2024-2025学年高中数学第四章复数4.1.1定积分的背景-面积和路程问题课时素养评价含解析北师大版选修2-2

PAGE课时素养评价十七定积分的背景——面积和路程问题(20分钟·50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.把区间[2，6]n等分，所得n个小区间的长度均为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.区间[2，6]的长度为4，n等分后每个小区间的长度均为QUOTE.2.当n的值很大时，函数f(x)=x2在区间QUOTE上的值可以用下列函数值近似代替的是()A.fQUOTE B.fQUOTE C.fQUOTE D.f(0)【解析】选C.区间QUOTE上的随意一个函数值都可近似代替这个区间对应的函数值.3.对于汽车以v=v(t)在[0，t]内做直线运动经过的路程s，下列叙述正确的是()A.将[0，t]n等分，若以每个小区间左端点的速度近似替代时，求得的值是s的不足估计值B.将[0，t]n等分，若以每个小区间右端点的速度近似替代时，求得的值是s的不足估计值C.将[0，t]n等分，n越大，求出的值近似替代s的精确度越高D.将[0，t]n等分，当n越大时，求出的值就是s的精确值【解析】选C.每个小区间左端点的速度不肯定是该区间上速度的最小值，右端点的速度也不肯定是该区间上速度的最大值，n越大，所得估计值近似替代精确值的精确度越高.4.已知自由落体运动的速度v=gt，则估计在时间区间[0，6]内，将时间区间10等分时，物体下落的距离的估计值可以为()A.14g B.15g C.16g D.17g【解析】选D.由其过剩估计值与不足估计值分别为19.8g、16.2g，则估计值应在[16.2g，19.8g]内.二、填空题(每小题5分，共10分)5.由曲线y=QUOTE与直线x=1，x=2及x轴所围成的曲边梯形的面积的过剩估计值为_________(把区间[1，2]5等分).

【解析】把区间[1，2]5等分，以每个小区间的左端点的函数值为小矩形的高，则过剩估计值为0.2×QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE6.已知弹簧拉长0.02m，须要98N的力，则估计把弹簧拉长到0.1m时所做的功的不足估计值为_________，估计误差不超过_________.(【解析】设拉弹簧所需的力F与弹簧拉长长度x之间的关系式为F=kx，因为98=k×0.02，所以k=4900(N/m)，所以F=4900x(N)，把弹簧拉长长度的范围[0，0.1]10等分，以每一小范围的左、右端点的力为小矩形的高，得到功的不足估计值s1和过剩估计值S1如下：s1=4900×(0+0.01+0.02+0.03+0.04+0.05+0.06+0.07+0.08+0.09)×0.01=22.05(J)，S1=4900×(0.01+0.02+0.03+0.04+0.05+0.06+0.07+0.08+0.09+0.1)×0.01=26.95(J)，估计误差不会超过S1-s1=4.9(J).答案：22.05J4.9J三、解答题(每小题10分，共20分)7.物体在力F的作用下从静止起先运动，力F的大小与位移s(m)的关系是：F(s)=3s+1，试估计物体运动5m的过程中力F所做的功，并写出估计值的误差.(将区间5【解析】将[0，5]5等分，即插入4个分点，则将整个功分成5个小位移段内的功，若用F(1)，F(2)，F(3)，F(4)，F(5)分别近似替代F引起的物体在0～1m，1～2m，2～3m，3～4m，4～5m段内运动时所受的力的平均大小.则得出功的过剩估计值为W1=[(3×1+1)+(3×2+1)+(3×3+1)+(3×4+1)+(3×5+1)]×1=50(J).若用F(0)，F(1)，F(2)，F(3)，F(4)分别近似替代F引起的物体在0～1m，1～2m，2～3m，3～4m，4～5m段内运动时所受的力的平均大小，则得出功的不足估计值为W2=[(3×0+1)+(3×1+1)+(3×2+1)+(3×3+1)+(3×4+1)]×1=35(J).无论是过剩估计值还是不足估计值，误差都不超过15J.8.有一辆汽车在笔直的马路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)=3t2+2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？【解析】在时间区间[0，2]上等间隔地插入n-1个分点，将它分成n个小区间，记第i个小区间为QUOTE(i=1，2，…，n)，其长度为Δt=QUOTE-QUOTE=QUOTE.每个时间段上行驶的路程记为Δsi(i=1，2，…，n)，则明显有s=QUOTEΔsi，取ξi=QUOTE(i=1，2，…，n).于是Δsi≈vQUOTE·Δt=QUOTE·QUOTE，sn=QUOTEΔsi=QUOTE·QUOTE+4=8QUOTE+4.从而得到s的近似值：s≈sn.s=QUOTEsn=QUOTE=8+4=12.所以这段时间内行驶的路程为12km.(15分钟·30分)1.(5分)在求由直线x=a，x=b(a<b)及曲线y=f(x)(f(x)≥0)围成的曲边梯形的面积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入(n-1)个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形的过程中，下列说法正确的是()A.n个小曲边梯形的面积和等于SB.n个小曲边梯形的面积和小于SC.n个小曲边梯形的面积和大于SD.n个小曲边梯形的面积与S之间的大小关系无法确定【解析】选A.由题意可知A正确.2.(5分)已知甲、乙两车由同一起点同时动身，并沿同一路途(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示).那么对于图中给定的t0和t1，下列推断中肯定正确的是()A.在t1时刻，甲车在乙车前面B.t1时刻后，甲车在乙车后面C.在t0时刻，两车的位置相同D.t0时刻后，乙车在甲车前面【解析】选A.由图可知，曲线v甲，直线t=t0和t轴所围成图形的面积大于曲线v乙，直线t=t0和t轴所围成图形的面积，则在t0时刻，甲车在乙车前面，故C，D错误；同理，在t1时刻，甲车在乙车前面，故A正确；t1时刻后，甲车会领先乙车一小段时间，但从两曲线的趋势可知某时刻乙车会超过甲车，故B错误.3.(5分)汽车以10米/秒的速度行驶，在某处须要减速停车，-2米/秒2刹车，若把刹车时间5等分，则从起先刹车到停车，汽车刹车距离的过剩估计值为_________【解析】由题意知v(t)=v0+at=10-2t，令v(t)=0得t=5，即t=5时，汽车将停车.将区间[0，5]5等分，用每个小区间的左端点的函数值近似代替每个小区间上的平均速度，可得汽车刹车距离的过剩估计值为S=[10+(10-2×1)+(10-2×2)+(10-2×3)+(10-2×4)]×1=30(米).答案：30米4.(5分)已知某物体运动的速度为v=t，t∈[0，10]，若把区间10等分，则物体运动路程的过剩估计值为_________.

【解析】取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，因为把区间[0，10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n=1，2，…，10)，每个小区间的长度为1.所以物体运动路程的过剩估计值为S=1×(1+2+…+10)=55.答案：555.(10分)求由曲线f(x)=2x，直线x=1，直线x=0及x轴所围成的平面图形的面积S时，将区间5等分，求过剩估计值.【解析】(1)分割：将区间[0，1]5等分，即插入4个分点，在每个分点处作与y轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成5个小曲边梯形.(2)近似替代：用f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)，f(1)分别表示这5个小曲边梯形的高，分别得到每个小曲边梯形的面积f(0.2)·0.2，f(0.4)·0.2，f(0.6)·0.2，f(0.8)·0.2，f(1)·0.2.(3)求和：由上述方法得曲边梯形面积的过剩估计值为S1=(20.2+20.4+20.6+20.8+21)×0.2≈1.55.1.一辆汽车的司机猛踩刹车，汽车滑行5s后停下，在这一过程中，汽车的速度v(单位：m/s)是时间t的函数：v(t)=t2-10t+25(0≤t≤5).将滑行时间5s平均分成5份，汽车在刹车过程中滑行距离的过剩估计值为_________，不足估计值为_________.

【解析】分别用v(0)，v(1)，v(2)，v(3)，v(4)近似替代汽车在0～1s，1～2s，2～3s，3～4s，4～5s内的平均速度，求出滑行距离s1：s1=[v(0)+v(1)+v(2)+v(3)+v(4)]×1=55(m)，由于v是下降的，所以明显s1大于s，我们称它为汽车在5s内滑行距离的过剩估计值.假如用v(1)，v(2)，v(3)，v(4)，v(5)分别近似替代汽车在0～1s，1～2s，2～3s，3～4s，4～5s内的平均速度，求出汽车在5s内滑行距离的不足估计值s′1：s′1=[v(1)+v(2)+v(3)+v(4)+v(5)]×1=30(m).答案：55m30m2.一辆汽车的速度-时间图像如图所示，求此汽车在这1min内行驶的路程.【解题指南】依据变速运动物体路程的估计方法，本题所求的路程应为图像与x轴围