重难点16 数列的综合应用（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点16数列的综合应用【十二大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1等差、等比数列的交汇问题】 3【题型2数列中的数学文化问题】 4【题型3数列的实际应用问题】 5【题型4数列中的不等式恒成立、有解问题】 7【题型5数列中的不等式证明问题】 8【题型6子数列问题】 9【题型7数列与函数的交汇问题】 11【题型8数列与导数的交汇问题】 12【题型9数列与概率统计的交汇问题】 13【题型10数列与平面几何的交汇问题】 14【题型11数列中的结构不良题】 16【题型12数列的新定义、新情景问题】 171、数列的综合应用数列是高考的热点内容，命题形式多种多样，大小均有，属于高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，数列的综合应用问题以及数列与函数、不等式等知识的交汇问题，是历年高考的热点内容，以解答题的形式考查，一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、前n项和公式等.去年高考压轴题中出现数列的新定义、新情景题，综合性强，难度大，需要灵活求解.【知识点1等差、等比数列的交汇问题的解题策略】1．等差、等比数列的交汇问题的求解思路：(1)等差与等比数列的基本量间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解，求解时注意对性质的灵活运用.(2)数列的综合运算问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类问题的方法：寻找通项公式，利用性质进行转化.【知识点2数列的数学文化问题】1．数列的数学文化问题的解题步骤：(1)读懂题意：会脱去数学文化的背景，读懂题意；(2)构造模型：根据题意，构造等差数列、等比数列或递推关系式的模型；(3)求解模型：利用数列知识求解数列的基本量、通项公式、前n项和等，解决问题.【知识点3数列的新定义、新情景问题】1．数列的新定义、新情景问题的求解策略(1)新定义问题：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.(2)新情景问题：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.【知识点4数列的综合应用】1．数列与不等式交汇问题的解题策略(1)解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立、有解问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.(2)数列与不等式交汇问题的答题模板第一步：根据题目条件，求出数列的通项公式；第二步：根据数列项的特征，选择合适的方法(公式法、分组转化法、裂项相消法、错位相减法等)求和；第三步：利用第二步中所求得的数列的和，证明不等式或求参数的范围；第四步：反思解题过程，检验易错点，规范解题步骤.2．数列与函数交汇问题的解题策略数列与函数综合问题的主要类型及解题策略(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题.(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形.注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性.3．子数列问题的解题策略子数列是数列问题中的一种常见题型，将原数列转化为子数列问题一般适用于某个数列是由几个有规律的数列组合而成的，具体求解时，要搞清楚子数列的项在原数列中的位置，以及在子数列中的位置，即项不变化，项数变化，它体现了转化与化归以及分类讨论、函数与方程的思想，能很好地考查学生的思维.4．数列中结构不良题的解法(1))先定后动，先对题目中确定的条件进行分析推断，再观察分析“动”条件，结合题干要求选出最适合自己解答的条件求解.(2)最优法，当题干中确定的条件只有一个时，要根据自己的知识优势和擅长之处选择更适合自己的条件进行解答.5．数列的实际应用问题的解题策略(1)数列的实际应用中的常见模型①数列——分期付款模型；②数列——产值增长模型；③数列——其他模型；(2)解决数列的实际应用问题的解题思路①根据题意，分析题干条件，正确确定数列模型；②利用数列知识求出数列的基本量、通项公式等，准确求解模型；③通过数列模型解决问题，注意不要忽视问题的实际意义.【题型1等差、等比数列的交汇问题】【例1】（2024·四川绵阳·三模）已知首项为1的等差数列an满足：a1,a2,a3+1成等比数列.(1)求数列an(2)若数列bn满足：a1bn+a2【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）已知等差数列an的前n项和为Sn，a1+a2+3(1)求数列an(2)设bn=an⋅3a【变式1-2】（2024·上海奉贤·二模）已知数列{an}和{bn}，其中bn=2(1)若an=2n，求(2)若{bn}是各项为正的等比数列，Sn=3n【变式1-3】（2024·天津·二模）设an是等差数列，其前n项和Sn，bn是等比数列，且a1=(1)求an与b(2)设cn=anbn,n(3)若对于任意的n∈N*不等式na【题型2数列中的数学文化问题】【例2】（2024·陕西安康·模拟预测）“孙子定理”又称“中国剩余定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，该定理是中国古代求解一次同余式组的方法，它凝聚着中国古代数学家的智慧，在加密､秘密共享等方面有着重要的应用.已知数列an单调递增，且由被2除余数为1的所有正整数构成，现将a6,A．1157 B．1177 C．1155 D．1122【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）据中国古代数学名著《周髀算经》记截：“勾股各自乘，并而开方除之（得弦）．”意即“勾”a、“股”b与“弦”c之间的关系为a2+b2=c2（其中a≤b）．当a,b,c∈A．145 B．181 C．221 D．265【变式2-2】（2024·四川·模拟预测）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦・曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路．下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，则在图②中第5行的黑心圈的个数是（

）A．12 B．13 C．40 D．121【变式2-3】（2024·陕西汉中·二模）图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME−7）的会徽图案，会徽的主题图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1=AA．n2 B．n2 C．n2【题型3数列的实际应用问题】【例3】（23-24高二下·河南驻马店·期中）某医院购买一台大型医疗机器价格为a万元，实行分期付款，每期付款b万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为5‰，每月复利一次，则a，b满足（

）A．12b=a B．12b=aC．12b=a1+5‰ D．【变式3-1】（2024·山西运城·一模）某工厂加工一种电子零件，去年12月份生产1万个，产品合格率为87%.为提高产品合格率，工厂进行了设备更新，今年1月份的产量在去年12月的基础上提高4%，产品合格率比去年12月增加0.4%A．5月份 B．6月份C．7月份 D．8月份【变式3-2】（2023·湖南郴州·三模）“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念，掌握好这两个概念，对于顺利解决有关金融中的数学问题以及理解各种不同的算法都是十分有益的.所谓“现值”是指在n期末的金额，把它扣除利息后，折合成现时的值，而“终值”是指n期后的本利和.它们计算的基点分别是存期的起点和终点.例如，在复利计息的情况下，设本金为A，每期利率为r，期数为n，到期末的本利和为S，则S=A(1+r)n其中，S称为n期末的终值，A称为n期后终值S的现值，即n期后的S元现在的价值为现有如下问题：小明想买一座公寓有如下两个方案方案一：一次性付全款25万元；方案二：分期付款，每年初付款3万元，第十年年初付完；(1)已知一年期存款的年利率为2.5%(2)若小明把房子租出去，第一年年初需交纳租金2万元，此后每年初涨租金1000元，参照第（1））问中的存款年利率2.5%参考数据：(1+2.5【变式3-3】（2023·广东佛山·一模）佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最简单的方块体作为核心要素，与佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成“方”“圆”呼应.坊塔是文化中心的标志性建筑、造型独特、类似一个个方体错位堆叠，总高度153.6米.坊塔塔楼由底部4个高度相同的方体组成塔基，支托上部5个方体，交错叠合成一个外形时尚的塔身结构.底部4个方体高度均为33.6米，中间第5个方体也为33.6米高，再往上2个方体均为24米高，最上面的两个方体均为19.2米高.(1)请根据坊塔方体的高度数据，结合所学数列知识，写出一个等差数列an(2)佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为310米.根据你得到的等差数列，连续取用该数列前m（m∈N*）项的值作为方体的高度，在保持最小方体高度为19.2米的情况下，采用新的堆叠规则，自下而上依次为2a1、3a2、4a3、……、【题型4数列中的不等式恒成立、有解问题】【例4】（2024·湖南长沙·模拟预测）已知数列an满足a(1)求数列an(2)已知数列bn满足b①求数列bn的前n项和T②若不等式−1nλ<Tn+【变式4-1】（2024·广东广州·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，数列Snn是公差为(1)求数列an(2)若存在n∈N*，使得1a【变式4-2】（23-24高二下·湖北·期中）已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn=2an−2.数列bn的前(1)求数列an(2)若cn=anbn，设数列cn的前n【变式4-3】（2024·重庆·模拟预测）已知a1=(1)证明：当n≥2时，an+1(2)令bn（i）证明：当n≥2时，1b（ii）是否存在正实数m，使得1bn−n【题型5数列中的不等式证明问题】【例5】（2024·全国·模拟预测）已知数列an的前n项和S(1)求an(2)证明：a1【变式5-1】（2024·河北秦皇岛·二模）已知等比数列an的前n项和为Sn，且数列(1)求an(2)若bn=n+2nn+1an+1，数列b【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）已知数列an满足3n−1a(1)求数列an(2)若bn=a【变式5-3】（2024·山东·二模）记Sn为数列an的前n项和，(1)求a3和a(2)设数列1an的前n项和为Tn【题型6子数列问题】【例6】（2024·河南商丘·模拟预测）当i1，i2，⋯，ik∈N(1)直接给出ik与k(2)是否存在这样的i1,i2,i3(3)若S=ai1+ai2【变式6-1】（2024·北京西城·二模）已知数列A:a1,a2,⋯,an，从A中选取第i 1项、第i 2项、…、第i k项i 1<i 2<⋯<i k构成数列B:ai 1,ai 2(1)当n=4时，比较A的具有性质P的子列个数与不具有性质P的子列个数的大小，并说明理由；(2)已知数列A:1 （ⅰ）给定正整数k≤n2，对A的k项子列B，求所有（ⅱ）若A有m个不同的具有性质P的子列B1,B2,⋯,Bm，满足：∀  1≤i<j≤m，B【变式6-2】（23-24高二下·安徽·阶段练习）从N∗中选取k(k≥3)个不同的数，按照任意顺序排列，组成数列an，称数列an为N∗的子数列，当1≤i≤j≤k时，把aj−a(1)若N∗的子数列an(1≤n≤k,k≥5)是首项为2，公比为2的等比数列，求N(2)若N∗的子数列an是递增数列，且子二代数列bn共有k−1(3)若k=100，求N∗的子二代数列b【变式6-3】（23-24高三上·北京·开学考试）给定正整数k，m，其中2≤m≤k，如果有限数列an同时满足下列两个条件，则称an为(k,m)−数列．记(k,m)−数列的项数的最小值为条件①：an的每一项都属于集合{1,2,3,⋯,k}条件②：从集合{1,2,3,⋯,k}中任取m个不同的数排成一列，得到的数列都是an注：从an中选取第i1项、第i2项、…、第is项（其中i1(1)分别判断下面两个数列是否为(3,3)−数列，并说明理由：数列A1数列A2(2)求证：G(k,2)=2k−1；(3)求G(4,4)的值．【题型7数列与函数的交汇问题】【例7】（2024·青海·模拟预测）已知定义在R上的函数fx满足fx+y=fxfy−2fA．299+198 B．299+196 C．【变式7-1】（2024·辽宁·二模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，点(n,SA．C0=1 B．若A=0，则∃nC．若A>0，则∃n0∈N∗，使Sn最大 D．若【变式7-2】（2024·上海·模拟预测）已知fx=12x2+12x，数列(1)求数列an(2)若gx=4x4x+2【变式7-3】（2024·广东·一模）已知数列an的前n项和为Sn，n为正整数，且(1)求证数列an−1是等比数列，并求数列(2)若点Pan−1,bn+23在函数y=log4x的图象上，且数列【题型8数列与导数的交汇问题】【例8】（2024·全国·模拟预测）设整数p>1，x>−1且x≠0，函数f(x)=(1+x)(1)证明：f(x)>0；(2)设x>0，证明：ln(1+x)<x(3)设n∈N∗，证明：【变式8-1】（2024·广东东莞·三模）已知常数m∈R，设fx(1)若m=1，求函数y=fx在1,1(2)是否存在0<x1<x2<x3，且(3)求证：当m≤0时，对任意x1,x2∈【变式8-2】（2024·山西·一模）已知a>0，且a≠1，函数fx(1)记an=fn−lnn+1+n,Sn(2)若a=1e，证明：(3)若fx有3个零点，求实数a【变式8-3】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数fx=ln(1)若a=1，证明：x>0时，fx(2)若函数Fx=fx(3)已知数列an的通项公式为an=【题型9数列与概率统计的交汇问题】【例9】（2024·黑龙江·二模）某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为111，从第二题开始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为14；若前一题答对，则此题答对的概率为13.记甲同学回答第n题时答错的概率为Pn，当n≥2时，PnA．97132 B．49132 C．4766【变式9-1】（2024·山东菏泽·一模）若数列an的通项公式为an=(−1)n−1n，记在数列anA．P1=23 B．P9<【变式9-2】（2024·广东广州·模拟预测）甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留继续投掷骰子；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中.(1)求三次投掷骰子后球在甲手中的概率；(2)投掷nn∈N*次骰子后，记球在乙手中的概率为p(3)设an=1【变式9-3】（2024·全国·模拟预测）甲、乙两名小朋友，每人手中各有3张龙年纪念卡片，其中甲手中的3张卡片为1张金色和2张银色，乙手中的3张卡片都是金色的，现在两人各从自己的卡片中随机取1张，去与对方交换，重复n次这样的操作，记甲手中银色纪念卡片xn张，恰有2张银色纪念卡片的概率为pn，恰有1张银色纪念卡片的概率为(1)求p2(2)问操作几次甲手中银色纪念卡片就可能首次出现0张，求首次出现这种情况的概率p．(3)记an（i）证明数列an−1为等比数列，并求出（ii）求xn的分布列及数学期望．（用n【题型10数列与平面几何的交汇问题】【例10】（23-24高三下·全国·阶段练习）已知等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，an>0，（1）求an（2）在平面直角坐标系xOy中，设点Qkk,bk(k=1,2,3⋅⋅⋅)，直线QkQ【变式10-1】（2024·四川达州·二模）已知抛物线Γ:y2=2px(p>0)，直线l:y=k(x−p)与Γ交于A,B两点，线段(1)求抛物线Γ的方程；(2)直线l与x轴交于点C,O为原点，设△BOC,△COM,△MOA的面积分别为S△BOC,S△COM,【变式10-2】（2024·安徽合肥·二模）已知an是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=3，a3−a2=2（1）求数列an，b（2）如图在平面直角坐标系中，点P1a1,0，P2Q1a1,b1，Q2a2,b2，…，【变式10-3】（2024·四川内江·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，点P是椭圆上的动点，F1,F(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l过点P4,0，与椭圆交于A，B两点．若AP,AB【题型11数列中的结构不良题】【例11】（24-25高二上·全国·课后作业）已知an是等差数列，其前n项和为Sn，a4=−3，再从条件①：(1)数列an(2)Sn的最小值，并求当Sn取得最小值时【变式11-1】（2024·青海西宁·二模）已知数列an，_______________.请从下列两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.）①数列an的前n项和为Sn=2an−2（n∈N∗(1)求数列an(2)令bn=an+log2【变式11-2】（2024·四川德阳·三模）已知an是等差数列，bn是等比数列，且bn的前n项和为Sn，2a1=(1)求数列an和b(2)设数列anbn的前n项和为T【变式11-3】（23-24高二下·北京怀柔·期末）已知等差数列an的前n项和为Sn，且(1)求等差数列an(2)若各项均为正数的数列bn其前n项和为Tn，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，设cn=an+bn条件①：Tn条件②：b1条件③：∀n≥2且n∈Z都有bn2【题型12数列的新定义、新情景问题】【例12】（2024·河北张家口·二模）如果项数相同的数列an,bn满足an∪bn=1,2,3,⋯,2n，且i为奇数时，ai<bi；i为偶数时，ai(1)若an∪b(2)当an（i）证明：Sn取最大值时，存在a（ii）当n为偶数时，求Sn【变式12-1】（2024·浙江·模拟预测）已知正整数m，设a1，a2，…，a2m，b1，b2，…，b2m是4m个非负实数，S=i=12mai=i=12mbi(1)写出8个不全相等的数，使得这8个数构成8,2—孪生数组；(2)求最小的S，使得a1，a2，…，a6，b1，b2(3)若m≥4，且a1，a2，…，a2m，b1，b2，…，b参考公式：（i）x1+x2+x32≥3x1x2+x2x【变式12-2】（2024·安徽芜湖·模拟预测）对于数列an,bn，如果存在正整数n0≥3，当任意正整数n≤n0时均有b1<a1<(1)已知bn=2n，请写出一个数列(2)若an,bn满足an+bn=6n−2，其中b(3)已知等差数列bn和正整数等比数列an满足：an=k2024−n(k+1)n−1(n=1,2,…,2024)【变式12-3】（2024·新疆·二模）我们把满足下列条件的数列an称为m−L①数列an②存在正奇数m，使得数列an的每一项除以m(1)若a，b，c是公差为2的等差数列，求证：a，b，c不是3−L数列；(2)若数列bn满足对任意正整数p，q，恒有bp+q=1p+1(3)已知各项均为正数的数列cn共有100项，且对任意1≤n≤100，恒有c1+c2+⋯+c一、单选题1．（2024·内蒙古包头·三模）设Sn为等差数列an的前n项和，若S5=4a1，a1A．11 B．12 C．20 D．212．（2024·山东菏泽·二模）已知an是等差数列，a1=3,a4=12，在数列bn中bA．6072 B．2C．22023+6072 3．（2024·四川·模拟预测）南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为1,4,8,13，则该数列的第18项为（

）A．188 B．208 C．229 D．2514．（2024·青海西宁·一模）等差数列an中的a2，a2024是函数fx=A．12 B．1 C．−1 D．5．（2024·全国·二模）数列an的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列，Sn是数列an的前n项和，a1=3，a2=2A．a2k<B．当n≥5，且n∈N*时，数列C．aD．S6．（2024·全国·模拟预测）已知n∈N∗，an=12n−1，bn=1(n+1)2A．196197 B．198199 C．981977．（2024·湖北·二模）已知等差数列an的前n项和为Sn，且Sn=n2+m，n∈N*A．−2 B．0 C．1 D．28．（2024·内蒙古赤峰·三模）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是：从第一个正三角形（边长为1）P1开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，称为科赫曲线.设Pn的周长和面积分别为Ln、Sn，下列结论正确的是（

）①P₅的边数为3×4②L③LnS④∃N>0,A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④二、多选题9．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率0.3%，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）.有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率；等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算.下列说法正确的是（

A．等额本金方案，所有的利息和为2340元B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元C．等额本息方案，每月还款金额中的本金部分呈现递增等比数列D．等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以