专题2.8 函数模型及其应用（举一反三）（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题2.8函数模型及其应用【六大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1利用函数图象刻画实际问题的变化过程】 2【题型2已知函数模型解决实际问题】 6【题型3构造二次函数模型】 8【题型4构造指数、对数函数模型】 11【题型5构造分段函数模型】 13【题型6函数模型的选择问题】 181、函数模型及其应用考点要求真题统计考情分析(1)了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异

(2)理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义(3)会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用2020年新高考全国I卷：第6题，5分2020年全国IⅡ卷：第4题，5分函数模型是高考数学的重要内容之一，从近几年的高考形势来看，高考对函数模型的考查相对稳定，一般以选择题与填空题的形式出现，难度不大；学生在复习中要加强对建模能力和应用能力的培养.【知识点1几种常见的函数模型】1．一次函数模型一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0).一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过.2．二次函数模型二次函数模型：f(x)=+bx+c(a,b,c为常数，a≠0).

二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值问题常用到二次函数模型.3．幂函数模型幂函数模型应用的求解策略

(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式.

(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式.4．指数函数模型指数函数模型：(a,b,c为常数，a>0，且a≠1，b≠0).

4．对数函数模型对数函数模型：(a,b,c为常数，a>0，且a≠1，b≠0).6．分段函数模型由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用.7．“对勾”函数模型对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+(a>0,b>0)，当x>0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运用.【知识点2判断函数图象与实际问题变化过程的解题策略】1．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况.【知识点3实际问题中函数建模的基本步骤】1．构造函数模型解决实际问题的基本步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型.

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.

(3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解.

(4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答.【题型1利用函数图象刻画实际问题的变化过程】【例1】（2024·海南·模拟预测）下列四个图象中，与所给三个事件吻合最好的顺序为（

）①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.其中y表示离开家的距离，t表示所用时间.A．④①② B．③①② C．②①④ D．③②①【解题思路】根据三个事件的特征，分析离家距离的变化情况，选出符合事件的图像.【解答过程】对于事件①，中途返回家，离家距离为0，故图像④符合；对于事件②，堵车中途耽搁了一些时间，中间有段时间离家距离不变，故图像①符合；对于事件③，前面速度慢，后面赶时间加快速度，故图像②符合；故选：A.【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）某公司在30天内A商品的销售价格P（元）与时间t（天）的关系满足下方图象所示的函数，A商品的销售量Q（万件）与时间t的关系是Q=40−t，则下列说法正确的是（

）①第15天日销售额最大

②第20天日销售额最大③最大日销售额为120万元

④最大日销售额为125万元A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【解题思路】先由函数图象利用待定系数法求得销售价格P（元）关于时间t（天）的函数解析式，再求销售额关于t的函数解析式，从而结合二次函数性质求其最大值，由此得解.【解答过程】由图象可得当0≤t≤20时，可设P=at+b，根据图象知过点(0,2),(20,6)，所以b=26=20a+b，解得b=2,a=15当20≤t≤30，可设P=mt+n，根据图象知过点(20,6),(30,5)，所以6=20m+n5=30m+n，解得m=−110综上可得，P=1又Q=−t+400<t≤30，设第t天的销售额为y，则y=P⋅Q=1化简可得y=−当0<t<20时，y=−15t−152+125当20≤t≤30时，y=110t−602−40综上可得，第15日的销售额最大，最大值为125万元，故①④正确.故选：B.【变式1-2】（2023·北京门头沟·一模）在声学中，音量被定义为：Lp=20lgpp0，其中Lp是音量（单位为dB），P0是基准声压为2×10−5Pa，PA．音量同为20dB的声音，30~100Hz的低频比1000~10000Hz的高频更容易被人们听到.B．听觉下限阈值随声音频率的增大而减小.C．240Hz的听觉下限阈值的实际声压为0.002Pa.D．240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍.【解题思路】对于选项A、B，可以直接观察图像得出听觉下限阈值与声音频率的关系进行判断；对于C、D，通过所给函数关系Lp【解答过程】对于A，30~100Hz的低频对应图像的听觉下限阈值高于20dB，1000~10000Hz的高频对应的听觉下限阈值低于20dB，所以对比高频更容易被听到，故A错误；对于B，从图像上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故B错误；对于C，240Hz对应的听觉下限阈值为20dB，P0令Lp=20lgpp对于D，1000Hz的听觉下限阈值为0dB，令Lp=20lgpp0=0故选：D.【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，假设其函数关系为指数函数，现给出下列说法，其中正确的说法有（

）A．野生水葫芦的面积每月增长量相等B．野生水葫芦从9m2蔓延到C．设野生水葫芦蔓延到9m2，20m2，40m2所需的时间分别为tD．野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度【解题思路】根据图中数据可计算得出A、B、D选项；根据图像得到指数函数解析式，表示出t1，t2，【解答过程】由图可知野生水葫芦第一个月增长面积为2m2，第二个月增长面积为由图可知野生水葫芦从9m2蔓延到野生水葫芦的面积与时间的函数关系为ft=3t，ft1+t3=野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度为27−3野生水葫芦在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度为81−故选：BC.【题型2已知函数模型解决实际问题】【例2】（2024·广东茂名·一模）Gompertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为：fx=kab−x（其中k>0,b>0，a为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现a=e.若x=1表示该新产品今年的年产量，估计明年x=2的产量将是今年的e倍，那么A．5−12 B．5+12 C．【解题思路】由a=e，得到fx=k⋅eb−x，分别代入x=1、x=2，得到【解答过程】由a=e，得到f∴当x=1时，f1当x=2时，f2依题意，明年x=2的产量将是今年的e倍，得：ke∴1b2−1∵b>0，∴b=5故选：A.【变式2-1】（23-24高三上·北京通州·阶段练习）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：C=Wlog21+SN，其中C为最大数据传输速率，单位为bits；W为信道带宽，单位为Hz；SN为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当SN=99，W=2000Hz时，最大数据传输速率记为C1A．13 B．52 C．15【解题思路】由题意可知，分别将数据代入利用对数运算法则计算出C1，C2，即可求得【解答过程】根据题意，将SN=99，W=2000Hz将SN=9999，代入可得W=3000Hz所以可知C2故选：D.【变式2-2】（2024·陕西安康·模拟预测）若一段河流的蓄水量为v立方米，每天水流量为k立方米，每天往这段河流排水r立方米的污水，则t天后河水的污染指数mt=rk+m0−rkeA．98 B．105 C．117 D．130【解题思路】由已知化简函数式得mt=m0e−160t【解答过程】由题意可知：r=0，vk=60设约t天后，河水的污染指数下降到初始值的17，即m所以−1故选：C.【变式2-3】（2024·四川·模拟预测）2023年6月22日，由中国帮助印尼修建的雅万高铁测试成功，高铁实现时速350km自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小．如果用声强I（单位：Wm2）表示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级L（单位：dB）与声强I的函数关系式为L=L0lgaI，其中L0为基准声强级，声源与声源的距离（单位：m）声强级范围内燃列车2050,80电力列车2020,50高速列车2010设在离内燃列车､电力列车､高速列车20m处测得的实际声强分别为I1,A．L0=30 B．I1≥I2【解题思路】根据声强、声强级之间的关系确定基准声强级L0，即可判断A；计算L1−L2可得I【解答过程】对于A：因为声强I=10a时，声强级所以L=L0lga⋅10对于B：因为L1所以I1I2对于C：L2所以I2I3对于D，L1所以I1I2故选：B．【题型3构造二次函数模型】【例3】（2023·江西九江·模拟预测）随着新冠病毒的暴发，感染人数越来越多，医疗资料受到极大的挑战，某地政府开始建立方舱医院，建筑公司为某方舱医院一病区预备的建筑材料总长为158米，计划建立24间病房，分为两排，过道的宽为1米，病房的长为x米，如图所示，如何设计病房的长、宽才能使单间病房面积最大？【解题思路】由题可得病房的宽为78−13x24【解答过程】由题可得病房的宽为158−2×13x−2×12×24所以单间病房面积为S=78−13x所以当x=3米时，单间病房面积最大，此时病房的宽为138即病房的长为3米、宽为138【变式3-1】（2024·上海青浦·一模）考虑到高速公路行车安全需要，一般要求高速公路的车速v（公里/小时）控制在60,120范围内.已知汽车以v公里/小时的速度在高速公路上匀速行驶时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为15v−k+4500v升，其中k为常数，不同型号汽车(1)若某型号汽车以120公里/小时的速度行驶时，每小时的油耗为11.5升，欲使这种型号的汽车每小时的油耗不超过9升，求车速v的取值范围；(2)求不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值.【解题思路】（1）根据题意，可知当v=120时，求出k的值，结合条件得出15v−100+4500v≤9（2）设该汽车行驶100千米的油耗为y升，得出关于y与v的函数关系式，通过换元令t=1v，则t∈1120,160【解答过程】（1）解：由题意可知，当v=120时，15v−k+4500由15v−100+4500v≤9因为要求高速公路的车速v（公里/小时）控制在60,120范围内，即60≤v≤120，所以60≤v≤100，故汽车每小时的油耗不超过9升，求车速v的取值范围60,100.（2）解：设该汽车行驶100千米的油耗为y升，则y=100令t=1v，则所以y=90000t2−20kt+20=90000可得对称轴为t=k9000，由60≤k≤120，可得当1120≤k则当t=k9000时，当1150≤k则当t=1120时，综上所述，当75≤k≤120时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为20−k当60≤k<75时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为1054【变式3-2】（2022·上海虹口·一模）某地政府决定向当地纳税额在4万元至8万元（包括4万元和8万元）的小微企业发放补助款，发放方案规定：补助款随企业纳税额的增加而增加，且补助款不低于纳税额的50%.设企业纳税额为x（单位：万元），补助款为fx=1(1)分别判断b=0，b=1时，fx(2)若函数fx符合发放方案规定，求b【解题思路】（1）根据题意，需要判断函数fx在4,8上是否单调递增，fx−（2）根据题意，fx在4,8上单调递增，且fx−12【解答过程】（1）若b=0，则fx=14x2+若b=1，则fx=14x2−x+所以b=0时，fx符合发放方案规定，b=1时，f（2）①由题意，fx=14x②令gx=fx−1若b+1212=2b+1≤4⇒b≤32，g若2b+1≥8⇒b≥72，gx在4,8若32<b<7所以b≤5综合①②得：b≤5【变式3-3】（2023·上海嘉定·二模）某村共有100户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为2万元．为了调整产业结构，该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工．据估计，若能动员xx∈N∗户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入比上一年提高2x%（1）在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前100户农民的总年收入，求x的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的总年收入，求a的最大值．【解题思路】（1）根据题意，表示出动员x户农民从事蔬菜加工后农民的总年收入，动员前农民的总年收入，再解不等式.（2）转化成恒成立问题，再分离变量，转化成函数的最值问题.【解答过程】解：（1）动员x户农民从事蔬菜加工后，农民的总年收入为(100−x)×2(1+2x%)，由题得(100−x)×2(1+2x%)≥200⇒0≤x≤50．（2）由题2xa−950即a≤100x+当且仅当x=25时等号成立，所以amax【题型4构造指数、对数函数模型】【例4】（2024·陕西西安·模拟预测）2023年10月31日，国务院新闻办举行“权威部门话开局”系列主题新闻发布会的第28场发布会.会上提出蒙古国､中国，包括东北亚的日本､韩国，都是沙漠化的受害者，所以防沙治沙､植树造林符合本地区各国和人民当前及长远利益.根据对中国国家整理的中国沙尘暴资料的分析，发现持续时间大于t的沙尘暴次数N满足N=A⋅10−tb，目前经测验A地情况气象局发现，t=300时，次数N=5,t=600时，次数N=3，据此计算N=4时对应的持续时间t约为（（参考数据：lg2≈0.301,A．389 B．358 C．423 D．431【解题思路】由题意可得A⋅10−300b=5A⋅10−600b=3【解答过程】A⋅10−300b=5又10−300b=3所以N=25令N=253⋅取对数并化简可得lg12−因为lg12=2所以t=所以t≈431.故选：D.【变式4-1】（2024·宁夏银川·一模）锂电池在存放过程中会发生自放电现象，其电容量损失量随时间的变化规律为Q=ktp，其中Q（单位mAh）为电池容量损失量，p是时间t的指数项，反映了时间趋势由反应级数决定，k是方程剩余项未知参数的组合，与温度T和电池初始荷电状态M等自放电影响因素有关．以某种品牌锂电池为研究对象，经实验采集数据进行拟合后获得p=0．5，相关统计学参数R2>0．995，且预测值与实际值误差很小．在研究M对Q的影响时，其他参量可通过控制视为常数，电池自放电容量损失量随时间的变化规律为Q=kt（参考数据为：e3.22A．100.32 B．101.32 C．105.04 D．150.56【解题思路】根据题意，得到Q=e(2.228+1.3M)⋅t0.5【解答过程】根据题意，可得p=0.5,A=2.228,B=1.3，代入Q=ktP=因为该品牌电池初始荷电状态M=80%所以存放16天后，电容量损失量Q=e故选：C.【变式4-2】（2024·湖南长沙·三模）地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔斯•里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为M=lgA−lgA0，其中M表示某地地震的里氏震级，A表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅，AA．6.3级 B．6.4级 C．7.4级 D．7.6级【解题思路】根据题意，得到M=lg【解答过程】由题意，某地地震波的最大振幅为5000，且这次地震的标准地震振幅为0.002，可得M=lg故选：B.【变式4-3】（2023·陕西咸阳·模拟预测）陕西榆林神木石峁遗址发现于1976，经过数十年的发掘研究，已证实是中国已发现的龙山晚期到夏早期规模最大的城址，出土了大量玉器、陶器、壁画、房屋、城池、人体骨骼等遗迹，2019年科技人员对遗迹中发现的某具人娄骨骼化石进行碳14测定年代，公式为：t=5730lnA0A÷0.693（其中t为样本距今年代，A0为现代活体中碳14放射性丰度，A为测定样本中碳14放射性丰度），已知现代活体中碳14放射性丰度A0=1.2×10−12，该人类骨骼碳14放射性丰度A．3353 B．3997 C．4125 D．4387【解题思路】首先求出A0【解答过程】由题知，A0∴t=5730ln故选：B.【题型5构造分段函数模型】【例5】（2023·上海普陀·模拟预测）某公司按销售额给销售员提成作奖金，每月的基本销售额为20万元，超额中的第一个5万元（含5万元以下），按超额部分的2%提成作奖金；超额中的第二个5万元，按超额部分的4%提成作奖金；……后每增加5万元，其提成比例也增加一个2%(1)销售员某月获得奖金7200元，则他该月的销售额为多少？(2)若某销售员7、8月份的总销售额为60万元，且两月都完成基本销售额，那么他这两个月的总奖金的最大、最小值分别是多少？【解题思路】（1）由题分析出销售员该月的销售超额部分在15万元到20万元之间，设超额部分比15万多x元，列出方程，求解即可；（2）设两个月的总奖金为y，某销售员7月份的销售额为m万元，则销售员8月份的销售额为(60−m)万元，分类讨论m的范围，得出关于m的分段函数，画出图像即可得解．【解答过程】（1）超额第一个5万元可得奖金1000元，超额第二个5万元可得奖金2000元，超额第三个5元可得奖金3000元，超额第四个5万元可得奖金4000元，所以当销售员的销售额超额部分为15万元时，可得奖金3000元，当销售员的销售额超额部分为20万元时，可得奖金7000元，因为销售员某月获得奖金7200元，所以销售员该月的销售超额部分在15万元到20万元之间，设超额部分比15万多x元，提成比例为8%则x⋅8%=7200−6000，可得故他该月的销售额为20+15+1.5=36.5万元．（2）设两个月的总奖金为y，某销售员7月份的销售额为m万元，则销售员8月份的销售额为(60−m)万元，则20≤m≤40，①当20≤m<25时，则35<60−m≤40，y=(m−20)⋅2%+5×2%②当25≤m<30时，则30<60−m≤35，y=5×2%+(m−25)⋅4%③当30≤m<35时，则25<60−m≤30y=5×2%④当35≤m≤40时，则20≤60−m≤25y=5×2%综上所述，y=−0.06m+2.2,20≤m<25

由图可知，当m=30，即7月份销售额为30万元，奖金最低为0.6万元；当m=20或m=40时，即7月份销售额为20或40万元，奖金最高为1万元．【变式5-1】（2023·上海浦东新·三模）某晚报曾刊登过一则生活趣事，某市民唐某乘坐出租车时，在半途中骂骂咧咧要求司机临时停靠，打表计价结账，然后重新计价，继续前行，该市民解释说，根据经验，这样分开支付车费比一次性付费便宜一些，他的这一说法有道理吗？确实，由于出租车运价上调，有些人出行时会估计一下可能的价格，再决定是否乘坐出租车.据了解，2018年上海出租车在5时到23时之间起租价为14元/3千米，超起租里程单价为2.50元/千米，总里程超过15千米（不含15千米）部分按超起租里程单价加50%.此外，相关部门还规定了低速等候费和其他时段的计价办法，以及适合其他车型的计价办法.你乘坐过出租车吗？你会仿效那位市民唐某的做法吗？为什么？(1)根据上述情境你能提出什么数学问题？为了解决你的问题，你能否作出一些合理假设？(2)你能否根据你的假设建立数学模型，并回答你所提出的问题.【解题思路】（1）根据题意可分析出出租车费用为分段函数的模型，故可以提出求解里程计价费用与里程的函数关系问题，并假设只能在路程的中点处停靠一次，再求解此时的函数关式；（2）分别求解不停靠与停靠中点时的费用，再作图分析判断即可.【解答过程】（1）由题意，出租车费用为分段函数的模型，故可提出问题：①上海出租车在5时到23时之间起租价为14元/3千米，超起租里程单价为2.50元/千米，总里程超过15千米（不含15千米）部分按超起租里程单价加50%，求里程计价费用fx与里程x②若只能在路程的中点处停靠一次，分析不停靠与停靠两种计费方式哪种更划算.（2）由（1）中所建立的函数模型：①由题意，当0<x≤3时fx=14；当3<x≤15时fx=14+2.5x−3故fx②若只能在路程的中点处停靠一次，则路费函数gx=2×14,0<x≤6

由图象可得，fx=3.75x−12.25与gx=2.5x+13有交点，联立有故若只能在路程的中点处停靠一次，则当路程不足20.2公里时不停靠更划算，当路程不足20.2公里时停靠更划算.【变式5-2】（2024·江苏南通·二模）某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度y（单位：毫米/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的关系如下：当0≤x≤4时，y=168−x−1；当4<x≤10(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a1≤a≤4个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：2【解题思路】（1）由4y≥4可求出结果；（2）根据题意求出从第一次喷洒起，经x6≤x≤10小时后，其浓度关于x【解答过程】（1）因为一次喷洒4个单位的消毒剂，所以其浓度为f(x)=4y=当0≤x≤4时，648−x−4≥4，解得x≥0，此时当4<x≤10时，20−2x≥4，解得x≤8，此时4<x≤8，所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时．（2）设从第一次喷洒起，经x6≤x≤10其浓度gx因为14−x∈4,8，a∈所以14−x+16a当且仅当14−x=16a14−x，即x=14−4a所以其最小值为8a−a−4，由8a所以a的最小值为24−162【变式5-3】（2024·上海宝山·模拟预测）自2017年起，上海市开展中小河道综合整治，全面推进“人水相依，延续风貌，丰富设施，精彩活动”的整治目标．某科学研究所针对河道整治问题研发了一种生物复合剂．这种生物复合剂入水后每1个单位的活性随时间x（单位：小时）变化的函数为u=−256x+4−x+64，0≤x<4(1)试计算每1个单位生物复合剂入水后产生有效作用的时间；（结果精确到0.1小时）(2)由于环境影响，每1个单位生物复合剂入水后会产生损耗，设损耗剩余量v关于时间x的函数为v=1x+1，0≤x≤12，记u⋅v【解题思路】（1）由f(4)=28求出a，分0≤x<4、4≤x≤12，解不等式f(x)≥3.5可得答案；（2）当0≤x<4时，令t=x+1，u⋅v=65t−61t(t+3)−1，再令m=65t−61，面积u⋅v=652m+15616【解答过程】（1）由于f(4)=28，则a=7当0≤x<4时，f(x)=−256解得0.25≤x<4，当4≤x≤12时，f(x)=7即产生有效作用的时间段为0.25≤x≤11，故产生有效作用的时间为11−0.25=10.75≈10.8小时．（2）当0≤x<4时，令t=x+1，则t∈[1,5)，同时u⋅v=1再令m=65t−61，则m∈[4,264)，面积u⋅v=m由基本不等式，m+15616当且仅当m=15616则u⋅v在[0,4)上的最大值为u⋅v=65当4≤x≤12时，u⋅v=7则此时u⋅v在[4,12]是单调递减的，则最大值在x=4时取到，u⋅v=28综上所述，u⋅v在[0,12]上的最大值为6.5．【题型6函数模型的选择问题】【例6】（2024·上海崇明·二模）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的数据如下表所示：v0104060M0132544007200为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：①M1(v)=140v(1)当0≤v≤80时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式；(2)现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上行驶200km，国道上行驶30km，若高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的关系满足N(v)=2v2 【解题思路】（1）根据函数的单调性排除②，根据定义域排除③即可；（2）根据题意可得高速路上的耗电量f(v)=400(v+100v−5)，再分析f(v)的单调性求得告诉上的耗电量，再根据（1）中求得的M【解答过程】（1）因为函数M2(v)=1000⋅2M2(v)=1000⋅2故M1由M1(10)=1325M1（2）由题意，高速路上的耗电量f(v)=N(v)×任取v1,v2所以函数y=f(v)在区间[80,120]上是增函数，所以ymin=f(80)=30500国道上的耗电量ℎ(v)=所以ℎ(v)min所以当高速路上速度为80km/h，国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh.【变式6-1】（2024·全国·模拟预测）某养殖场随着技术的进步和规模的扩张，肉鸡产量在不断增加．我们收集到2020年前10个月该养殖场上市的肉鸡产量如下：月份（m）12345678910产量（W）1.02072.00002.57822.99743.31393.57893.80414.00004.17364.3294产量W（万只）和月份m之间可能存在以下四种函数关系：①W=b⋅am；②W=b⋅ma；③W=b+logam（Ⅰ）请你从这四个函数模型中去掉一个与表格数据不吻合的函数模型，并说明理由；（Ⅱ）请你从表格数据中选择2月份和8月份，再从第一问剩下的三种模型中任选两个函数模型进行建模，求出这两种函数表达式再分别求出两种模型下4月份的产量，并说明哪个函数模型更好．【解题思路】（1）根据数据判断出函数为增函数，但模型④是减函数，所以判断出该函数模型不符合题意；（2）分别列方程组代入求解即可，然后分别计算W(4)，再与实际比较选择相差最小的.【解答过程】（1）去掉④，函数模型④是减函数，根据所给数据可推断函数W(m)为增函数，所以模型④不符合题意；（2）由题意，点坐标(2,2),(8,4)，①b⋅a2=2b⋅a8=4，得②b⋅2a所以W=2⋅m1③b+loga2=2b+loga8=43−2.9974≈0.0026因为与实际作差比较发现，选①与实际差距最大，选③与实际差距最小，所以如果选①③或者②③时，③模型更好；如果选①②时，②模型更好.【变式6-2】（23-24高一上·浙江湖州·期末）随着电动汽车研发技术的日益成熟，电动汽车的普及率越来越高．某型号电动汽车在封闭路段进行测试，限速80km/h（不含80km/h）．经多次测试得到，该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：v0103070M0132533759275为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：Mv=140v(1)当0≤v<80时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；(2)在本次测试报告中，该电动汽车的最长续航里程为400km．若测试过程为匀速运动，请计算本次测试时的车速为何值时，该电动汽车电池所需的容量（单位：Wh【解题思路】（1）根据题意，得到Mv=1（2）设车速为vkm/h，得到fv【解答过程】（1）解：对于Mv=300log对于Mv故选Mv根据提供的数据，则有140×10当0≤v<80时，Mv（2）解：设车速为vkm/h，所用时间为400v所耗电量fv要使得续航里程最长，则耗电量达到最小，即v=40km/h所以当测试员控制的车速为40km/h该电动汽车的电池所需的最小容量为44000Wh【变式6-3】（23-24高一上·上海·期末）浦东某购物中心开业便吸引了市民纷纷来打卡（观光或消费），某校数学建模社团根据调查发现：该购物中心开业一个月内（以30天计），每天打卡人数Px与第x天近似地满足函数Px=8+kx（万人），k(1)经调查，打卡市民（含观光）的人均消费Cx（元）与第xx（天）101418222630Cx131135139143139135现给出以下三种函数模型：①Cx=ax+b，②Cx=ax−22+b，③(2)确定k的值，并在问题（1）的基础上，求出该购物中心日营业收入fx（1≤x≤30，x（注：日营业收入=日打卡人数Px×人均消费【解题思路】（1）根据表格可知Cx（2）直接根据P8=9即可求出k的值，分22≤x≤30且x为正整数和1≤x≤21【解答过程】（1）解：由表格，可知Cx又由表格可知C10代入Cx=ax−22+b，得所以Cx（2）解：因为第8天的打卡人数为9万人，所有P8=8+k易知fx当22≤x≤30且x为正整数时，fx因为fx为减函数，所以f当1≤x≤21且x为正整数时，f所以fx=8122+x+综上知，该商场在第30天时日营业收入最小，最小为1116万元.一、单选题1．（2024·青海海西·模拟预测）北京时间2020年11月24日4时30分，中国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭，成功将嫦娥五号月球探测器送入地月转移轨道，发射取得圆满成功．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度vkms和燃料的质量Mkg、火箭（除燃料外）的质量mkg的函数关系是v=2000ln1+Mm．按照这个规律，当1000M=8m时，火箭的最大速度为v1；当1000M=4A．8.0km/s B．8.4km/s【解题思路】根据题意，利用给定的函数关系式，分别求得v1,v【解答过程】由火箭的最大速度v和燃料的质量M、火箭的质量m的函数关系是v=2000ln1+Mm，当1000M=8m当1000M=4m时，有Mm=可得v1−v故选：A．2．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）从甲地到乙地的距离约为240km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q（单位：L）与速度v（单位：km/h）（0≤v≤120）的下列数据：v0406080120Q0.0006.6678.12510.00020.000为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（

）A．Q=0.5v+aC．Q=av3+b【解题思路】作出散点图，根据单调性和定义域即可得解.【解答过程】作出散点图，由图可知函数模型满足：第一，定义域为0,120；第二，在定义域单调递增且单位增长率变快；第三，函数图象过原点.A选项：函数Q=0.5B选项：函数Q=av+b的单位增长率恒定不变，故B错误；C选项：Q=avD选项：函数Q=klogav+b故选：C.3．（2024·内蒙古赤峰·一模）在下列四个图形中，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O、P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（

）A． B．C． D．【解题思路】由点P在第二条边上运动时，y的单调性可排除A，由图象的对称性可排除B，由一开始y与x是线性的可排除C，对于D，当图形是正方形时，可以验证它满足题意.【解答过程】对于A，点P在第一条边上时，y=x，但点P在第二条边上运动时，y是随x的增大先减小（减到最小时y即为三角形的第二条边上的高的长度），然后再增大，对比图象可知，A错误；对于B，y与x的函数图形一定不是对称的，B错误；对于C，一开始y与x的关系不是线性的，C错误；对于D，因为函数图象对称，所以D选项应为正方形，不妨设边长为a，点P在第一条边上时（即0≤x≤a时），y=x，点P在第二条边上运动时（即a≤x≤2a时），y=a点P在第三条边上运动时（即2a≤x≤3a时），y=a点P在第四条边上运动时（即3a≤x≤4a时），y=4a−x，单调递减，且已知y与x的图象关于x=2a=l2（其中故选：D.4．（2024·全国·模拟预测）近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大方便．某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每座城市至少要投资40万元．由前期市场调研可知：甲城市收益P(单位：万元)与投入a(单位：万元)满足P=32a−6，乙城市收益Q(单位：万元)与投入A(单位：万元)满足Q=1A．26万元 B．44万元 C．48万元 D．72万元【解题思路】根据题意列出收益的表达式，结合换元法、二次函数的性质进行求解即可.【解答过程】由题意可知：40≤a<12040≤120−a<120设投资这两座城市收益为y，则有y=32a令a=t⇒t∈[210,4该二次函数的对称轴为t=62所以f(t)故选：B.5．（2024·北京通州·二模）某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S（单位：平方米）与时间t（单位：月）的关系式为S=at+1（a>0，且a≠1），图象如图所示．则下列结论正确的个数为（①浮萍每个月增长的面积都相等；②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；③浮萍面积每个月的增长率均为50%；④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是t1，t2，t3A．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】由已知可得出S=2【解答过程】由已知可得a1=2，则对于①，浮萍蔓延1月至2月份增长的面积为23浮萍蔓延2月至3月份增长的面积为24对于②，浮萍蔓延4个月后的面积为25对于③，浮萍蔓延第n至n+1个月的增长率为2n+2−2对于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是t1，t2，则2t1+1=3，2t故选：B.6．（2024·北京怀柔·模拟预测）“绿水青山就是金山银山”的理念已经提出18年，我国城乡深化河道生态环境治理，科学治污.现有某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米，每天的进出水量为k立方米，已知污染源以每天r个单位污染河水，某一时段t（单位：天）河水污染质量指数mt（每立方米河水所含的污染物）满足mt=rk+m0−rkA．1个月 B．3个月 C．半年 D．1年【解题思路】由题意可知，m(t)=m【解答过程】由题意可知，r=0,vk=50则e−150所以t≈90，则要使河水的污染水平下降到初始时的16，需要的时间大约是90故选：B．7．（2023·北京·模拟预测）血药浓度（Plasma

Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中：①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用；②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒；③每向隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用；④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒.其中正确说法的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据图象，结合题意，逐个判断即可．【解答过程】①根据图象可知，首次服用该药物1单位约10分钟后，血液浓度达到最低有效浓度，药物发挥治疗作用，故正确；②根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后血液浓度达到最大值，由图象可知两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒，故正确；③根据图象可知，每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使血药浓度大于最低有效浓度，药物持续发挥治疗作用，故正确；④根据图象可知，首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，会发生药物中毒，故错误．故选：C．8．（2023·江西南昌·二模）为了预防某种病毒，某学校需要通过喷洒药物对教室进行全面消毒．出于对学生身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，学生方可进入教室．已知从喷洒药物开始，教室内部的药物浓度y（毫克/立方米）与时间t（分钟）之间的函数关系为y=0.1t,0≤t≤1012A．7：00 B．6：40 C．6：30 D．6：00【解题思路】函数的图像过点10,1，代入函数的解析式求得未知系数a，解函数不等式即可.【解答过程】根据函数的图像，可得函数的图像过点10,1，由函数图像连续，代入函数的解析式，可得121−a=1所以y=0.1t,0≤t≤10令y≤0.25，可得0.1t≤0.25或12解得0<t≤2.5或t≥30．所以如果7：30学生进入教室，那么开始喷洒药物的时间最迟是7：00．故选：A．二、多选题9．（2024·河南·模拟预测）1889年瑞典的阿伦尼乌斯提出了阿伦尼乌斯公式：k=Ae−EaRT（R和A均为大于0的常数），k为反应速率常数（与反应速率成正比），T为热力学温度（T>0），在同一个化学反应过程中Ea为大于0的定值.已知对于某一化学反应，若热力学温度分别为T1和T2时，反应速率常数分别为k1和kA．若T1>TB．若T1>TC．若T2=3T1D．若T2=3T1【解题思路】利用不等式性质以及指数型函数单调性即可判断AB，由T2【解答过程】由T1>T2，Ea>0所以e−EaRT1>易知k1若T2=3T1，可得故选：AD.10．（2023·全国·模拟预测）小菲在学校选修课中了解了艾宾浩斯遗忘曲线．为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量y与时间x（单位：天）之间的函数关系y=fx=−A．随着时间的增加：小菲的单词记忆保持量降低B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多C．9天后，小菲的单词记忆保持量不低于40%D．26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%【解题思路】根据艾宾浩斯遗忘曲线对选项进行分析，从而确定正确答案.【解答过程】由函数解析式和图象可知fx随着x由图象的减少快慢可知：第一天小菲的单词记忆保持量下降最多，B正确．当1<x≤30时，fx则f9即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故C错误．f26故选：AB.11．（2024·全国·模拟预测）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32ppm．由检验知该地下车库一氧化碳浓度y（单位：ppm）与排气时间t（单位：分钟）之间满足函数关系y=aeRt（a,R为常数，e是自然对数的底数）．若空气中一氧化碳浓度不高于A．a=128B．R=C．排气12分钟后浓度为16D．排气32分钟后，人可以安全进入车库【解题思路】由题意列式，求出a=128,R=−14ln【解答过程】设f(t)=a⋅eRt，代入(4,64),(8,32)，得解得a=128,R=−1此时f(t)=128eRt当f(t)≤0.5时，即27−t4≤0.5=2所以排气32分钟后，人可以安全进入车库，D正确．故选:ACD．三、填空题12．（2024·广东广州·模拟预测）“阿托秒”是一种时间的国际单位，“阿托秒”等于10−18秒，原子核内部作用过程的持续时间可用“阿托秒”表示.《庄子･天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如果把“一尺之棰”的长度看成1米，按照此法，至少需要经过31天才能使剩下“棰”的长度小于光在2“阿托秒”内走过的距离.（参考数据：光速为3×108【解题思路】依题意可得尺子经过n天后，剩余的长度fn【解答过程】依题意，光在2“阿托秒”内走的距离为2×10经过n天后，剩余的长度fn=12n两边同时取对数，得n>log而n∈N*，则故答案为：31.13．（2024·上海长宁·二模）甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表：甲乙丙接单量t（单）783182258338油费s（元）107150110264110376平均每单里程k（公里）151515平均每公里油费a（元）0.70.70.7出租车空驶率=出租车没有载客行驶的里程出租车行驶的总里程；依据以上数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型u=fs,t,k,a，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为23.26%、21.68%、x【解题思路】根据题意得到出租车空驶率的模型，检验甲、乙两辆出租车的空驶率，满足题意，从而利用该模型求得丙的空驶率，从而得解.【解答过程】依题意，因为出租车行驶的总里程为sa，出租车有载客时行驶的里程为tk所以出租车空驶率u=s对于甲，1−7831×15×0.7对于乙，1−8225×15×0.7所以上述模型满足要求，则丙的空驶率为x%=1−8338×15×0.7故答案为：20.68.14．（2024·北京·模拟预测）农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：

根据上表所提供信息，第5号区域的总产量最大．【解题思路】分别求出种植密度函数和单株产量函数的解析式，再求总产量的函数解析式，由此确定其最大值及取最大值的条件即可.【解答过程】设区域代号为x，种植密度为y1，单株产量为y2，则由图象可得种植密度y1是区域代号x故设y1=kx+b，由已知函数y1=kx+b的图象经过点1,2.4,所以2.4=k+b4.5=8k+b，解得k=0.3所以y1由图象可得单株产量y2是区域代号x故可设y2=mx+n，观察图象可得当x=1时，y2=1.28，当x=8时，所以1.28=m+n0.72=8m+n，解得m=−0.08所以y2所以总产量mx=当x=5时，函数mx有最大值，即5号区域总产量最大，最大值为3.456故答案为：5.四、解答题15．（2024·贵州六盘水·模拟预测）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.水城春茶因富含有机茶硒和十余种人体必需的微量元素而享誉贵州省内外.经验表明，水城春茶用85°C的水泡制，再等到茶水温度降至60°C时，饮用口感最佳.为方便控制水温，某研究小组采用了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体的初始温度是θ1°C，室温是θ0°C，则经过时间t（单位：分钟）后物体的温度θ（单位：°C从98°C降至85°3.4分钟从98°C降至80°5.0分钟(1)从上表中选取一组数据求出k的值（精确到0.01），并根据上述冷却模型写出冷却时间t关于冷却后水温θ的函数解析式；(2)在（1）的条件下，现用200mL水在19°C（参考数据：ln79≈4.369，ln66≈4.190，ln61≈4.111【解题思路】（1）根据所选择数据代入解析式，利用对数运算公式和参考数据可得；（2）将θ=60代入（1）中解析式计算可得.【解答过程】（1）由题可知θ1=98，若取第一组数据，则有85=19+79e−3.4k，得此时解析式为θ=19+79e若取第二组数据，则有80=19+79e−5k，解得此时解析式为θ=19+79e综上，所求解析式为θ=19+79（2）由（1）知，θ=19+79e令θ=60，则19+79e−0.05t=60所以，从泡制到获得最佳饮用口感约需要13.1分钟.16．（2023·上海杨浦·一模）企业经营一款节能环保产品，其成本由研发成本与生产成本两部分构成．生产成本固定为每台130元．根据市场调研，若该产品产量为x万台时，每万台产品的销售收入为I（x）万元．两者满足关系：I(1)甲企业独家经营，其研发成本为60万元．求甲企业能获得利润的最大值；(2)乙企业见有利可图，也经营该产品，其研发成本为40万元．问：乙企业产量多少万台时获得的利润最大；（假定甲企业按照原先最大利润生产，并未因乙的加入而改变）(3)由于乙企业参与，甲企业将不能得到预期的最大收益、因此会作相应调整，之后乙企业也会随之作出调整，最终双方达到动态平衡（在对方当前产量不变的情况下，已方达到利润最大）求动态平衡时，两企业各自的产量和利润分别是多少．【解题思路】根据利润等于销售收入减去成本即可得到函数关系式，用二次函数求最值的方法即可得到.【解答过程】（1）设利润为PP=−当x=45时P所以，产量为45万台时，甲企业获利最大为1965万元．（2）设乙企业产量为x万台，此时甲依旧按照45万台产量生产对于乙企业，每万台产品的销售收入为IP=−3所以乙企业产量为22.5万台，获得利润最大．（3）假设达到动态平衡时，甲企业产量a万台，乙企业产量b万台．甲企业：P=−a2+90−b乙企业P=−b2+90−a联立，解得a=b=30时达到动态平衡．此时利润分别为：甲企业840万元，乙企业860万元．17．（2024·浙江金华·模拟预测）太阳能板供电是节约能源的体现，其中包含电池板和蓄电池两个重要组件，太阳能板通过电池板将太阳能转换为电能，再将电能储存于蓄电池中．已知在一定条件下，入射光功率密度ρ=E2S（E为入射光能量且E>0,S为入射光入射有效面积），电池板转换效率η(0≤η≤100%)(1)若k=2,S=1.5平方米，求蓄电池电能储存量Q与E的关系式；(2)现有铅酸蓄电池和锂离子蓄电池两种蓄电池可供选择，且铅酸蓄电池的放电量I=Q+E−1，锂离子蓄电池的放电量I=Q+E注：①蓄电池电能储存量Q=η⋅E；②当S，k，Q一定时，蓄电池的放电量越大，太阳能板供电效果越好．【解题思路】（1）利用题目所给公式及数据计算即可得；（2）用S，k，Q表示出两种蓄电池的放电量后作差比大小即可得.【解答过程】（1）Q=η⋅E=k若k=2,S=1.5平方米，则Q=2×1.5（2）由Q=kSE，即铅酸蓄电池的放电量为：I1锂离子蓄电池的放电量为：I2则I=Q令Q1+kS−kS即Q∈k2S当Q∈0,k2当Q=k2S18．（2023·上海嘉定·一模）李先生属于一年工作250天的上班族，计划购置一辆新车用以通勤.大致推断每天早八点从家出发，晚上六点回家，往返总距离为40公里.考虑从A、B两款车型中选择其一，A款车是燃油车，B款车是电动车，售价