高中数学论文：浅谈分类讨论思想及其应用

浅谈分类讨论思想及其应用【摘要】：分类讨论思想方法是研究与解决数学问题的重要思想之一,在中学数学应用中十分广泛,本文从分类讨论的原则、分类讨论的步骤及应用环境出发,辅以一定例题,着重分析讨论了分类讨论思想在中学数学中应用的一般原则、方法、技巧及应用环境.【关键词】：分类讨论分类讨论思想分类讨论原则分类讨论步骤分类讨论思想的概念由于数学研究对象的属性不同,影响了研究问题的结果,从而对不同属性的对象进行研究的思想；或者由于在研究问题过程中出现了不同情况,从而对不同情况进行分类研究的思想,我们称之为分类讨论思想,其实质是一种逻辑划分的思想.从思维策略上看,它是把要解决的数学问题,分解成可能的各个部分,从而使复杂问题简单化,使“大”问题转化为“小”问题,便于求解.通过正确的分类可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答,做到正确的分类,必须遵循一定的原则,以保证分类科学、统一,不重复、不遗漏,并力求最简.分类讨论的原则从某种意义上讲,分类讨论是不得已而为之的事情,通过协调、缓和“矛盾”,达到运用知识合理解决问题的思想方法.那如何进行分类讨论呢？分类讨论必须要遵循一定的原则,才能使分类科学、严谨,从而正确、合理地解题,分类讨论原则有同一性原则、互斥性原则、层次性原则.1.同一性原则同一性原则简言之即“不遗漏”,可以通过集合的思想来解释,如果把研究对象看作全集I,是I的子集,并以此分类,且A1∪A2∪…An=I,则称这种分类（A1,A2…An）符合同一性原则.比如,我们若把实数R分成正实数R+与负实数R﹣,那这种分类不符合同一性原则,因为R=R+∪R﹣∪﹛0﹜,则这种分类方法遗漏了零.在下面的例子中来讨论同一性原则的应用：例1：已知直线l:，求它的斜率及斜率的取值范围、倾斜角的取值范围.分析：直线l的方程中y的系数是，而的值域是，值可取零，但=0时斜率不存在，故视为研究对象I，，，A1,A2都是I的子集，且A1∪A2=I,满足同一性原则,作如下分类讨论：(1)当=0,即θ=kπ（kZ）,直线l的斜率不存在,倾斜角α=(2)当≠0,即θ≠kπ（kZ）,直线l的斜率k=,并且由-1≦≦0,0≦≦1,得出﹣1≧＞﹣∞,﹢∞＞≧1,k的取值范围为直线倾斜角α取值范围为例2：已知集合A=xx2－ax+4=0,xR,aR,B=xx3－5x2+2x+8=0,bR,若A,求a的取值范围.分析：由于xx3－5x2+2x+8=0,bR=x(x+1)(x－2)(x－4)=0=﹣1,2,4,且A,则集合A可能是空集、单元素集合和两个元素集合,而集合A的元素是一个一元二次方程的解集,即一元二次方程可能是无解、两个相等的解或两个不相等的实根,因此要分三类讨论,求出a的取值范围,此题研究对象是一元二次方程x2－ax+4=0的根的判别式△,分成大于零,小于零和等于零这三种情况,这种分类符合同一性原则,没有遗漏任一情况.当△=a2－16＜0,即﹣4＜a＜4时,因为A=ø,满足A,所以a当△=0,即a=±4时,由A得a=4当△＞0,即a＞4或a＜﹣4时,A综上可得,当a时,A2.互斥性原则由同一性原则可以看出,在分类讨论时,同一性仅仅考虑了“不遗漏”,但是对于全集I来说,A1,A2…An在满足A1∪A2∪…∪An=I的前提下,并不能保证Ai∩Aj=ø（i,jn,ij）,即在分类讨论中不能避免重复讨论,使讨论复杂,互斥性原则则解决了这一问题,即对于研究对象I,Ai(i=1…n)是I子集,且作为分类的标准,若Ai∩Aj=ø（i,jn,ij）,则称这种分类符合互斥性原则,互斥性原则的重要性在下面例子中可以很明显地显露出来.例3：某车间有10名工人,其中4人仅会车工,3人仅会钳工,另外三人车工、钳工都会,现需选出6人完成一件工作需要车工、钳工各3人,问有多少种选派方案？分析：如果先考虑钳工,因为6人会钳工,故有种选法,但这时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的,因此也不清楚余下的7人中有多少人会车工,因此在选车工时,就无法确定是从7人中选,还是从6人、5人、4人中选,同样,如果先考虑车工也会遇到同样的问题,因此需对全能工人进行分类,因为有3人是全能的,故有四种不同的情况可能出现,具体如下：选出的6人中不含全能工人；选出的6人中含一名全能工人；选出的6人中含二名全能工人；选出的6人中含三名全能工人；故有注意：选出的全能工人,既会车工,又会钳工,这两种情况也需分开来进行讨论,这种分类方法避免了重复出现的机会,不遗漏任一情况,一般地,互斥性原则在排列组合中应用十分广泛.3.层次性原则如果在解决某一问题时,需要分类讨论,当确定了某一标准进行分类讨论后,问题并没有得到解决,还需要继续进行分类讨论,这时,我们称之为两个不同层次的讨论,这就是分类讨论的层次性,而分类讨论的层次性原则是指分类讨论必须按同一标准的层次进行,不同标准的不同层次的讨论不能混淆,层次性原则实质上就是要求有层次的分类讨论不错位.例4：解关于x的不等式：ax2-(a+1)x+1＜0aR分析：这是一个含参数a的不等式,它不一定是二次不等式,故首先应对二次项系数a进行分类,a=0和a≠0.当a≠0时,不等式是一元二次不等式,不等式的解集可能是两根之外,也可能处于两根之间,故又须分a＞0和a＜0两种,确定了这一层后,又会出现1与的大小问题,又需将a与1之间进行分类,分三层讨论,具体过程如下：（1）当a=0时,原不等式化为（2）当a≠0时,原不等式化为a(x－1)(x－)＜0i.若a＜0,则化为(x－1)(x－)＞0x＞1或x＜ii.若a＞0,则化为(x－1)(x－)＜0a).a＞1时,＜1＜x＜1b).a=1时,=1解是空集c).0＜a＜1时,＞11＜x＜由上看出,分类讨论三原则,同一性、互斥性、层次性中,同一性要求分类不遗漏,互斥性则使分类不重复,二者是分类划分的基本原则,而层次性是在解决某些问题时,按同一标准一次分类,尚不能完全达到目的,而要求再次分类时必须掌握的原则,层次性是在同一性、互斥性的基础上的分类原则.分类讨论的步骤同一性、互斥性、层次性三原则仅仅保证合理分类,是分类讨论中的核心步骤,解题中,分类讨论一般分为四步：确定讨论的对象以及讨论对象的取值范围；正确选择分类标准,合理分类；逐类、逐段分类讨论；归纳并做出结论.下面从一个具体的例子出发来分析分类讨论的四个步骤.例5：设kR,问方程(8－k)x2+(k－4)y2=(8－k)(k－4)表示什么曲线？分析：第一步,确定讨论对象及其范围.因为方程系数中含有参数k,所以将k视为研究对象,k的取值范围是全体实数R.第二步,选择正确分类标准,合理分类.当k≠4且k≠8时,方程可变形为,(k－4)与(8－k)的正负会引起曲线有不同的类型,故“4”和“8”是一个分界点,而k－4=8－k与k－4＞0,8－k＞0,但k－4≠8－k所表示的曲线也是不一样的,因此,“6”也是一个分界点,所以对k进行正确的分类应为：(﹣∞,4)，4，(4,6)，6，(6,8)，8，(8,﹢∞)第三步,逐类、逐段分类讨论(1)k=4时,方程变为4x2=0,即x=0表示直线(2)k=8时,方程变为4y2=0,即y=0表示直线(3)k≠4且k≠8时,原方程化为i.当k＜4时表示双曲线ii.当4＜k＜6时表示椭圆iii.当k=6时表示圆iv.当6＜k＜8时表示椭圆v.当k＞8时表示双曲线第四步,归纳并做出结论当k＜4或k＞8时,方程表示双曲线当4＜k＜6或6＜k＜8,方程表示椭圆当k=4或k=8时,方程表示直线当k=6时,方程表示圆通过上例分析,我们可以看出,分类讨论第一要明确为什么要分类讨论,第二要形成分类讨论的意识,第二要学会如何合理分类并正确进行讨论,第四要掌握分类讨论的严密性和表达的正确性.引起分类讨论的七种环境并非所有的数学问题都需要进行分类讨论,但若涉及到以下七种情况,常常需要进行分类讨论使问题简单化.概念分段定义例6：求函数的值域.分析：这个问题出现绝对值,而绝对值是分段定义的概念,因此需要根据实数绝对值定义分类讨论,而此题涉及到三角函数值的正负,即将x分为四个象限：当x在第一象限时,y=4；当x在第二象限时,y=﹣2；当x在第三象限时,y=0；当x在第四象限时,y=﹣2；所以值域是像绝对值这样分段定义的概念,在中学数学中还有直线的斜率、复数的辐角主值等,当这些概念出现时,一般要进行分类讨论.公式分段表达在解决数学问题时,常常要用到数学公式,若该公式是分段表达的,那么在应用到这些公式时,需分类讨论,常见的分段表达的公式有：(1)a,bR+(当且仅当a=b时等号成立)；a,bR﹣(当且仅当a=b时等号成立)；na1q=1(2)等比数列前n项和Sn=q≠1(3)实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式;(4)一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的解：当Δ＜0时,x;当Δ=0时,且x;当Δ＞0时,x＞,x＜；(5)三角函数中的半角公式等.实施某些运算引起分类讨论在解决数学问题时,不论是化简、求值还是论证,常常要进行运算,若在不同条件下实施这些运算时会得到不同结果时,会引起分类讨论.例7：解关于x的不等式：．㏒a(2x)＞．㏒a(x+1)(其中,n常数a＞0且a≠1)分析：由于不等式两边都有相同的因式,我们在不等式两边同除以这个式子,而当n为奇数时,其为正,当n为偶数时其为负,从而影响了不等式中不等号的方向,因此须对n进行分类讨论：当n为奇数时,因为＞0,所以㏒a(2x)＞㏒a(x+1).又2x＞0因为a＞0且a≠1,所以当a＞1时,x+1＞0＞12x＞x+12x＞0当1＞a＞0时,x+1＞00＜x＜12x＜x+1当n为偶数时,因为＜0,所以㏒a(2x)＜㏒a(x+1).又因为2x＞0a＞0且a≠1,所以当a＞1时,x+1＞00＜x＜12x＜x+12x＞0当1＞a＞0时,x+1＞0＞12x＞x+1图形位置不确定如果图形的位置不确定,常常会引起分类讨论,因此,如果图形可能处于不同位置并且影响问题的结果时,首先要有分类讨论的意识,其次要全面考察,分析各种可能的位置关系,然后合理分类讨论,防止漏解.例8：已知圆A：x2+(y－2)2=1,动圆P与圆A相切并且x轴相切,求圆P的圆心P的轨迹方程,并指明表示何种曲线？分析：由于动圆P与定圆A相切,因此它们之间位置不确定：可能外切,可能内切,引起分类讨论：如图a,当圆P与圆A外切且切于点B时,作PC⊥x轴,因为圆P与x轴相切,令P(y＞0),则所以y=如图b,当圆P与圆A内切且切于点B时,作PC⊥x轴所以所以y=综合(1)(2)得,点P的轨迹为拋物线x2=6y－3及x2=2y－3图形的形状不同当图形的形状不确定时,要对各种可能出现的形状进行分析讨论.例9：求圆锥曲线的焦距(其中m≠0,m≠1)分析：因为方程根据m的正负,形状不一样,所以需对m进行讨论.当m＜0时,方程表示双曲线：,a2=m2,b2=﹣m,所以,焦距为2(2)当m＞0且m≠1时,方程表示椭圆,若,则因为m2＜m,所以a2=m,b2=m2,所以焦距为2；若m,则因为m2＞m,所以a2=m2,b2=m,所以,焦距为2字母系数参与引起分类讨论字母系数的出现,常常会使问题出现多种不同情况影响了问题结果,从而引起分类讨论.例10：函数的最大值是6,最小值是﹣2,求a,b的值.分析：因为函数表达式中出现字母,所以分类讨论,而函数可变形为,即要对a进行分类.当a＞0时,,当a＜0时,,条件不唯一引起分类讨论由于条件不唯一,可能引起方程类型不确定,曲线种类不确定,位置关系不确定,形状不确定等出现,需要对不同情况合理分类,正确讨论.例11：求一元二次方程在区间内有两个不相等的实根的充分必要条件.分析：设二次函数,由于a可正、可负,因此它的图像开口可能向上,可能向下,需对a分类讨论.当a＞0时,函数图像是开口向上的拋物线(如图c),它与x轴的两个交点在(,0)与(,0)之间的充要条件是：＞0yf(x1)＞0f(x2)＞0x2＞＞x1 o x a＞0