重难点14 奔驰定理与四心问题（举一反三）（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点14奔驰定理与四心问题【五大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1奔驰定理】 3【题型2重心问题】 6【题型3垂心问题】 9【题型4内心问题】 12【题型5外心问题】 151、奔驰定理与四心问题奔驰定理是平面向量中的重要定理，这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题有着重要作用；四心问题是平面向量中的重要问题，是高考的热点内容，在高考复习中，要掌握奔驰定理并能灵活运用，对于四心问题要学会灵活求解.【知识点1奔驰定理】1．奔驰定理如图，已知P为△ABC内一点，且满足，则有△APB、△APC、△BPC的面积之比为.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，所以我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.【知识点2四心问题】1．四心的概念及向量表示(1)重心的概念及向量表示①重心的概念：三角形各边中线的交点叫做重心，重心将中线长度分成2:1.②重心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC重心.③重心坐标公式：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，则△ABC的重心坐标为P.(2)垂心的概念及向量表示①垂心的概念：三角形各边上高线的交点叫做垂心.②垂心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC垂心.(3)内心的概念及向量表示①内心的概念：三角形各角平分线的交点叫做内心，内心也为三角形内切圆的圆心.②内心的向量表示：如图，在△ABC中，三角形的内心在向量所在的直线上，点P为△ABC内心.(4)外心的概念及向量表示①外心的概念：三角形各边中垂线的交点叫做外心，外心也为外接圆的圆心，外心到三角形各顶点的距离相等.②外心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC外心.2．三角形的四心与奔驰定理的关系(1)O是△ABC的重心：.(2)O是△ABC的垂心：.(3)O是△ABC的内心：.(4)O是△ABC的外心：.【题型1奔驰定理】【例1】（2024高三·全国·专题练习）已知点A，B，C，P在同一平面内，PQ=13PA，QR=13QB，RP=13RC，则S△ABC:A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6【解题思路】先根据向量的线性运算得到4PA【解答过程】由QR=13整理可得：PR=由RP=13RC可得所以−12PC由奔驰定理可得：S△ABC故选：B.【变式1-1】（23-24高一下·广西南宁·期末）已知O为△ABC内一点，且满足3OA+4OB+5OCA．25 B．14 C．34【解题思路】由题意可得4OA+5OB+3OC=0，方法一：延长CO【解答过程】因为3OA所以3OA即4OA方法1：∴4OA+5OB延长CO至H点，令OH=49则S△AOB方法2：由奔驰定理，SBOC:S故选B.【变式1-2】（23-24高一下·湖北·期中）奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA⋅OA+SB⋅OB+SA．25 B．12 C．16【解题思路】直接根据向量的基本运算得到3OA【解答过程】解：∵O为三角形ABC内一点，且满足OA+2∴OA+2∵S∴S△AOB故选：D．【变式1-3】（23-24高三上·河南南阳·期中）奔驰定理：已知O是ΔABC内的一点，ΔBOC，ΔAOC，ΔAOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OC=0．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若A．sinB．cosC．tanD．sin【解题思路】利用已知条件得到O为垂心，再根据四边形内角为2π及对顶角相等，得到∠AOB=π−C，再根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到|OA|:|OB【解答过程】如图，因为OA⋅所以OB⋅(OA−OC)=0⇒所以O为ΔABC的垂心。因为四边形DOEC的对角互补，所以∠AOB=π−C，∴OA⋅同理，∴OB∴OC∴|OA∴|OA∴|OA又SSS∴SA:由奔驰定理得tanA⋅故选C．【题型2重心问题】【例2】（2024·贵州六盘水·三模）已知点O为△ABC的重心，AC=λOA+μA．−3 B．−2 C．1 D．6【解题思路】作出图形，将OA,OB作为基底，先把AC用OA,OB,BC表示，再将BC也用【解答过程】根据向量加法三角形运算法知AC=F为BC中点，则BC=2点O为△ABC的重心，则OF=代入（∗∗）得到，BC=2(代入（∗）得到，AC=结合AC=λOA+μOB，可得故选：A.【变式2-1】（2024·陕西西安·一模）已知点P是△ABC的重心，则（

）A．AP=16C．AP=23【解题思路】利用三角形重心的性质，结合平面向量的线性运算，即可求得答案.【解答过程】设BC的中点为D，连接AD，点P是△ABC的重心，则P在AD上，且AP=2由此可知A，B，C错误，D正确，故选：D.【变式2-2】（23-24高一下·四川巴中·阶段练习）已知点G为△ABC的重心，D,E分别是AB,AC边上一点，D,G,E三点共线，F为BC的中点，若AF=λAD+μAE，则A．6 B．7 C．92 D．【解题思路】根据重心性质可得AF=32【解答过程】由点G为△ABC的重心，F为BC的中点知，AF=所以AG=因为D,G,E三点共线，D,E分别是AB,AC边上一点，所以2λ3+2μ4λ当且仅当4μλ=λ故选：A.【变式2-3】（2024高一下·上海·专题练习）设点O是△ABC所在平面内一点，则下列说法错误的是（

）A．若OA+OB+OC=B．若(OA+OB)⋅ABC．若(AB|ABD．若OA+2OB+3OC=0，则△【解题思路】利用向量数乘运算和三角形重心定义判断选项A；利用向量数量积运算和三角形垂心定义判断选项B；利用向量数量积运算和等边三角形定义判断选项C；求得△BOC与△ABC的面积之比判断选项D.【解答过程】对于A，如图，取AB边中点D，连接AB边上的中线CD，则OA+又∵OA+OB+OC=∴O为△ABC的重心，故选项A正确；

对于B，如图，取AB边中点D，BC边中点E，连接OD，OE，则OA+OB=2∵OA+∴2OD∴OD⋅AB=OE⋅∴OD⊥AB，OE⊥BC，∴OD，OE分别是AB，BC边上的垂直平分线，∴OA=OB=OC，O为△ABC的外心，故选项B错误；

对于C，作角A的内角平分线AE与BC边交于点E，∵ABAB为AB方向的单位向量，ACAC为∴ABAB+AC∴ABAB+AC∴AE⊥BC，∴AE⊥BC，∴AC=AB，又∵BABA⋅BCBC=∴△ABC为等边三角形，故选项C正确；

对于D，设OB′=2由OA+2OB+3则由选项A可知，O为△AB′C′的重心，设∴S△AO又∵OB=12O∴S△AOC=13S∴S△ABC∴S△BOC

故选：B.【题型3垂心问题】【例3】（23-24高一下·上海浦东新·期中）O是平面上一定点，A，B，C平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+λABABcos∠ABC+ACA．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【解题思路】利用向量的数量积的定义式结合三角函数诱导公式化简已知等式，再由向量的数量积为零推出向量垂直即可.【解答过程】如图所示，过点A作AD⊥BC，垂足为D点．则BC·同理BC·∵动点P满足OP=OA+λ∴AP=λABAB∴AP·∴AP⊥因此P的轨迹一定通过△ABC的垂心．故选：D．【变式3-1】（23-24高一下·广东东莞·期末）已知在△ABC中，O是△ABC的垂心，点P满足：3OP=12OAA．23 B．34 C．35【解题思路】根据向量加法可得12OA+12【解答过程】如图，设AB的中点为M，则12故由3OP=12OA+12OB+2OC所以结合图形可得S△ABP故选:A.【变式3-2】（23-24高一下·山东·期中）设H是△ABC的垂心，且3HA+4HB+5HCA．−3010 B．−55 C．【解题思路】根据题意，由垂心的向量表达式可得HA⋅HB=【解答过程】因为H是△ABC的垂心，所以HA⋅HB−同理可得HB⋅HA−所以HA⋅设HA⋅因为3HA+4HB所以HB=−2x,x<0所以cos∠AHB=故选：C.【变式3-3】（2024高三下·全国·专题练习）如图，已知O是△ABC的垂心，且OA+2OB+3OC=A．1:2:3 B．1:2:4C．2:3:4 D．2:3:6【解题思路】延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，利用同底的两个三角形面积比推得tan∠BAC:【解答过程】O是△ABC的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，则CP⊥AB，BM⊥AC，AN⊥BC，∠BOP=∠BAC，∠AOP=∠ABC，因此，S△BOC同理S△BOC于是得tan∠BAC:又OA由“奔驰定理”有S即S△BOC:S故选：A.【题型4内心问题】【例4】（2024·四川南充·三模）已知点P在△ABC所在平面内，若PA⋅(AC|AC|−ABA．外心 B．垂心 C．重心 D．内心【解题思路】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的定义可得AP平分∠BAC，BP平分∠ABC，结合三角形内心定义判断即得.【解答过程】在△ABC中，由PA⋅(AC|即AP⋅AC|AC|显然AP≠0，即P与A不重合，否则cos∠ABC=1则|AP|cos∠PAC=|AP于是AP平分∠BAC，同理BP平分∠ABC，所以点P是△ABC的内心.故选：D.【变式4-1】（23-24高一下·四川成都·期末）已知点O是△ABC的内心，AB=4,AC=3，CB=λCA+μCO，则A．43 B．53 C．2 【解题思路】连接AO并延长交BC于点D，连接CO，则由角平分线定理得到CB,CD的长度关系，再由平面向量基本定理，利用A,O,D三点共线，得到关系式，比较系数可得答案.【解答过程】连接AO并延长交BC于点D，连接CO，因为O是△ABC的内心，所以AD为∠BAC的平分线，所以根据角平分线定理可得BDCD所以CB=因为A,O,D三点共线，所以设CD=t则CB=因为CB=λ所以λ+μ=7t故选：D.【变式4-2】（2023高三·全国·专题练习）在△ABC中，若sin∠BAC⋅PA+sin∠ABC⋅PB+A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心【解题思路】根据“奔驰定理”列方程，整理后判断出P是△ABC的内心.【解答过程】过点P分别作BC，CA，AB的垂线PD，PE，PF，其垂足依次为D,E,F，如图所示，由于sin∠BAC⋅PA+根据奔驰定理就有：S△BPC即12因此PD=PE=PF，故点P是△ABC的内心，B选项正确.故选：B.【变式4-3】（2024高三·全国·专题练习）在△ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，O是△ABC的内心，且AO=λABA．910 B．710 C．89【解题思路】根据引理证明定理3，即可定理3的结论求解.【解答过程】先证明：引理（“奔驰”定理）如图1，O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC证明

如图3，延长AO，与BC边相交于点D，则BDDC记BDDC=λ，则BD=λ所以−1+λ又OD=−ODOA从而SA接下来证明定理3

O是△ABC的内心⇔aOA+bOB+cOC证明

设△ABC的内切圆半径为r，O是△ABC的内心，则S△BOC根据引理得，O是△ABC的内心⇔aOA由AO=λAB+μ即1−λOA因为O为△ABC的内心，AB=2，AC=3，根据定理3，可知1−λ4=λ−μ3=μ2故选:D．【题型5外心问题】【例5】（23-24高一下·天津北辰·期中）O为△ABC所在平面内一点，且满足(OA+OB)⋅BA=(OBA．内心 B．外心 C．重心 D．垂心【解题思路】根据给定条件，利用数量积的运算律计算判断得解.【解答过程】依题意，(OA(OB(OC则|OA|2所以O是△ABC的外心.故选：B.【变式5-1】（23-24高三下·新疆·阶段练习）在△ABC中，AC=27，O是△ABC的外心，M为BC的中点，AB⋅AO=8，N是直线OM上异于M、O的任意一点，则A．3 B．6 C．7 D．9【解题思路】根据外心的性质得到OM⊥BC，设ON=λOM，根据数量积的运算律得到AN⋅【解答过程】因为O是△ABC的外心，M为BC的中点，设AC的中点为D，连接OD，

所以OM⊥BC，OD⊥AC，设ON=λ则AN==AO⋅BA又O是△ABC的外心，所以AO=1所以AN⋅故选：B.【变式5-2】（2024高三·江苏·专题练习）已知O为△ABC的外心，若A(0,0),B(2,0),AC=1,∠BAC=120∘,且AO=λABA．23 B．2 C．1 D．【解题思路】由图形在坐标平面内的位置，求出C点和O点的坐标，得AO,AB,AC的坐标，由AO=λ【解答过程】解法一：若A(0,0),B(2,0),AC=1,∠BAC=120∘，则有设△ABC的外心Ox,y，由OA=OB，得x由OA=OC，得12得O1,23又AC=−1由AO=λAB+μ得2λ−12μ=1故λ+μ=13方法二：过点A作AG⊥BC于G，过点O作OH⊥BC于H，过点O作EF//BC交AC的延长线于E，交AB的延长线于因为A(0,0),B(2,0),AC=1,∠BAC=120∘,由余弦定理，CB2=A而三角形△ABC的外接圆的半径为7sin所以OH=21且S△ABC=1所以ACAE=AB故AO=λ由于O,E,F三点共线，有6λ13+6μ故选：D.【变式5-3】（2024·辽宁抚顺·模拟预测）在锐角三角形ABC中，A=60°，AB>AC，H为△ABC的垂心，AH⋅AC=20，O为△ABC的外心，且AH⋅AOA．9 B．8 C．7 D．6【解题思路】作出辅助线，数形结合，利用向量数量积可求得bc=40，再由O为△ABC的外心，可得∠BAO=90°−C，从而可得∠OAH=C−∠ABC，解方程组cosC−∠ABC=7198与【解答过程】

设△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，如图，延长BH交AC于D，延长AH交BC于E，所以BD⊥AC，所以AH⋅AC=又O为△ABC的外心，所以∠AOB=2C，即∠BAO=90°−C，又在△ABE中，∠BAE=90°−∠ABC，故∠OAH=90°−∠ABC−90°−C=C−∠ABC所以cosC−∠ABC=cos∠OAH=AH所以由正弦定理得bcsinCsin∠ABC=故选：C.一、单选题1．（2024·全国·二模）点O,P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足OP=OA+OB+OC，则直线A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【解题思路】根据向量的运算，并结合数形结合分析，即可判断.【解答过程】设BC的中点为点D，所以OB+则OP−若A,P,O,D四点共线时，即点O,P都在中线AD上，所以OP经过三角形的重心，若A,P,O,D四点不共线时，AP//OD，且AP=2OD，连结AD,OP，交于点G，如图，AGGD=APOD=2，即点G综上可知，OP经过△ABC的重心.故选：A.2．（23-24高一下·河南安阳·期末）已知O是△ABC内的一点，若△BOC,△AOC,△AOB的面积分别记为S1,S2,S3，则S1⋅OA+S2A．1:2:3 B．1:2:4 C．2:3:4 D．2:3:6【解题思路】延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，利用同底的两个三角形面积比推得tan∠BAC:【解答过程】O是△ABC的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，则CP⊥AB,BM⊥AC,AN⊥BC，∠BOP=∠BAC,∠AOP=∠ABC，因此，S1S2于是得tan∠BAC:又OA+2OB+3OC=则OC=−S1S3⋅OA−S2S所以tan∠BAC:故选：A.3．（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）点P是锐角△ABC内一点，且存在λ∈R，使AP=λ(AB+AC)A．点P是△ABC的垂心 B．点P是△ABC的重心C．点P是△ABC的外心 D．点P是△ABC的内心【解题思路】由已知判断点P在直线AD上，结合垂心、重心、外心、内心的定义逐一判断即可.【解答过程】记BC的中点为D，则AP=λ(所以，点P在直线AD上.A选项：若点P是△ABC的垂心，则AD⊥BC，所以AB=AC，所以△ABC为等腰三角形，A正确；B选项：若点P是△ABC的重心，则点P在BC边的中线上，无法推出AD⊥BC，B错误；C选项：若点P是△ABC的外心，则点P在BC边的中垂线上，所以AD⊥BC，所以△ABC为等腰三角形，C正确；D选项：若点P是△ABC的内心，则AD为∠BAC的角平分线，所以∠BAD=∠CAD，又S△ABD=S故AB=AC，D正确.故选：B.4．（2024·安徽·三模）平面上有△ABC及其内一点O，构成如图所示图形，若将△OAB，△OBC，△OCA的面积分别记作Sc，Sa，Sb，则有关系式Sa⋅OA+Sb⋅OB+Sc⋅OC=0．因图形和奔驰车的logo很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知△ABC的内角A，A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【解题思路】根据平面向量基本定理可得SbSa=ba，ScSa=ca，延长CO交AB于E，延长BO交AC于F，根据面积比推出【解答过程】由Sa⋅OA由a⋅OA+b⋅OB根据平面向量基本定理可得−SbS所以SbSa延长CO交AB于E，延长BO交AC于F，则SbSa=|AE||BE|，又所以CE为∠ACB的平分线，同理可得BF是∠ABC的平分线，所以O为△ABC的内心.故选：B.5．（23-24高一下·上海奉贤·期中）设O为△ABC所在平面内一点，满足OA+2OB+2OC=0，则A．6 B．83 C．127 【解题思路】延长OB到D，使OB=BD，延长OC到E，使OC=CE，连接AD,DE,AE，则由已知条件可得O为△ADE的重心，由重心的性质可得S△AOD=S△AOE=【解答过程】解：延长OB到D，使OB=BD，延长OC到E，使OC=CE，连接AD,DE,AE，因为OA+2OB+2所以O为△ADE的重心，所以设S△AOD=S△AOE=所以S△ABC所以S△ABC故选：D.6．（23-24高一下·甘肃·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，且SA⋅MA+SB⋅MB

A．−63 B．−66 C．【解题思路】根据SA⋅MA+SB⋅MB+SC⋅MC=0和【解答过程】

如图，延长AM交BC于点D，延长BM交AC于点F，延长CM交AB于点E.由M为△ABC的垂心，3MA+4MB得SA:S又S△ABC=SA+SB设MD=x，MF=y，则AM=3x，BM=2y，所以cos∠BMD=x2y=cos所以cos∠BMD=所以cos∠AMB=故选：B.7．（23-24高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知△ABC，I是其内心，内角A,B,C所对的边分别a,b,c，则（

）A．AI=13C．AI=bAB【解题思路】结合平面向量线性运算以及正弦定理等知识求得正确答案.【解答过程】延长AI,BI,CI，分别交BC,AC,AB于D,E,F.内心是三角形三个内角的角平分线的交点.在三角形ABD和三角形ACD中，由正弦定理得：BDsin由于sin∠ADB=sin∠ADC，所以BD同理可得cBD=AIAI=c⋅AD所以AD=b则AI=故选：C.8．（23-24高一上·安徽黄山·期末）O为三角形内部一点，a､b､c均为大于1的正实数，且满足aOA+bOB+cOC=CB，若SΔOAB､SΔOAC､SΔOBC分别表示A．(c+1):(b−1):a B．c:b:a C．1a:1【解题思路】利用已知条件，结合三角形的面积的比，转化求解即可．【解答过程】解：由aOA∴a∴a∴a如图设O∴OA1+O∴∴∴SΔOAB=1∴所以SΔOAB故选：A．二、多选题9．（23-24高一下·山东枣庄·阶段练习）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O、G、H分别是△ABC的外心、重心、垂心，且M为BC的中点，则（

）A．OH=OA+C．AH=3OM 【解题思路】利用平面向量的线性运算证明选项ABD正确，证明选项C错误即可.【解答过程】A.∵OG=1所以OA−所以OG=所以OH=B.S△BCG由于G是重心，所以ℎ1=1同理S△ABG=1所以该选项正确.C.AH=D.OH=3所以AB+故选：ABD.

10．（23-24高一下·福建莆田·期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心､内心､外心､垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA

A．若SA:SB:B．若M为△ABC的内心，则BC⋅C．若M为△ABC的外心，则MAD．若M为△ABC的垂心，3MA+4【解题思路】对于A，根据已知条件及奔驰定理，结合三角形重心的性质即可求解；对于B，根据三角形内心的性质及三角形的面积公式，结合奔驰定理即可求解；对于C，利用三角形外心的定义及向量的线性运算即可求解；对于D，利用三角形的垂心的定义及三角形的面积公式，结合奔驰定理及锐角三角函数即可求解.【解答过程】对于A，取BC的中点D，连接MD,AM,如图所示

由SA:S所以2MD所以A,M,D三点共线，且AM=设E,F分别为AB,AC得中点，同理可得CM=所以M为△AMC的重心，故A正确；对于B，由M为△ABC的内心，则可设内切圆半径为r，如图所示

则SA所以12即BC⋅MA对于C，如图所示

因为M为△ABC的外心，所以MA=MB=MC,所以MA2=MB2，即所以MB+同理可得，MB所以MA+对于D，延长AM交BC于点D，延长BM交AC于点F，延长CM交AB于点E，如图所示，

由M为△ABC的垂心，3MA+4MB又S△ABC=S设MD=x，MF=y，则所以cos∠BMD=x2y所以cos∠BMD=66故选：ABC.11．（23-24高一下·山东枣庄·期中）点O在△ABC所在的平面内，（

）A．若动点P满足OP=OA+λABABB．若动点P满足OP=OA+λABABC．若2OA+OB+3OC=0，S△AOCD．已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a⋅OA+b⋅OB+c⋅OC【解题思路】对于A，设BC的中点为D，连AD，利用正弦定理推出AP与AD共线，可判断A；对于B，根据A可判断B；对于C，设AC、BC的中点分别为E、F，由2OA+OB对于D，延长CO交AB于D，由a⋅OA+b⋅OB+c⋅OC=0得到a⋅DA+b⋅DB=−(a+b)OD−c⋅OC，根据共线向量定理可得【解答过程】对于A，设BC的中点为D，连AD，如图：

因为|AB|sin所以AP=λ|AB|sinB所以动点P的轨迹一定经过△ABC的重心，故A不正确；对于B，由A可知，只有当|AB|cosB=|AC对于C，因为2OA+OB设AC、BC的中点分别为E、F，则2OE

所以S△AOC对于D，延长CO交AB于D，

因为a⋅OA+b⋅OB所以a⋅DA设DA=xDB，OD=y因为DB与OC不共线，所以ax+b=0，ay+by+c=0，所以x=−ba，即DA=−ba所以CO为∠ACB的平分线，同理得OA为∠BAC的平分线，OB为∠ABC的平分线，所以O为△ABC的内心.故D正确.故选：CD.三、填空题12．（23-24高一·全国·课后作业）已知O是平面上一个定点，A，B，C是平面上三个不共线的点，动点P满足条件OP=OA+λ(ABAB+ACAC)(λ∈【解题思路】AB|AB|,AC|AC【解答过程】AB|AB|令AB|AB|则OP−即AP=λ(又|e1|=|e2所以点P在角平分线上所以动点P的轨迹一定通过△ABC的内心.故答案为：内.13．（2024·四川成都·一模）已知G为ΔABC的重心，过点G的直线与边AB,AC分别相交于点P,Q，若AP=35AB,则ΔABC与ΔAPQ的面积之比为【解题思路】设AQ=xAC，AG=λAP+1−λAQ，利用三角形重心的性质以及平面向量的运算法则可得1【解答过程】

设AQ=x∵P,G,Q三点共线，∴可设AG=λ∴AG∵G为ΔABC的重心，∴AG∴1∴13=∴AQSΔABC故答案为20914．（2024高一下·四川宜宾·竞赛）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”Mercedes-Benz的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理）.“奔驰定理”的内容如下：如图，已知O是△ABC内一点，△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,SB,SC，则SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OC①O是△ABC的外心；②∠BOC+A=π③OA:OB【解题思路】由OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅【解答过程】对①，因为OA同理OB⊥CA,OC⊥AB,故O为△ABC的垂心，故①错误；对②，因为∠OBC+∠C=π2,∠OCB+∠B=又因为∠OBC+∠OCB+∠BOC=π，所以∠BOC=∠C+∠B又因为∠A+∠B+∠C=π，所以∠BOC+A=对③，延长CO交AB于点P，如图，则cosA:同理可得cosA:cosC=OA:OC对④，S=tan同理可得SA:S又因为SA⋅OA故答案为：②③④.四、解答题15．（2024高三·全国·专题练习）根据“奔驰定理”，解决以下问题：(1)点O为△ABC内一点，若S△AOB:S△BOC:S△AOC(2)若O为△ABC的外心，证明：sin2A【解题思路】（1）利用奔驰定理和平面向量的线性运算即可求解；（2）设△ABC的外接圆半径为R，利用奔驰定理即可求解.【解答过程】（1）根据“奔驰定理”，得3OA+2OB+4OC因为AB与AC不共线，所以由平面向量基本定理得λ=29，（2）证明：若O为△ABC的外心，则可设△ABC的外接圆半径为R，∠BOC=2A，∠AOC=2B，∠AOB=2C，故S△BOC同理S△AOC=1根据“奔驰定理”，S△BOC即12所以sin2A⋅16．（23-24高一下·山西大同·期中）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,H是△ABC内的一点，且AH=(1)若H是△ABC的垂心，证明：7c(2)若H是△ABC的外心，求∠BAC．【解题思路】（1）由垂心的概念及向量的数量积结合余弦定理化简即可；（2）根据外心的性质结合数量积计算得出cos∠BAC=【解答过程】（1）∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC，即AH⋅BC=由余弦定理可得上式等价于4abcos化简得7c（2）

如图所示，取AB、AC中点分别为E、F，∵H是△ABC的外心，∴EH⊥AB,FH⊥AC，即EH⋅故4bcos同理，FH⋅联立可得cos∵∠BAC∈0,π17．（23-24高二上·上海闵行·期中）在ΔABC中，AC=2，BC=6，∠ACB=60°，点O为ΔABC所在平面上一点，满足OC=mOA+nOB（（1）证明：CO=（2）若点O为ΔABC的重心，求m、n的值；（3）若点O为ΔABC的外心，求m、n的值．【解题思路】（1）根据条件OC=m（2）根据重心的向量表示为OA+OB+OC=（3）根据点O为ΔABC的外心,求得CO⋅CB=12|CB|2,CO⋅CA【解答过程】（1）CO=m=m即CO所以CO则1−m−n所以CO=（2）若点O为ΔABC