重难点06 利用导数研究函数的零点（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点06利用导数研究函数的零点【九大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1判断、证明或讨论零点的个数】 2【题型2零点问题之唯一零点问题】 3【题型3零点问题之双零点问题】 3【题型4根据零点情况求参数范围】 4【题型5函数零点的证明问题】 5【题型6多零点的和、差、积与大小关系问题】 6【题型7隐零点问题】 7【题型8三角函数的零点问题】 8【题型9与函数零点相关的综合问题】 81、利用导数研究函数的零点导数是高中数学的重要考查内容，而导数中的函数零点（方程的根）问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及判断函数零点的个数或范围.高考常考查三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解答题的压轴题出现，难度较大.【知识点1导数中的函数零点问题的解题策略】1．函数零点（个数）问题的的常用方法(1)构造函数法：构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数.(2)函数零点存在定理：利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零点.(3)数形结合法：函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，数形结合，根据图象的几何直观求解.2．导数中的含参函数零点（个数）问题利用导数研究含参函数的零点（个数）问题主要有两种方法：(1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.(2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y=g(x)图象的交点问题.3．与函数零点有关的参数范围问题的解题策略与函数零点（方程的根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况.【知识点2隐零点问题】1．隐零点问题隐零点问题是指函数的零点存在但无法直接求解出来的问题，在函数不等式与导数的综合题目中常会遇到涉及隐零点的问题，处理隐零点问题的基本策路是判断单调性，合理取点判断符号，再结合函数零点存在定理处理.2．隐零点问题的解题策略在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0叫做隐零点；若x0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法.【题型1判断、证明或讨论零点的个数】【例1】（2024·四川凉山·二模）若fx=xsinx+cosx−1，x∈−π2,π，则函数fx的零点个数为（

A．0 B．1 C．2 D．3【变式1-1】（2024·北京房山·一模）若函数f(x)=ln(1−x),x∈−∞,0A．1 B．2 C．1或2 D．1或3【变式1-2】（2024·浙江·模拟预测）已知函数fx(1)当a=12时，求(2)当a=1时，判断fx【变式1-3】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数fx(1)讨论fx(2)若关于x的不等式fx≤2x−2e在【题型2零点问题之唯一零点问题】【例2】（2024·四川成都·三模）若函数fx=ex−kA．4 B．2e C．e2 【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=2x−kx−b恰有一个零点x0，且A．−∞,1−ln2ln2 B．【变式2-2】（2024·广东汕头·三模）已知函数f(x)=x(e(1)若曲线y=f(x)在x=−1处的切线与y(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点，求【变式2-3】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数f(x)=3x2+msinx(x>0)(1)当m=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程，(2)若函数gx=fx−mxcos【题型3零点问题之双零点问题】【例3】（2024·四川内江·三模）若函数f(x)=lnxx−xA．(0,e) B．(e,+∞)【变式3-1】（2024·浙江杭州·模拟预测）若函数fx=xlnx−x+x−aA．−1e,0C．−2e,0【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=xe1x−a(x>0)，且(1)求实数a的取值范围．(2)证明：x1【变式3-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数fx=x2ln(1)求实数m的取值范围；(2)求证：t<1；(3)比较t与2e及2m+【题型4根据零点情况求参数范围】【例4】（2024·江西鹰潭·模拟预测）已知a>1，若函数fx=axlnA．e,+∞ B．1,e C．2【变式4-1】（2024·陕西汉中·二模）已知函数f(x)=−x3−3x2−2x,x≤0A．(14,1e) B．(−2,0]∪{【变式4-2】（2024·贵州贵阳·一模）已知函数fx=a+ex,x>0eA．−∞,e B．−∞,−e【变式4-3】（2023·辽宁大连·模拟预测）已知函数fx=x3+2x2A．−∞,−1∪C．−∞,0∪【题型5函数零点的证明问题】【例5】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数fx(1)若fx≤0恒成立，求(2)若fx有两个不同的零点x1,【变式5-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数f(x)=a(ln(1)求证：1+xln(2)若x1,x2是【变式5-2】（2024·辽宁·三模）已知fx(1)讨论函数fx(2)当a>0时，证明：函数fx有且仅有两个零点x1,【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=x2−(2+a)x+a(1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)=exx−f(x)+x2−(a+1)x−2a+(a−1)lnx（i）证明：2a>e（ii）证明：x2【题型6多零点的和、差、积与大小关系问题】【例6】（2023·四川成都·三模）已知函数f(x)=x−1x−alnx有三个零点xA．(1,+∞) B．2，+∞ 【变式6-1】（2023·四川南充·一模）已知函数f(x)=lnx−2x+2−m（0<m<3）有两个不同的零点x1，x2（①x2x1<e2m

②xA．1 B．2 C．3 D．4【变式6-2】（2023·四川成都·一模）已知函数fx=lnx2−a2xlnx+aeA．−1e2−e,0 B．−【变式6-3】（2023·四川南充·一模）已知函数f(x)=lnx−2x+2−m（0<m<3）有两个不同的零点x1，x2（①x2x1<e2mA．0 B．1 C．2 D．3【题型7隐零点问题】【例7】（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知fx(1)讨论函数fx(2)当a=0时，判定函数gx【变式7-1】（23-24高三上·辽宁鞍山·阶段练习）已知函数fx=ln（1）若直线y=2x与函数fx的图象相切，求实数a（2）当a=−1时，求证：fx【变式7-2】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数fx=xe(1)求fx在区间−1,1(2)当a≥1时，求证：fx【变式7-3】（2023·内蒙古包头·一模）已知函数f(x)=ae(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))(2)证明：当a>1时，f(x)没有零点．【题型8三角函数的零点问题】【例8】（2023·江西上饶·一模）已知函数fx=sin2x+2sinx−1，则A．2023 B．2024 C．2025 D．2026【变式8-1】（2023·河南·模拟预测）已知函数fx=ex+x,x<0A．94,134 B．94,【变式8-2】（2024·广西钦州·三模）已知函数fx(1)若a=0，求曲线y=fx在点0,f(2)若a>−1，证明：fx在−【变式8-3】（2024·广东深圳·模拟预测）已知fx=xsin(1)讨论fx在−(2)令ℎx=x2−4x【题型9与函数零点相关的综合问题】【例9】（2024·广东广州·二模）已知函数fx(1)讨论fx(2)若fx存在两个极值点，记x0为fx的极大值点，x1为【变式9-1】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知函数fx=x−1(1)当x∈1,+∞时，fx(2)若a<−2，证明：fx有三个零点x1，x2，x3（x1<x【变式9-2】（2024·北京朝阳·二模）已知函数f(1)求曲线y=fx在点0,f(2)若fx≥0恒成立，求(3)若fx有两个不同的零点x1,x2【变式9-3】（2024·江西景德镇·三模）已知函数fx=e(1)当b=e时，求函数g(2)已知实数a∈0,①求证：函数fx②设该零点为x0，若fx图象上有且只有一对点Ax1,y1一、单选题1．（2024·陕西安康·模拟预测）函数fx=lnA．0,22 B．22,1 C．2．（2024·陕西西安·模拟预测）若函数fx=x3−3x+a在区间0,2A．0,2 B．2,+∞ C．0,1 D．3．（2024·四川绵阳·模拟预测）函数fx=ex−kx−b恰好有一零点x0，且A．(−∞,0) B．(0,1) C．(−∞4．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知ω>0，若函数fx=lnx−xA．43,73 B．43,5．（2024·四川宜宾·模拟预测）定义在0,+∞上的单调函数fx，对任意的x∈0,+∞有ffx−A．−∞,1 B．0,1 C．0,1 6．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数fx=lnx+1−ax有两个零点x1A．a>1 B．xC．x1⋅x7．（2024·四川·模拟预测）已知函数fx=3−2x+1,x>0,(x+2)2eA．0,1 B．1,4 C．1,4 D．1,+8．（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=e2x−2a+1xA．∃a∈R，使函数fx恰有B．∃a∈R，使函数fxC．∃a∈R，使函数fx没有D．若函数fx有2个零点，则实数a的取值范围为二、多选题9．（2023·广西·模拟预测）已知方程ax−2xlnx=x2+3（a∈R）有两个不同的根x1，A．a∈4,+∞ C．lnx1+10．（2024·重庆·三模）已知函数f(x)=e2x−ax2A．当a=1时，f(x)在(0,f(0))处的切线方程为2x−y+1=0B．若f(x)有3个零点，则a的取值范围为eC．当a=e2时，x=1是D．当a=12时，f(x)有唯一零点x11．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数fx=aex+a−x有两个零点A．a的值可以取14 B．a的值可以取C．x1−x2的值关于a三、填空题12．（2024·四川成都·三模）若函数fx=ex−kx213．（2023·江苏·模拟预测）已知函数f(x)=x3−x,x≤0lnx,x>0，若F(x)=f(f(x)−t)14．（2023·福建福州·二模）已知函数fx=x2e2x−a+1四、解答题15．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数fx(1)若x=−2是函数fx的极值点，求a(2)若函数fx在13,316．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数f(x)=2sin(1)当a=