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文档简介

重难点05利用导数证明不等式【十大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1直接法证明不等式】 2【题型2移项构造函数证明不等式】 3【题型3分拆函数法证明不等式】 4【题型4分析法证明不等式】 5【题型5放缩法证明不等式】 6【题型6指对同构】 8【题型7隐零点法】 9【题型8双变量不等式的证明】 10【题型9函数与数列不等式综合证明问题】 11【题型10导数新定义的不等式证明问题】 121、利用导数证明不等式导数中的不等式证明是高考的常考题型,是高考的热点问题,常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等相结合,虽然题目难度较大,但是解题方法多种多样,如构造函数法、放缩法等,针对不同的题目,灵活采用不同的解题方法,可以达到事半功倍的效果.【知识点1导数中的不等式证明的解题策略】1.导数中的不等式证明的解题策略(1)一般地,要证f(x)>g(x)在区间(a,b)上成立,需构造辅助函数F(x)=f(x)-g(x),通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式.若F(a)=0,只需证明F(x)在(a,b)上单调递增即可;若F(b)=0,只需证明F(x)在(a,b)上单调递减即可.(2)在证明不等式中,若无法转化为一个函数的最值问题,可考虑转化为两个函数的最值问题.2.移项构造函数证明不等式待证不等式的两边含有同一个变量时,一般地,可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数,利用导教研究其单调性等相关函数性质证明不等式.3.分拆函数法证明不等式(1)若直接求导后导数式比较复杂或无从下手时,可将待证式进行变形,构造两个函数,从而找到可以传递的中间量,达到证明的目标.在证明过程中,等价转化是关键,此处g(x)min≥f(x)max恒成立,从而f(x)≤g(x)恒成立.(2)等价变形的目的是求导后简单地找到极值点,一般地,与lnx要分离,常构造与lnx,与的积、商形式.便于求导后找到极值点.4.放缩后构造函数证明不等式某些不等式,直接构造函数不易求其最值,可以适当地利用熟知的函数不等式等进行放缩,有利于简化后续导数式的求解或函数值正负的判断;也可以利用局部函数的有界性进行放缩,然后再构造函数进行证明.【知识点2指对同构】1.指对同构证明不等式在解决指对混合不等式时,如恒成立求参数取值范围或证明不等式,有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的,如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一函数),无疑大大加快解决问题的速度.找到这个函数模型的方法,我们称为同构法.(1)五个常见变形:.【题型1直接法证明不等式】【例1】(2024·江苏连云港·模拟预测)已知函数f(x)=ex−12x2−x.(1)求函数f(x)在x=1处的切线方程.(2)证明:∀x∈[0,+∞【变式1-1】(2024·河北保定·三模)已知函数f(x)=x2−ax+lnx(1)求a;(2)证明:f(x)≤2x【变式1-2】(23-24高三下·云南昆明·阶段练习)已知函数fx=x(1)求fx的最小值g(2)证明:ga【变式1-3】(2024·江苏徐州·模拟预测)已知函数fx=2x(1)当m=0时,求曲线y=fx在点(1,f(1))(2)当m≤1时,证明:fx【题型2移项构造函数证明不等式】【例2】(2024·广西·模拟预测)设函数fx=lnx+ax+b,曲线y=fx(1)求a,b的值;(2)证明:fx【变式2-1】(2024·陕西安康·模拟预测)已知函数fx=x(1)求fx(2)证明:xgx【变式2-2】(2024·陕西榆林·三模)已知函数fx=mln(1)讨论fx(2)当m=1时,证明:f′【变式2-3】(2024·上海松江·二模)已知函数y=x⋅lnx+a(a为常数),记(1)若函数y=g(x)在x=1处的切线过原点,求实数a的值;(2)对于正实数t,求证:f(x)+f(t−x)≥f(t)−tln(3)当a=1时,求证:g(x)+cos【题型3分拆函数法证明不等式】【例3】(23-24高三上·广东·阶段练习)已知函数fx(1)讨论fx(2)当a≥4e2【变式3-1】(2024·全国·模拟预测)已知函数fx(1)若函数Fx=fx(2)若曲线y=fx在点1e,f1e【变式3-2】(2024·广西柳州·三模)已知函数fx(1)求函数fx在点1,f(2)求函数fx(3)若f′x为fx的导函数,设gx=【变式3-3】(2024·全国·模拟预测)已知函数fx(1)若曲线y=fx在0,a−32处的切线方程为4ax+2y+1=0,求a(2)若fx的极大值为fln2(3)当a=0时,求证:fx【题型4分析法证明不等式】【例4】(2024·吉林·模拟预测)已知函数fx(1)当a=0时,求函数fx(2)求证:当0<a<1,x>0时,fx【变式4-1】(2024·西藏·模拟预测)已知函数fx(1)若fx在定义域内是单调函数,求a(2)若fx有两个极值点x1,x2【变式4-2】(2024·河北·模拟预测)已知函数fx(1)讨论fx(2)证明:当a>0时,fx【变式4-3】(2024·宁夏吴忠·模拟预测)已知函数f(x)=ae(1)讨论fx(2)证明:当a>0时,f(x)>2ln【题型5放缩法证明不等式】【例5】(2024·山东·模拟预测)已知函数fx=e(1)求曲线y=fx在点2,f(2)若函数fx的极小值小于0,求实数m(3)证明:2e【变式5-1】(2024·山东·模拟预测)已知函数fx=1(1)当a≥1时,判断fx(2)若fx存在两个极值点x(ⅰ)证明:x2(ⅱ)证明:x∈1,+∞时,【变式5-2】(2024·辽宁·二模)已知函数fx=lnx+ax(1)讨论函数fx(2)若a=−2,证明:ex【变式5-3】(23-24高三上·湖北·阶段练习)已知函数fx(1)讨论fx(2)若两个不相等的正实数a,b满足fa=fb(3)若π4<α<π【题型6指对同构】【例6】(2024·江苏苏州·模拟预测)已知函数fx(1)讨论fx(2)当a≤2时,证明:fx【变式6-1】(2024·黑龙江双鸭山·模拟预测)已知函数f(x)=ln(1)当a=−1时,讨论f(x)的单调性;(2)若x1,x2x【变式6-2】(2024·陕西安康·模拟预测)己知函数fx(1)当a=2时,求曲线y=fx在点0,f(2)若函数gx=1,x=0【变式6-3】(2024·湖北荆州·三模)已知函数fx=x(1)当a=1时,求曲线y=fx在点1,f(2)当a=e时,求出函数f(3)证明:x2【题型7隐零点法】【例7】(23-24高三下·河南·阶段练习)已知函数fx(1)求fx(2)若gx=f′x−x+ln【变式7-1】(23-24高三下·青海海南·开学考试)已知函数f(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:当a≥1时,f【变式7-2】(2024·甘肃·一模)已知函数fx(1)讨论函数fx(2)当a=−2时,求证:fx【变式7-3】(2024·广东广州·模拟预测)已知函数fx=xe(1)求fx在区间−1,1(2)当a≥1时,求证:fx【题型8双变量不等式的证明】【例8】(2024·安徽合肥·模拟预测)已知函数f(x)=a(1−2ln(1)讨论f(x)的单调性;(2)若x1,x2x1≠【变式8-1】(2024·四川成都·模拟预测)已知函数f(x)=sin(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若x1<x(ⅰ)求m的取值范围;(ⅱ)证明:x1【变式8-2】(2024·广东佛山·二模)已知fx(1)当a=3时,求fx(2)若fx有两个极值点x1,x2【变式8-3】(2024·安徽阜阳·一模)已知函数fx(1)讨论fx(2)已知x1,x2是函数(ⅰ)求实数a的取值范围.(ⅱ)λ∈0,12,f【题型9函数与数列不等式综合证明问题】【例9】(2024·山东淄博·一模)已知函数f(x)=ln(1)当x>1时,不等式fx<0恒成立,求(2)设数列an=1nn∈N∗【变式9-1】(2024·河南·模拟预测)已知函数fx=ln(1)证明:x1−x(2)若正项数列an满足an=fan+1,且a1∈0,1,记an【变式9-2】(2024·重庆·二模)已知函数fx(1)求fx(2)当0<x<1时,fx>a(3)已知数列an满足:a1=13【变式9-3】(2024·河南·模拟预测)已知函数gx(1)当m<0时,求gx(2)当m=1时,设正项数列xn满足:x①求证:xn②求证:i=2n【题型10导数新定义的不等式证明问题】【例10】(2024·福建厦门·三模)帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法,在计算机数学中有着广泛的应用.已知函数f(x)在x=0处的m,n阶帕德近似定义为:R(x)=a0+a1x+⋯+amxm1+b1x+⋯+bnxn,且满足:f(0)=R(0),f′(1)求实数a,b的值;(2)设ℎx=fx(3)已知x1,x2,x3【变式10-1】(23-24高三下·重庆·期中)若函数fx在定义域内存在两个不同的数x1,x2,同时满足fx1(1)证明:fx(2)若gx=xln(ⅰ)求证:x1(ⅱ)求证:a+12【变式10-2】(2024·山西·三模)微分中值定理是微积分学中的重要定理,它是研究区间上函数值变化规律的有效工具,其中拉格朗日中值定理是核心,它的内容如下:如果函数f(x)在闭区间a,b上连续,在开区间(a,b)可导,导数为f′(x),那么在开区间(a,b)内至少存在一点c,使得f′(c)=f(b)−f(a)b−a,其中c叫做(1)若a=−1,b=0,求函数f(x)在1,7上的“拉格朗日中值点”x0(2)若a=−1,b=1,求证:函数f(x)在区间(0,+∞)图象上任意两点A,B连线的斜率不大于(3)若a=1,b=−1,∀x1,x2【变式10-3】(2024·浙江绍兴·二模)帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m,n,函数f(x)在x=0处的[m,n]阶帕德近似定义为:R(x)=a0+a1x+⋯+amxm1+b1x+⋯+bnxn,且满足:f(0)=R(0),f′(0)=R′(0),(1)求实数a,b的值;(2)当x∈0,1时,试比较fx与(3)定义数列{an}:a1=一、单选题1.(2024·陕西安康·模拟预测)已知a=ln65A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b2.(2024·陕西安康·模拟预测)若0<x1<A.ex2+C.x2ex3.(2024·河北衡水·模拟预测)已知函数fx=lnx+1−ax有两个零点x1A.a>1 B.xC.x1⋅x4.(2024·河南郑州·三模)设x1,x2∈A.若x1=x2,则x1∈C.x1+x5.(2024·安徽·三模)已知实数x1,x2,A.x1<xC.x2<x6.(2024·山东·模拟预测)已知a>0,b>0,且a+b=ab,则下列不等式成立的是(

)A.a+b≤4 B.logC.blna>1 7.(2024·四川南充·模拟预测)设a>0,b>0,且a+b=1,则下列结论正确的个数为(

)①log2a+log2b≥−2

②2aA.1 B.2 C.3 D.48.(2024·四川泸州·三模)已知x>0,ex①x+lny<0;②ex+y>2其中一定成立的个数为(

)A.1 B.2 C.3 D.4二、多选题9.(2024·浙江温州·模拟预测)已知eba2+1=ae2b+1A.a−lna=b+eC.b=ea 10.(2024·江苏南通·三模)已知2a=logA.a+2a=b+C.2b+1>e11.(2024·全国·模拟预测)已知函数f(x)=x+ln(x−2),g(x)=xlnx.若A.∀x∈(2,+∞),f(x)<g(x) C.∃x0∈(2,+三、填空题12.(2023·福建福州·模拟预测)已知定义在0,+∞上函数fx满足:lnx+1<f13.(2023·江西吉安·一模)若a=107,b=ln3,c=14.(2023·四川达州·二模)Sn是数列an前n项和,a1①an②a1③Sn④Sn其中正确的是(写出全部正确结论的番号).四、解答题15.(2024·陕西榆林·模拟预测)已知函数fx=e(1)讨论函数fx(2)当a=2时,证明:fx16.(2024·四川攀枝花·三模

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