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f(x−4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则k=122fkA．−21 B．−22 C．−23 D．−24【解题思路】根据对称性和已知条件得到f(x)+f(x−2)=−2，从而得到f3+f5+…+f21=−10，f4【解答过程】因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称，所以g2−x因为g(x)−f(x−4)=7，所以g(x+2)−f(x−2)=7，即g(x+2)=7+f(x−2)，因为f(x)+g(2−x)=5，所以f(x)+g(x+2)=5，代入得f(x)+7+f(x−2)=5，即所以f3f4因为f(x)+g(2−x)=5，所以f(0)+g(2)=5，即f0=1，所以因为g(x)−f(x−4)=7，所以g(x+4)−f(x)=7，又因为f(x)+g(2−x)=5，联立得，g2−x所以y=g(x)的图像关于点3,6中心对称，因为函数g(x)的定义域为R，所以g因为f(x)+g(x+2)=5，所以f1所以k=122故选：D.17．（2022·天津·高考真题）化简(2log43+A．1 B．2 C．4 D．6【解题思路】根据对数的性质可求代数式的值.【解答过程】原式=(2×=4故选：B.18．（2022·浙江·高考真题）已知2a=5,log83=bA．25 B．5 C．259 D．【解题思路】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．【解答过程】因为2a=5，b=log83=故选：C.19．（2022·全国·高考真题）已知9m=10,a=10A．a>0>b B．a>b>0 C．b>a>0 D．b>0>a【解题思路】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=log910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m>【解答过程】［方法一］：（指对数函数性质）由9m=10可得m=log910=lg10lg9又lg8lg10<lg8+所以b=8m−9<［方法二］：【最优解】（构造函数）由9m=10，可得根据a,b的形式构造函数f(x)=xm−x−1(x>1)令f′(x)=0，解得x0=mf(x)在(1,+∞)上单调递增，所以f(10)>f(8)，即又因为f(9)=9log9故选：A.20．（2022·北京·高考真题）已知函数f(x)=11+2x，则对任意实数A．f(−x)+f(x)=0 B．f(−x)−f(x)=0C．f(−x)+f(x)=1 D．f(−x)−f(x)=【解题思路】直接代入计算，注意通分不要计算错误．【解答过程】f−xf−x故选：C．二、多项选择题21．（2023·全国·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp=20×lgpp声源与声源的距离/声压级/燃油汽车1060~90混合动力汽车1050∼60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1,A．p1≥pC．p3=100p【解题思路】根据题意可知Lp【解答过程】由题意可知：Lp对于选项A：可得Lp因为Lp1≥Lp所以p1p2≥1且对于选项B：可得Lp因为Lp2−Lp所以p2p3≥10当且仅当Lp对于选项C：因为Lp3=20×可得p3p0对于选项D：由选项A可知：Lp且Lp1−即lgp1p2≤2，可得p故选：ACD.三、填空题22．（2024·上海·高考真题）已知fx=x,x>01,x≤0,【解题思路】利用分段函数的形式可求f3【解答过程】因为fx=x故答案为：3.23．（2024·上海·高考真题）已知fx=x3+a，x∈R，且fx【解题思路】根据奇函数的性质可求参数a.【解答过程】因为fx是奇函数，故f−x+f(x)=0故a=0，故答案为：0.24．（2024·全国·高考真题）已知a>1且1log8a−1loga【解题思路】将log8a,log【解答过程】由题1log8a⇒log2a=−1或log所以log2a=6=故答案为：64.25．（2023·北京·高考真题）已知函数f(x)=4x+log2x【解题思路】根据给定条件，把x=1【解答过程】函数f(x)=4x+故答案为：1.26．（2023·天津·高考真题）设a∈R,函数fx=ax2−2x−x2−ax+1【解题思路】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断a的取值范围．【解答过程】（1）当x2−ax+1≥0时，fx即a−1x−1若a=1时，x=−1若a≠1时，x=1a−1或若方程有一根为x=−1，则1+a+1≥0，即a≥−2若方程有一根为x=1a−1，则1a−12−a×若x=1a−1=−1时，a=0（2）当x2−ax+1<0时，fx即a+1x−1若a=−1时，x=1，显然x2若a≠−1时，x=1或x=1若方程有一根为x=1，则1−a+1<0，即a>2；若方程有一根为x=1a+1，则1a+1若x=1a+1=1时，a=0综上，当a<−2时，零点为1a+1，1当−2≤a<0时，零点为1a−1，−1当a=0时，只有一个零点−1；当0<a<1时，零点为1a−1，−1当a=1时，只有一个零点−1；当1<a≤2时，零点为1a−1，−1当a>2时，零点为1,−1．所以，当函数有两个零点时，a≠0且a≠1．故答案为：−∞27．（2022·北京·高考真题）函数f(x)=1x+1−x的定义域是【解题思路】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【解答过程】解：因为fx=1x+1−x，所以故函数的定义域为−∞故答案为：−∞28．（2022·北京·高考真题）设函数f(x)=−ax+1,    x<a,(x−2)2,    x≥a.若f(x)存在最小值，则a的一个取值为0（答案不唯一）【解题思路】根据分段函数中的函数y=−ax+1的单调性进行分类讨论，可知，a=0符合条件，a<0不符合条件，a>0时函数y=−ax+1没有最小值，故f(x)的最小值只能取y=(x−2)2的最小值，根据定义域讨论可知−a2+1≥0或−【解答过程】解：若a=0时，f(x)={1(x−2)2若a<0时，当x<a时，f(x)=−ax+1单调递增，当x→−∞时，f(x)→−∞，故若a>0时，当x<a时，f(x)=−ax+1单调递减，f(x)>f(a)=−a当x>a时，f∴−a2+1≥0解得0<a≤1，综上可得0≤a≤1；故答案为：0（答案不唯一）；1.29．（2022·浙江·高考真题）已知函数f(x)=−x2+2,    x≤1,x+1x−1,    x>1,则ff1【解题思路】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出a的最小值,b的最大值即可.【解答过程】由已知f(12)=−所以ff(当x≤1时，由1≤f(x)≤3可得1≤−x2+2≤3当x>1时，由1≤f(x)≤3可得1≤x+1x−1≤31≤f(x)≤3等价于−1≤x≤2+3，所以[a,b]⊆[−1,2+所以b−a的最大值为3+3故答案为：3