专题2.4 指数与指数函数（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题2.4指数与指数函数【六大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1指数幂的运算】 2【题型2指数方程与指数不等式】 2【题型3指数函数的图象与性质】 2【题型4利用指数函数的单调性比较大小】 3【题型5利用指数函数的单调性解不等式】 3【题型6指数函数的综合问题】 41、指数与指数函数考点要求真题统计考情分析(1)了解根式的概念及性质，了解分数指数幂的含义，掌握指数幂的运算性质(2)熟练掌握指数函数的图象与性质2022年全国甲卷（文数）：第12题，5分2023年新课标I卷：第4题，5分2024年天津卷：第2题，5分、第5题，5分指数函数是常见的重要函数，指数与指数函数是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，指数函数的考查，主要以基本函数的性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比较指对幂的大小、解不等式等题型.【知识点1指数运算的解题策略】1．指数幂运算的一般原则(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【知识点2指数函数的常见问题及解题思路】1．比较指数式的大小比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.2．指数方程(不等式)的求解思路指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.3．指数型函数的解题策略涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.【题型1指数幂的运算】【例1】（23-24高一上·陕西咸阳·期末）化简3(−5)232的结果为（

）A．5 B．5 C．−5 D．−【变式1-1】（23-24高一上·陕西汉中·期末）下列各式正确的是（

）A．12−34=C．3−8=−2 【变式1-2】（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知a+1a=2，则aA．2 B．4 C．±2 D．±4【变式1-3】（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）计算(−64)13+A．−132 B．−112 C．【题型2指数方程与指数不等式】【例2】（23-24高一上·北京顺义·期中）关于x的方程4x−2【变式2-1】（2024高一·江苏·专题练习）不等式123x−1≤2【变式2-2】（2024高一·江苏·专题练习）不等式2x>1【变式2-3】（23-24高三上·辽宁·阶段练习）已知x1和x2是方程9x−【题型3指数函数的图象与性质】【例3】（2024·宁夏银川·三模）已知函数fx=2A．函数fx单调递增 B．函数fxC．函数fx的图象关于0,1对称 D．函数fx的图象关于【变式3-1】（2024·江西·模拟预测）函数fx=3A．−∞,0 B．−1,0 C．0,1 【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=1ex+a的图象关于点A．1 B．2 C．e D．e【变式3-3】（2024·辽宁·一模）若函数fx=3−2x2+axA．−∞,4 B．4,16 C．16,+∞【题型4利用指数函数的单调性比较大小】【例4】（2024·云南·二模）若a=2π−2,b=A．b>a>c B．c>a>b C．a>b>c D．a>c>b【变式4-1】（2024·四川·模拟预测）设a=0.50.4，b=0.41.1，A．a<c<b B．c<a<b C．a<b<c D．b<a<c【变式4-2】（2023·上海闵行·一模）已知a，b∈R，a>b，则下列不等式中不一定成立的是（

A．a+2>b+2 B．2a>2b C．a2>b【变式4-3】（2024·全国·二模）设实数a，b满足1001a+1010b=2023a，1014A．a>b B．a=b C．a<b D．无法比较【题型5利用指数函数的单调性解不等式】【例5】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=3x−2−32−xA．−∞,4 B．−∞,2 C．【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知fx=2x−a+1，且fx<6A．−∞,1 B．−1,+∞ C．−1,1【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=12x，则使得fA．13,+∞ B．0,13 【变式5-3】（2024·江苏宿迁·一模）已知函数fx=2x−A．−1,3 B．−∞,−1∪3,+∞ 【题型6指数函数的综合问题】【例6】（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数fx是定义在R上的偶函数，当x≥0时，fx=a⋅(1)求a的值，并求出fx(2)若mfx−4x−【变式6-1】（23-24高一上·广东茂名·期末）已知函数fx(1)当x∈0,8时，不等式fx+1≥f(2)试求函数Gx=fx+1+af2x（a∈【变式6-2】（2024高二下·浙江·学业考试）设函数fx(1)判断函数fx在区间0,+∞和(2)若函数fx在其定义域内为奇函数，求a与b(3)在（2）的条件下，当a=1时，不等式fx≥k⋅3−x在【变式6-3】（23-24高一上·广东广州·期末）定义在R上的奇函数，当x<0时，fx=x,−1<x<0−a−x,x≤−1，其中a>0,a≠1(1)求a的值；(2)当x≥0时，求函数fx(3)若存在x2>x1≥0一、单选题1．（2023·全国·模拟预测）3392+A．13 B．33 C．32．（2023·广东珠海·模拟预测）已知a>0且a≠1，下列等式正确的是（

）A．a−2⋅aC．a6+a3．（2023·山东·模拟预测）若a−1−a1=4A．8 B．16 C．2 D．184．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数fx的部分图象如图所示，则fx的解析式可能为（

A．fx=eC．fx=e5．（2023·四川攀枝花·模拟预测）已知奇函数fx=ax+b⋅a−xA．13或3 B．12或2 C．36．（2023·吉林·一模）已知a=0.310.1，b=0.310.2，A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b7．（2023·湖北武汉·二模）阅读下段文字：“已知2为无理数，若(2)2为有理数，则存在无理数a=b=2，使得ab为有理数；若(2)2为无理数，则取无理数A．(2)2是有理数 C．存在无理数a，b，使得ab为有理数 D．对任意无理数a，b，都有a8．（2023·全国·模拟预测）已知函数f(x)=2023ax2+bx+1(a≠0)的图象关于直线x=2对称，且函数A．{x∣0<x≤4} B．{x∣x≥4或x<0}C．{x∣0≤x≤4} D．{x∣x≥4或x≤0}二、多选题9．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）下列各式中一定成立的有（

）A．nm7=C．4x3+10．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数fx=2A．函数fxB．函数fx值域为C．函数fx的图象关于0,1D．函数fx的图象关于1,111．（2024·湖南·模拟预测）已知函数fx是定义域为R的偶函数，gx是定义域为R的奇函数，且fx+gx=2ex.函数A．fx=ex+eC．m=3 D．m=−3.3或13三、填空题12．（2024·上海宝山·二模）将a2a（其中a>0）化为有理数指数幂的形式为13．（2024·上海·三模）设t∈R，若在区间1,2上，关于x的不等式2x>14．（2023·四川成都·模拟预测）设fx是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，fx=ex四、解答题15．（2023·山东·模拟预测）计算：(1)(−π(2)516．（2024·山东济宁·模拟预测）（1）计算：94（2）已知a12+17．（2024·上海黄浦·二模）设a∈R，函数f(x)=(1)求a的值，使得y=f(x)为奇函数；(2)若f(2)=a，求满足f(x)>a的实数x的取值范围.18．（23-24高一上·天津和平·期末）已知函数f(x)=a⋅8x+2xa⋅(1)当a=−1时，若对任意的x∈[1,2]，都有f(2x)≥mf(x)成立