重难点03 指、对、幂数比较大小问题（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点03指、对、幂数的大小比较问题【八大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1利用函数的性质比较大小】 2【题型2中间值法比较大小】 2【题型3特殊值法比较大小】 3【题型4作差法、作商法比较大小】 3【题型5构造函数法比较大小】 3【题型6数形结合比较大小】 4【题型7含变量问题比较大小】 4【题型8放缩法比较大小】 51、指、对、幂数的大小比较问题指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，从近几年的高考情况来看，指、对、幂数的大小比较是高考重点考查的内容之一，是高考的热点问题，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式考查.这类问题的主要解法是利用函数的性质与图象来求解，解题时要学会灵活的构造函数.【知识点1指、对、幂数比较大小的一般方法】1.单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；②指数相同，底数不同时，如和，利用幂函数单调性比较大小；③底数相同，真数不同时，如和，利用指数函数单调性比较大小.2.中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定．3.作差法、作商法：(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.4.估算法：(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.5.构造函数法：构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.6、放缩法：(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；(2)指数和幂函数结合来放缩；(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.【题型1利用函数的性质比较大小】【例1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知a=30.3，b=0.33，c=log0.33，则a，b，c的大小关系是（

）A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b【变式1-1】（2024·四川自贡·三模）已知a=log213，b=1.20.2，c=0.52.1，则A．a<c<b B．c<a<b C．c<b<a D．a<b<c【变式1-2】（2024·贵州贵阳·三模）已知a=40.3,b=A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>a>b【变式1-3】（2024·山东泰安·模拟预测）已知a=log0.20.3，b=lna，c=2A．c>b>a B．a>b>c C．b>a>c D．c>a>b【题型2中间值法比较大小】【例2】（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知a=e0.1，b=1−2lg2，c=2−log310，则aA．b>c>a B．a>b>c C．a>c>b D．b>a>c【变式2-1】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知a=1e−A．a<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．a<c<b【变式2-2】（2024·山东潍坊·二模）已知a=e−1，b=lga，A．b<a<c B．b<c<aC．a<b<c D．c<b<a【变式2-3】（2024·天津北辰·三模）已知a=0.53.1，b=log0.90.3，c=log131A．c<b<a B．c<a<b C．b<a<c D．a<c<b【题型3特殊值法比较大小】【例3】（2024·陕西商洛·模拟预测）设a=log0.50.6，b=0.49−0.3，c=0.6−0.6，则aA．c>b>a B．b>a>c C．b>c>a D．c>a>b【变式3-1】（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知实数a,b,c满足2a+a=2，2b+b=5A．c<a<b B．a<b<c C．a<c<b D．b<c<a【变式3-2】（2024·宁夏银川·二模）若a=log1314，b=(1A．a>b>d>c B．a>b>c>d C．b>d>a>c D．a>d>b>c【变式3-3】（2024·天津和平·一模）设13a=2,b=A．a<b<c B．a<c<bC．b<c<a D．b<a<c【题型4作差法、作商法比较大小】【例4】（2023·四川成都·一模）若a=3−14，b=32−13，c=A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a【变式4-1】（2023·贵州六盘水·模拟预测）若a=ln22，b=ln3A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b【变式4-2】（2024·四川成都·二模）若a=ln26,b=4ln2⋅A．c<a<b B．a<b<c C．c<b<a D．b<a<c【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）若a=20.4,b=30.25A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a 【题型5构造函数法比较大小】【例5】（2024·全国·模拟预测）已知a=ln72，b=ln7×A．b<c<a B．b<a<c C．a<b<c D．a<c<b【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）设a=514，b=54，c=log45，则A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a【变式5-2】（2024·天津和平·一模）已知a=log0.20.3,b=log0.3A．b<c<a B．c<b<aC．a<b<c D．a<c<b【变式5-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知实数a,b,c满足a2+logA．a<b<c B．c<a<bC．b<c<a D．c<b<a【题型6数形结合比较大小】【例6】（2024·河南·模拟预测）已知a=lnπ,b=log3π,c=A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a【变式6-1】（2023·江西赣州·二模）若log3x=logA．3x<4y<5z B．4y<3x<5z C．4y<5z<3x D．5z<4y<3x【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）已知a=12a,1A．a<b<c B．a<c<bC．c<b<a D．c<a<b【变式6-3】（2024·广东茂名·统考一模）已知x,y,z均为大于0的实数，且2x=3y=A．x>y>z B．x>z>yC．z>x>y D．z>y>x【题型7含变量问题比较大小】【例7】（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）设a､b､c都是正数，且A．c<b<a B．ab+bc=ac C．4b⋅9【变式7-1】（2024·江西·模拟预测）若aea=bA．a<b B．a=b C．a>b D．无法确定【变式7-2】（2023·全国·模拟预测）已知a,b,c均为不等于1的正实数，且lnc=alnb,lna=bA．c>a>b B．b>c>aC．a>b>c D．a>c>b【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）已知正实数a，b，c满足ec+e−2a=ea+e−c，b=logA．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a【题型8放缩法比较大小】【例8】（2024·陕西西安·模拟预测）若a=0.311.5,b=A．a>b>c B．b>a>dC．c>a>b D．b>c>a【变式8-1】（2023·河南郑州·模拟预测）已知a=log35，b=213A．a>b>c B．c>b>a C．b>a>c D．c>a>b【变式8-2】（2023上·安徽·高二校联考阶段练习）已知a=19−17A．a<b<c B．b<c<aC．b<a<c D．c<a<b【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）已知a=log8.14，b=log3.1A．a<c<b B．a<b<cC．c<a<b D．b<c<a一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）设a=log62，b=log12A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．a<c<b2．（2024·安徽宿州·一模）已知3m=4，a=2m−3A．a>0>b B．b>0>a C．a>b>0 D．b>a>03．（2024·贵州毕节·一模）已知a=3log83，b=−12log1316，c=A．a>b>c B．c>a>bC．b>c>a D．b>a>c4．（2023·内蒙古赤峰·模拟预测）设a=320.7，b=23A．c<b<a B．a<b<c C．c<a<b D．a<c<b5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知a=e13，b=ln2，c=A．a>c>b B．a>b>c C．b>c>a D．c>b>a6．（2024·陕西宝鸡·一模）已知实数a,b,c满足e2a2=A．a>b>c B．a<b<cC．b>a>c D．c>a>b7．（2023·湖南永州·一模）已知a=log3πA．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．a<c<b8．（2023·陕西西安·一模）已知函数f(x)=−2x，若2a=logA．f(b)<f(c)<f(a) B．f(a)<f(b)<f(c)C．f(a)<f(c)<f(b) D．f(c)<f(b)<f(a)二、多选题9．（2024·河南洛阳·模拟预测）下列正确的是（

）A．2−0.01>2C．log1.85<log10．（2024·重庆·模拟预测）若b>c>1，0<a<1，则下列结论正确的是（

）A．ba<cC．cba<b11．（2024·重庆·一模）已知3a=5A．lga>lgbC．12a>三、填空题12．（2023·北京昌平·二模）3−2,213．（2024·北京通州·三模）已知a=2−1.1，b=log1414．（2023·吉林长春·模拟预测）已知a=log3322，b=22−33，四、解答题15．（23-24高一·全国·随堂练习）已知x=lnπ，y=log5(1)比较x，y的大小；(2)比较y，z的大小．16．（23-24高三·全国·对口高考）（1）比较aabb（2）已