重难点02 函数性质的灵活运用（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点02函数性质的灵活运用【八大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1函数的单调性的综合应用】 ④函数或函数．2.函数奇偶性的应用(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.【知识点3函数的周期性与对称性的常用结论】1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；(4)若f(x+a)=，则T=2a；(5)若f(x+a)=，则T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);2．对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称.3．函数的的对称性与周期性的关系(1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；(2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；(3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且．【知识点4抽象函数的解题策略】1．抽象函数及其求解方法我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y=f(x)表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体.解决这类问题一般采用赋值法解决.【题型1函数的单调性的综合应用】【例1】（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数fx定义域为R，且函数fx与fx+1均为偶函数，当x∈0,1时，fx是减函数，设a=f38，b=f92，c=flog1612，则a，b，c的大小关系为（A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．b>a>c【变式1-1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，对任意实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)−1，当x>0时，f(x)>1，且f(2)=5，则关于x的不等式f(x)+f(4−3x)<6的解集为（

A．1,+∞ B．2,+∞ C．−∞，【变式1-2】（2024·山东·二模）已知函数fx=2x2−mx+1在区间−1,+A．7,+∞ B．C．−∞,7 【变式1-3】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知定义在区间(−m,m)(m>0)上，值域为R的函数f(x)满足：①当0<x<m时，f(x)>0；②对于定义域内任意的实数a、b均满足：f(a+b)=f(a)+f(b)1−f(a)f(b)．则（A．f(0)=1B．∀C．函数f(x)在区间(0,m)上单调递减D．函数f(x)在区间(−m,m)上单调递增【题型2函数的最值问题】【例2】（2024·安徽淮北·二模）当实数t变化时，函数fx=xA．2 B．4 C．6 D．8【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知x>0，y>0且x+y=1，则x21+xA．15 B．25 C．35【变式2-2】（2024·江西鹰潭·三模）若fx=x+2+3x−aA．6或−18 B．−6或18C．6或18 D．−6或−18【变式2-3】（2024·全国·三模）已知函数fx=bx−b+3x3在−1,1上的最小值为−3A．−∞,−4 B．9,+∞ C．−4,9【题型3函数的奇偶性的综合应用】【例3】（2024·安徽亳州·模拟预测）已知函数fx是定义在R上的偶函数，函数gx是定义在R上的奇函数，且fx，gA．ff2>fC．gg2>g【变式3-1】（2024·浙江绍兴·三模）已知函数fx满足：对任意实数x，y，都有ffx+y=fxA．fx+1为奇函数 B．fC．fx+1为偶函数 D．f(x)−1【变式3-2】（2024·辽宁沈阳·三模）已知fx是定义在R上的函数，且f2x−1为偶函数，fx−2是奇函数，当x∈0,1时，fxA．−1 B．−12 C．1【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的m<n<0，都有(m−n)(f(m)−f(n))<0，且f(−2)=0，则不等式f(x+1)−f(−x−1)x≥0的解集为（A．[−3,−1]∪[0,1] B．[−2,2]C．(−∞,−3)∪(−2,0)∪(2,+∞【题型4函数的对称性及其应用】【例4】（2024·四川·三模）定义在R上的函数y=fx与y=gx的图象关于直线x=1对称，且函数y=g2x−1+1为奇函数，则函数A．−1,−1 B．−1,1 C．3,1 D．3,−1【变式4-1】（2024·宁夏银川·三模）已知函数fx=2A．函数fx单调递增 B．函数fxC．函数fx的图象关于0,1对称 D．函数fx的图象关于【变式4-2】（2024·四川南充·三模）已知函数fx、gx的定义域均为R，函数f(2x−1)+1的图象关于原点对称，函数g(x+1)的图象关于y轴对称，f(x+2)+g(x+1)=−1,f(−4)=0，则f(2030)−g(2017)=A．−4 B．−3 C．3 D．4【变式4-3】（2024·重庆·模拟预测）已知函数y=f(x)的定义域是−∞,0∪0,+∞，对任意的x1，x2∈0,+∞，x1≠xA．−1,0∪0,1 C．−∞,−1∪【题型5对称性与周期性的综合应用】【例5】（2024·全国·模拟预测）若定义在R上的函数fx满足fx=fx，且A．f8+x=fx B．fC．f201=3 D．【变式5-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）定义在R上的函数fx满足f2−x=f①直线x=1为曲线y=fx的对称轴；②点23,0为曲线y=fx的对称中心；③函数fx其中，正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式5-2】（2024·湖南邵阳·三模）已知函数fx及其导函数f′x的定义域均为R，记gx=f′x，函数f2x+3A．gx不为周期函数 B．fx的图象不关于点C．g211=1【变式5-3】（2024·陕西榆林·一模）定义在R上的函数f(x)，g(x)满足f(0)<0，f(3−x)=f(1+x)，g(2−x)+g(x)=2，g(x+12)=f(2x)+1，则下列说法中错误A．x=6是函数f(x)图象的一条对称轴B．2是g(x)的一个周期C．函数f(x)图象的一个对称中心为3,0D．若n∈N∗且n<2023，f(n)+f(n+1)+⋯+f(2023)=0，则【题型6类周期函数】【例6】（2024·山东青岛·模拟预测）函数fx的定义域为R，满足fx=2fx−1，且当x∈0,1时，fx=x1−x.若对任意A．115 B．145 C．3215【变式6-1】（2024·云南昆明·二模）定义“函数y=fx是D上的a级类周期函数”如下:函数y=fx,x∈D，对于给定的非零常数a，总存在非零常数T，使得定义域D内的任意实数x都有afx=fx+T恒成立，此时T为fx的周期.若y=fx是1,+∞上的a级类周期函数，且T=1，当x∈1,2A．56,+∞ B．2,+∞ C．【变式6-2】（2024·河南新乡·三模）设函数f(x)的定义域为R，满足f(x−2)=2f(x)，且当x∈(0,2]时，f(x)=x(2−x).若对任意x∈[a,+∞)，都有f(x)≤38成立，则A．72,+∞C．−∞,−3【变式6-3】（2024·安徽合肥·模拟预测）定义在R上的函数fx满足fx+1=12fx，且当x∈0,1时，fxA．278 B．298 C．134【题型7抽象函数的性质及其应用】【例7】（2024·山西吕梁·一模）已知函数fx满足fx+y+fA．f0=3 B．函数f2x−1C．fx+f0≥0【变式7-1】（2024·江西·模拟预测）已知定义域为R的函数fx,gx满足：g0≠0，fA．g0=1 B．C．若f1+g1=1，则f【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）设函数fx的定义域是0,+∞，且对任意正实数x，y都有fxy=fx+fy(1)求f1(2)判断y=fx在区间0,+(3)解不等式f2x【变式7-3】（2024·江西·模拟预测）已知函数p(x)，q(x)的定义域均为R，且满足：①∀x>0，p(x)>0；②q(x)为偶函数，q(x)≥q(0)=1；③∀x，y∈R，p(x+y)=p(x)q(y)+q(x)p(y).(1)求p(0)的值，并证明：p(x)为奇函数；(2)∀x1,①p(x②p(x)单调递增.【题型8函数性质的综合应用】【例8】（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知fx=ax2(1)求fx(2)设函数gx=x2−2mx+4m∈R【变式8-1】（2024·上海宝山·一模）已知函数fx=x(1)判断函数fx(2)若函数Fx=x⋅fx在x=1处有极值，且关于x的方程F(3)记gx=−ex（e是自然对数的底数）.若对任意x1、x2∈【变式8-2】（23-24高一上·广东广州·期末）已知函数f(x)的定义域为R，∀a,b∈R，fa+b+fa−b=3fa(1)求证：f(x)+f(0)≥0；(2)求f(1)+f(2)+⋯+f(2023)的值；(3)当x∈R时，求不等式3f(2x)+4≤9f(x)的解集．【变式8-3】（2023·上海浦东新·模拟预测）已知定义域为D的函数y=fx.当a∈D时，若gx=fx−fax−a（(1)判断函数y=2x2+x+2（x∈R(2)若定义域为0 , +∞的T0函数y=sx(3)设P是满足下列条件的定义域为R的函数y=Wx组成的集合：①对任意u∈R，Wx都是Tu函数；②W0=W2=2，W−1=W一、单选题1．（2024·湖北武汉·二模）已知函数fx=xx，则关于x的不等式fA．13,+∞ B．−∞,12．（2024·陕西渭南·二模）已知函数f(x)=x2−2ax,x≥1a2x−1,x<1是A．(0,45) B．(0,45]3．（2024·上海黄浦·二模）设函数fx=−x2+ax+20,−4≤x≤0aA．1,+∞ B．C．516,1 4．（2024·西藏·模拟预测）若函数fx=x−xA．fx+1−2 B．fx−1−2 C．5．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，若对∀x∈R都有f3+x=f1−x，且fx在A．f4<f1C．f1<f26．（2024·辽宁抚顺·一模）已知定义域为xx≠0的函数fx满足fx+yfx+fy=fxA．f23=6C．fx为奇函数 D．fx在区间7．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，函数Fx=f1+x−A．函数fx的一个对称中心为2,1 B．C．函数fx为周期函数，且一个周期为4 D．8．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数y=fx是定义在R上的函数，f1+x=f1−x，函数fx+1的图象关于点−1,0对称，且对任意的x1,①fx+2②f−③函数y=fx在2,4④不等式fx≥0的解集为A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题9．（2024·河北沧州·二模）已知fx是定义在0,+∞上的单调递增且图象连续不断的函数，若∀x,y∈0,+∞，恒有fx+yA．fB．∃C．fD．f10．（2024·新疆·三模）已知fx，gx都是定义在R上的函数，对任意实数x，y满足fx+y−fx−yA．f0=0 C．fx为奇函数 D．11．（2024·江西上饶·模拟预测）已知函数fx的定义域为R,∀x,y∈R,fx+yA．fx为偶函数 B．C．fx的周期为2 D．三、填空题12．（2024·青海海西·模拟预测）已知fx是定义在R上的奇函数，且满足fx+2．13．（2024·天津·一模）记不超过x的最大整数为[x]．若函数f(x)=|2x−[2x+t]|既有最大值也有最小值，则实数t的取值范围是．14．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知fx,gx是定义域为R的函数，且fx是奇函数，gx是偶函数，满足fx+gx=a四、解答题15．（2024·上海·三模）已知fx=ax−b4−x2，函数(1)求fx(2)判断y=fx16．（2024·吉林长春·一模）函数f(x)的定义域为(0,+∞)，对于∀x，y∈(0,+∞)，f(xy)=f(x)+f(y)，且当(1)证明：f(x)为减函数；(2)若f12=217．（2024·河南·模拟预测）已知函数fx对任意实数x,y恒有f(x−y)+f(x+y)=f(2x)成立，且当x<0时，f(x)>0(1)求f(0)的值;(2)判断f