专题2.1 函数的概念（举一反三）（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题2.1函数的概念【九大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1函数的概念】 2【题型2同一函数的判断】 4【题型3具体函数的定义域的求解】 6【题型4抽象函数的定义域的求解】 7【题型5已知函数定义域求参数】 8【题型6已知函数类型求解析式】 10【题型7已知f(g(x))求解析式】 11【题型8函数值域的求解】 12【题型9分段函数及其应用】 141、函数的概念考点要求真题统计考情分析(1)了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域

(2)会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数

(3)了解简单的分段函数，并会应用2021年浙江卷：第12题，5分2022年浙江卷：第14题，5分2023年北京卷：第11题，5分函数的解析式与定义域、值域问题是高考数学的必考内容.从近几年的高考情况来看，高考对函数的概念考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大，函数的解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现.高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以分段函数、定义域、值域及最值为主.【知识点1函数的定义域的求法】1．求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.2．求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.【知识点2函数解析式的四种求法】1．函数解析式的四种求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).【知识点3求函数值域的一般方法】1．求函数值域的一般方法(1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法；(7)数形结合法；(8)导数法.【知识点4分段函数的应用】1．分段函数的应用分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．【题型1函数的概念】【例1】（2023·山东·模拟预测）下列图象中，能表示函数y=fx图象的是（

）

A．①② B．②③ C．②④ D．①③【解题思路】根据函数的定义判断可得出结论.【解答过程】解：∵一个x只能对应一个y，∴①③符合题意，对于②中，当x>0时，一个x对应两个y，不符合函数的定义；对于④中，当x=0时，一个x对应两个y，不符合函数的定义.故选：D．【变式1-1】（23-24高一上·广东佛山·期末）给定数集A=R,B=(0,+∞),x,y满足方程x2−y=0，下列对应关系A．f:A→B,y=f(x) B．f:B→A,y=f(x)C．f:A→B,x=f(y) D．f:B→A,x=f(y)【解题思路】ACD选项，可举出反例；B选项，利用函数的定义作出判断.【解答过程】A选项，∀x∈R，当x=0时，y=x2=0B选项，∀x∈0,+∞，存在唯一确定的y∈R，使得CD选项，对于∀y∈0,+∞，不妨设y=1，此时x2故不满足唯一确定的x与其对应，不满足要求，CD错误.故选：B.【变式1-2】（2024·江西·一模）设M={x|0≤x≤4}，N={y|−4≤y≤0}，函数fx的定义域为M，值域为N，则fx的图象可以是（A． B．C． D．【解题思路】根据函数的定义，逐项进行判断，即可得解.【解答过程】因为定义域为{x|0≤x≤4}，所以舍去A;因为值域为{y|−4≤y≤0}，所以舍去D;因为对于定义域内每一个x有且只有一个y值，所以去掉C；故选B.【变式1-3】（2024高三·全国·专题练习）下列对应是从集合A到集合B的函数的是（

）A．A=N,B=NC．A=N,B=Q【解题思路】由函数的定义对选项一一判断即可得出答案.【解答过程】对于A选项，对集合A中的任意一个数x，集合B中都有唯一的数y与之对应，是函数；对于B选项，x=4时，y=±2，有两个y与之对应，不是函数；对于C选项，当x=1时，y不存在，不是函数；对于D选项，集合A中的元素0在集合B中没有对应元素，不是函数.故选：A.【题型2同一函数的判断】【例2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）下列各组函数中，表示同一个函数的是（

）A．f(x)=x,g(x)=x2xC．f(x)=x,g(x)=x,x≥0【解题思路】分别求得函数的定义域和对应法则，结合同一函数的判定方法，逐项判定，即可求解.【解答过程】对于A中，函数f(x)=x的定义域为R，函数g(x)=x2x两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B中，函数f(x)=x(x∈R)和g(x)=x(x∈Z)的定义域不同，不是同一函数；对于C中，函数f(x)=x=x,x≥0对于D中，函数f(x)=x的定义域为R，g(x)=(x)故选：C.【变式2-1】（2024·山东·一模）下列各组函数中，表示同一函数的是()A．fB．fxC．fD．f【解题思路】根据同一函数的定义对四个选项中的两个函数进行比较即可.【解答过程】选项A:函数fx的定义域是x>0，函数g选项B:函数fx的定义域是x≠−2，函数g选项C:函数fx的定义域是x≠kπ+π2选项D:函数fx和gx的定义域都是全体实数，且gx【变式2-2】（2024·重庆·二模）下列函数中，与y=x是相同的函数是A．y=x2 C．y=x2x【解题思路】求出各选项函数的定义域，并对解析式进行化简，要求所选函数的定义域和解析式都与函数y=x的定义域和解析式一致，可得出正确的选项.【解答过程】对于A选项，函数y=x2=x定义域为对于B选项，函数y=lg10x=x的定义域为对于C选项，函数y=x2x的定义域为x对于D选项，y=x−12+1=x−1+1故选B.【变式2-3】（23-24高二下·福建三明·阶段练习）下列各组函数相等的是（

）A．fx=x2，gxC．fx=1，gx=x【解题思路】分别求每个选项中两个函数的定义域和对应关系，即可判断是否为相同函数，进而可得正确选项.【解答过程】对于A中，函数fx=x2的定义域为R，所以定义域不同，不是相同的函数，故A错误；对于B中，函数fx=x−1的定义域为R，gx所以定义域不同，不是相同的函数，故B错误；对于C中，函数fx=1的定义域为R，与gx所以定义域不同，所以不是相同的函数,故C错误；对于D中，函数fx=x=x,x≥0可知两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数,故D正确；故选：D.【题型3具体函数的定义域的求解】【例3】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）函数fx=3−xA．−∞,3 B．1,+∞ C．1,3【解题思路】由函数形式得到不等式组，解出即可.【解答过程】由题意得3−xx−1≥0x−1≠0，解得1<x≤3故选：C.【变式3-1】（2024·陕西·模拟预测）函数y=−x2A．−4,1 B．−4,0 C．0,1 D．−4,0【解题思路】根据具体函数定义域的求法求解即可.【解答过程】因为y=−所以−x2−3x+4≥0x≠0，解得故y=−x2故选：D.【变式3-2】（2024吉林·一模）函数y=ln(x+1)−A．(−4,−1) B．(−4,1) C．(−1,1) D．(−1,−1]【解题思路】根据对数的真数大于0，分母不为0，偶次方根被开方数是非负数，可列出不等式，进而可求出答案.【解答过程】由题意，可得x+1>0−x2故选：C.【变式3-3】（2024·山东泰安·三模）已知函数fx=x2xA．−∞,1 B．−∞,−1C．−∞,−1∪−1,0 【解题思路】先求得函数fx【解答过程】因为fx=x2x−4x，所以所以函数fx−1x+1需满足x−1<0且x+1≠0，解得故选：D.【题型4抽象函数的定义域的求解】【例4】（2023·江苏镇江·模拟预测）若函数y=f2x的定义域为−2,4，则y=fx−fA．−2,2 B．−2,4C．−4,4 D．−8,8【解题思路】利用抽象函数定义域的求解原则可求出函数fx的定义域，对于函数y=fx−f−x，可列出关于【解答过程】因为函数y=f2x的定义域为−2,4，则−2≤x≤4，可得−4≤2x≤8所以，函数y=fx的定义域为−4,8对于函数y=fx−f−x，则有−4≤x≤8因此，函数y=fx−f−x故选：C.【变式4-1】（2024·陕西西安·一模）若函数fx的定义域是[0，4]，则函数gA．[0，2] B．(0，2) C．[0，2) D．(0，2]【解题思路】根据分式与fx【解答过程】要使函数有意义，依题意需有x≠00≤2x≤4解得，0<x≤2故选：D．【变式4-2】（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数y=fx的定义域为0,4，则函数y=f(x+1)x−1A．1,5 B．1,2∪2,5 C．1,2∪【解题思路】根据给定条件，利用函数有意义并结合复合函数的意义列出不等式组，求解不等式组作答.【解答过程】因为函数y=fx的定义域为0,4，又函数y=则有0≤x+1≤4x−1>0x−2≠0，解得1<x<2或所以函数y=f(x+1)x−1+故选：C.【变式4-3】（2024·湖北荆州·模拟预测）定义域是一个函数的三要素之一，已知函数Jzzx(x)定义域为[211,985]，则函数sℎuangyiliu(x)=Jzzx(2018x)+Jzzx(2021x)的定义域为（

）A．2112018,985C．2112018,985【解题思路】根据抽象函数定义域的求法，列出方程组211≤2018x≤985211≤2021x≤985，解得211【解答过程】由抽象函数的定义域可知，211≤2018x≤985211≤2021x≤985，解得211所以所求函数的定义域为2112018故选A.【题型5已知函数定义域求参数】【例5】（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数fx=mA．[1,9] B．(1,9)C．(−∞,1]∪[9,+∞【解题思路】利用题给条件列出关于m的不等式，解之即可求得实数m的取值范围.【解答过程】由题意得mx2+(m−3)x+1≥0当m=0时，不等式可化为−3x+1≥0，其解集不是R，不符合题意；当m≠0时，由该不等式恒成立可得m>0m−32−4m≤0综上，实数m的取值范围是1≤m≤9故选：A.【变式5-1】（23-24高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数f(x)=a2−1x2+(a+1)x+1的定义域为A．−1,53 C．53,+∞【解题思路】分a=1、a=−1、a≠±1三种情况，结合二次函数的性质即可求解.【解答过程】当a=1时，f(x)=2x+1，则2x+1≥0，得x≥−12当a=−1时，f(x)=1，定义域为R，符合题意；当a≠±1时，由题意得关于x的不等式a2故a2−1>0Δ=(a+1)综上，实数a的取值范围是(−∞故选：D.【变式5-2】（22-23高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数f(x)=1kA．(0,4) B．[0,4) C．[0,4] D．(0,4]【解题思路】由题意可知kx2+kx+1>0【解答过程】函数f(x)=若k=0，则不等式为1>0若k≠0，则k>0Δ=综上可知，实数k的取值范围是0≤k故选：B．【变式5-3】（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知函数fx的定义域x∣a2−4a<x<a2−8是关于xA．2+6,+∞C．2,2+6 D．【解题思路】依题意解不等式即可.【解答过程】函数fx定义域非空集，则a2－4a＜记gx因为−2−a<−2−2=−4，所以gx>0的解集为依题意有a2−8≤−a−2或a2−4a≥2，所以又a>2，a2+a>4+2=6，所以故选：A.【题型6已知函数类型求解析式】【例6】（2024·山东济南·二模）已知函数f(x)=−x2−2x+3，则f(x+1)=【解题思路】代入函数解析式计算即可.【解答过程】解：因为f(x)=−x2−2x+3f(x+1)=−x故答案为：−x【变式6-1】（2024·广东东莞·二模）已知函数f(x)=ax−b(a>0)，f(f(x))=4x−3，则f(2)=3．【解题思路】利用直接代入法结合对应系数相等可得a,b的值，将2代入可得结果.【解答过程】由题意，得f(f(x))=f(ax−b)=a⋅(ax−b)−b=a即a2=4ab+b=3a>0，解得a=2b=1故答案为3.【变式6-2】（2023·江西九江·模拟预测）若三角形的面积为S（cm2），底边长为10cm，底上的高为h（cm），则h关于S的函数关系式是ℎ=S5【解题思路】根据三角形面积公式得到S=5ℎ，从而得到h关于S的函数关系式.【解答过程】因为S=12×10ℎ=5ℎ，所以ℎ=故答案为：ℎ=S5【变式6-3】（2024·山东济南·一模）已知集合A=uxux=ax2−a+bx+b,a,b∈R，函数fx=x【解题思路】根据u1=0，求得g1【解答过程】ux=axu1=a−a+bux=λfx所以g1=0，则gx经检验，gx故答案为：gx【题型7已知f(g(x))求解析式】【例7】（2023·重庆·模拟预测）已知函数f1−x=1−x2A．1x−12−1x≠0C．4x−12−1【解题思路】利用换元法令t=1−x，运算求解即可.【解答过程】令t=1−x，则x=1−t，且x≠0，则t≠1，可得ft所以fx故选：B.【变式7-1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数f1−x=1−x2A．1x−12−1C．4x−12−1【解题思路】利用换元法令t=1−x，代入运算求解即可.【解答过程】令t=1−x，则x=1−t，由于x≠0，则t≠1，可得ft所以fx故选：B.【变式7-2】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数fx满足：fx−1x=A．fx=xC．fx=x【解题思路】通过化简即可得出函数的解析式.【解答过程】因为fx−∴fx故选：A.【变式7-3】（23-24高一上·湖南衡阳·期中）函数fx满足若fgx=9x+3，A．fx=3x C．fx=27x+10 【解题思路】对fgx的式子适当变形，即可直接求出【解答过程】因为fg所以f3x+1=9x+3=33x+1故选：A.【题型8函数值域的求解】【例8】（2024·湖南怀化·三模）已知函数f(x)=1x(1≤x≤2),则函数g(x)=2f(x)+f(A．[3,2+22] B．[54,3] 【解题思路】由已知求得函数g(x)的定义域，换元后利用配方法求函数的值域．【解答过程】∵f(x)=1由1≤x≤21≤x2∴g(x)=2f(x)+f(x令t=1∴函数y=t当t=22时，当t=1时，ymax∴函数g(x)=2f(x)+f(x2)故选：D.【变式8-1】（2024·湖北·三模）函数y=x−4x−x2A．2−22,4 B．0,4 C．0,2+22【解题思路】由4x−x2⩾0，解得0⩽x⩽4．可得函数f(x)=y=x−4x−x【解答过程】解：因为y=x−由4x−x2⩾0可得函数y=f(x)=x−4x−x2又f′(x)=1−2−x令gx=4x−x2−(2−x)，则令4x−x2−(2−x)=0即f(x)在0,2−2上单调递减，在2−所以x=2−2又f(2−2)=2−22，f(0)=0∴函数y=x−4x−x2故选：A．【变式8-2】（2008·江西·高考真题）若函数y=f(x)的值域是[12,3]A．[12,3] B．[2,103]【解题思路】根据题意，可得：F(x)的值域就是函数y=t+1t【解答过程】设f(x)=t,则t∈1从而F(x)的值域就是函数y=t+1由“对勾函数”的图象可知，2≤F(x)≤10故选B．【变式8-3】（2024·浙江宁波·三模）若函数fx满足a≤fx≤ba<b，定义b−a的最小值为fxA．fx=cosC．fx=x【解题思路】由余弦函数的性质判断A；利用配方法求解函数值域判断B；将函数写为分段函数的形式，求得值域判断C；采用分离常数法求得函数值域判断D.【解答过程】∵−1≤cos2x≤1，∴即函数fx=cos∵−x∴fx=2x+1−x2∵f(x)=x∴函数fx=x∵f(x)=3故选：B.【题型9分段函数及其应用】【例9】（2024·吉林长春·三模）已知函数f(x)=2x,x>0f(x+2),x≤0，则A．1 B．2 C．4 D．8【解题思路】根据分段函数解析式，代入求值即可.【解答过程】由函数可得，f(−3)=f(−1)=f(1)=2故选：B.【变式9-1】（2024·广东佛山·二模）如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（0≤t≤2）左侧的图形的面积为ft．则函数y=ft的大致图象是（

A．

B．

C．

D．

【解题思路】结合图形，分类讨论0<t≤1与1<t≤2，求得f(t)的解析式，从而得解.【解答过程】依题意，当0<t≤1时，可得直角三角形的两条直角边分别为t,3从而可以求得f(t)=1当1<t≤2时，阴影部分可以看做大三角形减去一个小三角形，可求得f(t)=3所以f(t)=3从而可知选项A的图象满足题意.故选：A.【变式9-2】（2024·江西南昌·一模）设函数f(x)={2|x−a|,x≤1x+1,x>1，若f(1)是f(x)的最小值，则实数A．[−1,2) B．[−1,0] C．[1,2] D．[1,+∞)【解题思路】由x>1，求得f(x)的范围；再求得f(x)=2|x−a|的单调性，讨论a<1，a⩾1时函数f(x)在【解答过程】解：函数f(x)=2若x>1，可得f(x)=x+1>2，由f1是f(x)由于f(x)=可得在x>a单调递增，在x<a单调递减，若a<1，x⩽1，则f(x)在x=a处取得最小值，不符题意；若a⩾1，x⩽1，则f(x)在x=1处取得最小值，且2a−1⩽2，解得综上可得a的范围是[1，2]．故选：C．【变式9-3】（2023·安徽合肥·模拟预测）定义在R上的函数fx满足fx+1=12fx，且当x∈0,1时，fxA．278 B．298 C．134【解题思路】根据已知计算出fx=12n1−2x−【解答过程】由题意得，当x∈1,2时，故f当x∈2,3时，故f可得在区间n,n+1n∈Z上，所以当n≥4时，fx≤3

当x∈72,4时，由f所以m的最小值为29故选：B.一、单选题1．（23-24高一上·上海奉贤·期末）以下图形中，不是函数图象的是（

）A． B．C． D．【解题思路】利用函数定义逐一判断选项中自变量与函数值的对应关系即可得出结论.【解答过程】根据函数定义，对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应，A选项中存在一个自变量对应两个函数值，所以A不是函数图象.故选：A.2．（2023·江西九江·模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（

）A．f(x)=x(x2+1)x2+1C．f(x)=1，g(x)=x∘ D．f(x)=x【解题思路】根据同一函数的定义，逐项验证定义域和对应法则是否相同，即得．【解答过程】对于A中，函数f(x)=x(x2+1)x2+1对于B中，函数f(x)=x和g(x)=x2=|x|={对于C中，函数f(x)=1的定义域为R，函数g(x)=x∘的定义域为对于D中，函数f(x)=x的定义域为R，g(x)=x2x故选：A．3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数y=x+1−xA．0,1 B．0,1 C．0,+∞ D．【解题思路】根据开偶数次方根号里的数大于等于零即可得解.【解答过程】由y=x得x≥01−x≥0，解得0≤x≤1所以函数y=x+1−x故选：B.4．（2024·江苏南通·二模）已知fx对于任意x,y∈R，都有fx+y=fx⋅fy，且A．4 B．8 C．64 D．256【解题思路】由题意有f2x=f【解答过程】由fx+y=fx⋅fy由f12=2故选：D.5．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数fx=4x22xA．0,2 B．0,2 C．0,2 D．0,2【解题思路】根据给定条件，利用不等式的性质求出函数值域得解.【解答过程】依题意，fx显然2x2+1≥1，则0<所以函数fx的值域是0,2故选：C.6．（2023·江西九江·模拟预测）已知函数y=fx的定义域为−1,5，则函数y=f2xA．0,3 B．−3.3 C．[−3,3【解题思路】由题可知解−1≤2x【解答过程】解：因为函数y=fx的定义域为−1,5所以，−1≤2x2−1≤5，即0≤所以，函数y=f2x故选：C.7．（2024·吉林·模拟预测）已知fx=2x−1,x<1,x2A．1 B．4 C．1或4 D．2【解题思路】分a<1和a≥1，求解fa【解答过程】当a<1时，fa=2a−1=1当a≥1时，fa=a2=1故选：B.8．（2024·山东·二模）如图所示，动点P在边长为1的正方形ABCD的边上沿A→B→C→D运动，x表示动点P由A点出发所经过的路程，y表示△APD的面积，则函数y=fx的大致图像是（

A． B．C． D．【解题思路】分x∈0,1，x∈1,2，【解答过程】当x∈0,1时，y=当x∈1,2时，y=12当x∈2,3时，y=故选：A．二、多选题9．（23-24高一上·安徽六安·期中）下列说法中正确的是（

）A．函数fxB．若a>b>0,m>0，则bC．函数fx=D．函数fx=x−1【解题思路】根据基本不等式、比较法，结合分式函数的性质、同一函数的定义逐一判断即可.【解答过程】A：fx若x2故x2所以fx因此fxB：因为a>b>0,m>0，所以b+ma+m即b+ma+mC：因为fx所以fx≠2，因此函数fxD：由fx=x−1⋅x+1可知：x−1≥0由函数gx=x2−1所以函数gx=x2−1因为两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，因此本选项不正确，故选：BC.10．（2024·全国·一模）设a为常数，f(0)=12,f(x+y)=f(x)f(a−y)+f(y)f(a−x)A．f(a)=B．f(x)=1C．f(x+y)=2f(x)f(y)D．满足条件的f(x)不止一个【解题思路】对已知条件进行多次赋值，结合已知数据，再对每个选项进行逐一判断即可.【解答过程】f(0)=对A：对原式令x=y=0，则12=1对B：对原式令y=0，则fx=fx对原式令x=y，则f2x=fx对原式令y=a−x，则fa=f又f(x)非负，故可得fx对C：由B分析可得：fx+y对D：由B分析可得：满足条件的f(x)只有一个，故D错误.故选：ABC.11．（2024·湖南益阳·模拟预测）下列命题中，正确的是（

）A．函数vx=xB．函数vx=xC．函数y=fx的图象与直线x=2024D．函数fx=x−1【解题思路】根据相等函数的定义判断A、B，根据函数的定义判断C，由函数解析式求出函数值，即可判断D.【解答过程】对于A：vx对于B：函数vx=x对于C：根据函数的定义可知，函数y=fx的图象与直线x=2024对于D：因为fx=x−1则ff故选：BC.三、填空题12．（2024·四川南充·三模）函数fx=16−x2【解题思路】根据解析式列出不等式求解.【解答过程】因为fx所以16−x2≥0解得−4≤x≤4且x≠1，故函数的定义域为−4,1∪故答案为：−4,1∪13．（2024·陕西·模拟预测）已知fx=x3+2,x≥0−3x,x<0，若fm【解题思路】分m≥0和m<0分别代入函数，解出即可.【解答过程】当m≥0时，m3+2=29，解得当m<0时，−3m=29，解得m=−29故答案为：3或−2914．（2024·湖南益阳·模拟预测）已知函数fx的定义域为−∞,+∞．对任意的x,y∈R恒有fx+yfx−y=fx【解题思路】依题意可得fx+yfx−y=f【解答过程】由fx+y得fx+y因为f1=2，令x=2，y=1，得f3f1令x=3，y=2，得f5f1令x=4，y=1，得f5f3在fx+y令y=2，得fx+2令x=5，得f7f3令x=7，得f9f5⋯⋯．在fx+y令x=6，y=1，得f6令x=8，y=1，得f8⋯⋯．依此类推，可得f(2k−1)=−1k+1×2因此f2023=f2×1012−1综上可知f(2023)+f(2024)=−2．故答案为：−2．四、解答题15．