人教版九年级下册数学第二十七章测试卷及答案

人教版九年级下册数学第二十七章测试题一、单选题1．如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于点D，E，若，则下列说法不正确的是()A． B． C． D．2．在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（）A． B． C． D．3．如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为()A．60mm B．mm C．20mm D．mm4．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，D是△ABC内部或BC边上的一个动点(与B、C不重合)，以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC(相似比k＞1)，EF∥BC．两三角形重叠部分是四边形AGDH，当四边形AGDH的面积最大时，最大值是多少？()A．12 B．11.52 C．13 D．85．已知线段AB的长为4，点P是线段AB的黄金分割点(AP＞BP)，则PA的长为()A．2﹣2 B．6﹣2√5 C． D．4﹣26．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，DE∥BC，DF∥AC，若△ADE与四边形DBCE的面积相等，则△DBF与△ADE的面积之比为()A． B． C． D．3-27．如图，正方形OABC的边长为8，点P在AB上，CP交OB于点Q．若S△BPQ＝，则OQ长为()A．6 B．6 C． D．8．在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，下列说法错误的是（）A．如果∠BAC＝90°，AB2＝BD•BC，那么AD⊥BCB．如果AD⊥BC，AD2＝BD•CD，那么∠BAC＝90°C．如果AD⊥BC，AB2＝BD•BC，那么∠BAC＝90°D．如果∠BAC＝90°，AD2＝BD•CD，那么AD⊥BC9．如图，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB两个内角平分线的交点，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F，已知△ABC的周长为8，BC＝x，△AEF的周长为y，则表示y与x的函数图象大致是（）A．B．C．D．10．如图，已知△ABO与△DCO位似，且△ABO与△DCO的面积之比为1：4，点B的坐标为(﹣3，2)，则点C的坐标为()A．(3，﹣2) B．(6，﹣4) C．(4，﹣6) D．(6，4)11．在比例尺是1：8000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25cm，它的实际长度约为A．320cm B．320m C．2000cm D．2000m12．△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，若△DEF的面积是2，则△ABC的面积是(

)A．2 B．4 C．6 D．8二、填空题13．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点（DE不平行BC），若使△ADE与△ABC相似，则需要添加_____即可（只需添加一个条件）．14．如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在边BC上，且BD＝4，CD＝2，那么AF＝_____．15．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，则FC的长为_____．16．若，则＝_____．17．如图，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，连结EC、BD交于点F，若AE：ED＝5：4记△DFE的面积为S1，△BCF的面积为S2，△DCF的面积为S3，则DF：BF＝_____，S1：S2：S3＝_____．18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC∥EF，EF分别与AB，AC，CD相交于点E，M，F，若EM：BC＝2：5，则FC：CD的值是_____．19．如图，已知△ABC，AB=6，AC=5，D是边AB的中点，E是边AC上一点，∠ADE=∠C，∠BAC的平分线分别交DE、BC于点F、G，那么的值为__________．三、解答题20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，DE⊥AC，垂足为点E．(1)求证：DE•CD＝AD•CE；(2)设F为DE的中点，连接AF、BE，求证：AF•BC＝AD•BE．21．如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，联结EF、ED、DF，DE交AF于点G，且AE2＝EG•ED．(1)求证：DE⊥EF；(2)求证：BC2＝2DF•BF．22．如图，在中，、分别是边、上的点，，点在线段上，过点作、分别交于点、，如果．求的值．23．如图，△ABC的面积为12，BC与BC边上的高AD之比为3：2，矩形EFGH的边EF在BC上，点H，G分别在边AB、AC上，且HG＝2GF．(1)求AD的长；(2)求矩形EFGH的面积．24．如图，四边形ABGH，四边形BCFG，四边形CDEF都是正方形．请在图中找出与△HBC相似的三角形，并说明它们相似的理由．25．如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，且AD＝AB，AE⊥BC，垂足为点E．过点D作DF∥AB，交边AC于点F，连接EF，EF2＝BD•EC．(1)求证：△EDF∽△EFC；(2)如果，求证：AB＝BD．参考答案1．C【分析】根据题意可以得到△ADE∽△ABC，然后根据题目中的条件即可推出选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，=，==，=（）2=，∴=，故A、B、D选项正确，C选项错误，故选C．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用相似三角形的性质解答问题．2．A【详解】试题分析：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴ED∥BC，BC=AD，∴△DEF∽△BCF，∴，设ED=k，则AE=2k，BC=3k，∴==，故选A．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．3．A【分析】利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．【详解】如图，设AD交PN于点K，∵PM：PQ=3：2，∴可以假设MP=3k，PQ=2k，∵四边形PQNM是矩形，∴PM∥BC，∴△APM∽△ABC，∵AD⊥BC，BC∥PM，∴AD⊥PN，∴，∴，解得k=20mm，∴PM=3k=60mm，故选A．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．4．A【分析】先判断面积最大时点D的位置，由△BGD∽△BAC，找出AH=8-GA，得到S矩形AGDH=-AG2+8AG，确定极值，AG=3时，面积最大，于是得到结论．【详解】∵AB2+AC2=100=BC2，∴∠BAC=90°，∵△DEF∽△ABC，∴∠EDF=∠BAC=90°，如图1延长ED交BC于M，延长FD交BC于N，∵△DEF∽△ABC，∴∠B=∠E，∵EF∥BC，∴∠E=∠EMC，∴∠B=∠EMC，∴AB∥DE，同理：DF∥AC，∴四边形AGDH为平行四边形，∵∠EDF=90°，∴四边形AGDH为矩形，∵GA⊥AC，∴四边形AGDH为正方形，当点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，如图2，点D在内部时（N在△ABC内部或BC边上），延长GD至N，过N作NM⊥AC于M，∴矩形GNMA面积大于矩形AGDH，∴点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，只有点D在BC边上时，面积才有可能最大，如图3，点D在BC上，∵△DEF∽△ABC，∴∠F=∠C，∵EF∥BC．∴∠F=∠BDG，∴∠BDG=∠C，∴DG∥AC，∴△BGD∽△BAC，∴，∴，∴，∴AH=8-GA，S矩形AGDH=AG×AH=AG×（8-AG）=-AG2+8AG，当AG=-=3时，S矩形AGDH最大，S矩形AGDH最大=12．故选A．【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形，矩形，极值的确定，勾股定理的逆定理，解本题的关键是作出辅助线，5．A【分析】利用黄金分割的定义得到PA=AB，然后把AB=4代入计算即可．【详解】∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），∴PA=AB=×4=2-2．故选A．【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．6．D【分析】根据矩形的性质得到DE=CF，根据相似三角形的性质得到=（）2=，求得=，设DE=k，BC=2k，得到BF=2k-k，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DFCE是平行四边形，∴DE=CF，∵△ADE与四边形DBCE的面积相等，∴=，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=，∴=，设DE=k，BC=2k，∴BF=2k-k，∵DF∥AC，∴△BDF∽△BAC，∴△DBF∽△ADE，∴=（）2==,故选D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．7．B【分析】根据正方形的性质得到AB∥OC，推出△PBQ∽△COQ，根据相似三角形的性质得到OC=3PB，求得PB=，于是得到结论．【详解】∵四边形ABCO是正方形，∴AB∥OC，∴△PBQ∽△COQ，∴=（）2=，∴OC=3PB，∵OC=8，∴PB=，∵==，BO=8，∴OQ=×8=6，故选B．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．D【分析】根据相似三角形的判定定理证明相应的三角形相似，根据相似三角形的性质判断即可．【详解】如图：A、∵AB2=BD•BC，∴，又∠B=∠B，∴△BAD∽△BCA，∴∠BDA=∠BAC=90°，即AD⊥BC，故A选项说法正确，不符合题意；B、∵AD2=BD•CD，∴，又∠ADC=∠BDA=90°，∴△ADC∽△BDA，∴∠BAD=∠C，∵∠DAC+∠C=90°，∴∠DAC+∠BAD=90°，∴∠BAC=90°，故B选项说法正确，不符合题意；C、∵AB2=BD•BC，∴，又∠B=∠B，∴△BAD∽△BCA，∴∠BAC=∠BDA=90°，即AD⊥BC，故C选项说法正确，不符合题意；D、如果∠BAC=90°，AD2=BD•CD，那么AD与BC不一定垂直，故D选项错误，不符合题意；故选D．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．9．A【分析】根据角平分线和平行证明△EBO和△OFC是等腰三角形,再由周长关系得ｙ＝８－ｘ,即可解题.【详解】解：∵点O是∠ABC和∠ACB两个内角平分线的交点,EF∥BC,∴∠OBC＝∠EOB,∠OBC＝∠EBO,∴△EBO是等腰三角形,同理,△OFC是等腰三角形,即BE＝EO,CF＝OF,∴△AEF的周长y＝AE＋EF＋AF＝AB＋AC,∵△ABC的周长为8,BC=x,∴y＝8－x,即x是关于y的一次函数,图像是递减的直线,故选A【点睛】本题考查了一次函数的实际应用,中等难度,证明等腰三角形,找到函数关系是解题关键.10．B【分析】利用位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（-kx，ky）．【详解】∵△ABO与△DCO位似，且△ABO与△DCO的面积之比为1：4，∴△ABO与△DCO为1：2，∵点B的坐标为（-3，2），∴点C的坐标为（6，-4），故选B．【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．11．D【分析】首先设它的实际长度是，然后根据比例尺的定义，即可得方程：，解此方程即可求得答案，注意统一单位.【详解】设它的实际长度是，根据题意得：，解得：，，它的实际长度为.故选.【点睛】此题考查了比例线段.此题难度不大，解题的关键是理解题意，根据比例尺的定义列方程，注意统一单位.12．D【分析】先根据三角形中位线的性质得到DE=AB，从而得到相似比，再利用位似的性质得到△DEF∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比是相似比的平方求解即可．【详解】∵点D，E分别是OA，OB的中点，∴DE=AB，∵△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，∴△DEF∽△ABC，∴=，∴△ABC的面积=2×4=8故选D．【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．13．∠ADE＝∠C【分析】根据相似三角形判定定理：两个角相等的三角形相似；夹角相等，对应边成比例的两个三角形相似，即可解题．【详解】∵∠A是公共角，如果∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ABC，故答案为∠ADE=∠C．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即①有两组角对应相等的三角形相似，②三边对应成比例的两个三角形相似，③两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．14．【分析】根据三角形的角性质定理、相似三角形的性质进行求解.【详解】∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴∠B=∠ADE=∠C=60°，∵∠B+∠BAD=∠ADF+∠FDC,∴∠BAD=∠FDC,∴△ABD∽△FDC，∴,∵BD4,CD2，且△ABC是等边三角形，∴AB=BC=BD+DC=6,∴，∴FC=,AF=AC-FC=.【点睛】本题主要考查的是三角形的角性质定理、相似三角形的性质，熟练掌握是本题的解题关键.15．【分析】根据相似多边形的性质得，即，然后利用比例性质求出CE，再利用勾股定理计算FC即可．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=2，AD=BC=4，∵四边形EFCD是矩形，∴EF=CD=2，CF=DE，∵余下的矩形EFCD∽矩形BCDA，∴，即，∴CE=1，∴FC的长===，故答案为．【点睛】本题考查了相似多边形的性质：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比．16．4【分析】设，则a=2k，b=3k，再代入式子中即可求得结果.【详解】设，则a=2k，b=3k，===4故答案为4【点睛】此题考查了比例的基本性质，熟练掌握性质是解答此题的关键.17．4：916：81：36．【分析】由AE：ED=5：4，得到DE：AD=4：9，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】∵AE：ED=5：4，∴DE：AD=4：9，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△DEF∽△BCF，∴，∴=（）2=，=，∴S1：S2：S3=16：81：36，故答案为4：9，16：81：36．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．18．【分析】首先得出△AEM∽△ABC，△CFM∽△CDA，进而利用相似三角形的性质求出即可．【详解】∵AD∥BC∥EF，∴△AEM∽△ABC，△CFM∽△CDA，∵EM：BC=2：5，∴，设AM=2x，则AC=5x，故MC=3x，∴，故答案为．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，得出是解题关键．19．【分析】由题中所给条件证明△ADF△ACG，可求出的值.【详解】解：在△ADF和△ACG中，AB=6，AC=5，D是边AB的中点AG是∠BAC的平分线，∴∠DAF=∠CAG∠ADE＝∠C∴△ADF△ACG∴.故答案为.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，难度适中，需熟练掌握.20．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）由AB=AC，D是边BC的中点，利用等腰三角形的性质可得出∠ADC=90°，由同角的余角相等可得出∠ADE=∠DCE，结合∠AED=∠DEC=90°可证出△AED∽△DEC，再利用相似三角形的性质可证出DE•CD=AD•CE；（2）利用等腰三角形的性质及中点的定义可得出CD=BC，DE=2DF，结合DE•CD=AD•CE可得出，结合∠BCE=∠ADF可证出△BCE∽△ADF，再利用相似三角形的性质可证出AF•BC=AD•BE．【详解】(1)∵AB＝AC，D是边BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠CDE＝90°．∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°，∴∠CDE+∠DCE＝90°，∴∠ADE＝∠DCE．又∵∠AED＝∠DEC＝90°，∴△AED∽△DEC，∴，∴DE•CD＝AD•CE；(2)∵AB＝AC，∴BD＝CD＝BC，∵F为DE的中点，∴DE＝2DF．∵DE•CD＝AD•CE，∴2DF•BC＝AD•CE，∴，又∵∠BCE＝∠ADF，∴△BCE∽△ADF，∴，∴AF•BC＝AD•BE．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及余角，解题的关键是：（1）利用相似三角形的判定定理证出△AED∽△DEC；（2）利用相似三角形的判定定理证出△BCE∽△ADF．21．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）根据直角三角形的性质得到AE=FE，根据相似三角形的性质得到∠EAG=∠ADG，求得∠DAG=∠FEG，根据菱形的性质得到AD∥BC，求得∠DAG=∠AFB=90°，于是得到结论；（2）由AE=EF，AE2=EG•ED，得到FE2=EG•ED，推出△FEG∽△DEF，根据相似三角形的性质得到∠EFG=∠EDF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【详解】(1)∵AF⊥BC于点F，∴∠AFB＝90°，∵点E是AB的中点，∴AE＝FE，∴∠EAF＝∠AFE，∵AE2＝EG•ED，∴，∵∠AEG＝∠DEA，∴△AEG∽△DEA，∴∠EAG＝∠ADG，∵∠AGD＝∠FGE，∴∠DAG＝∠FEG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠DAG＝∠AFB＝90°，∴∠FEG＝90°，∴DE⊥EF；(2)∵AE＝EF，AE2＝EG•ED，∴FE2＝EG•ED，∴，∵∠FEG＝∠DEF，∴△FEG∽△DEF，∴∠EFG＝∠EDF，∴∠BAF＝∠EDF，∵∠DEF＝∠AFB＝90°，∴△ABF∽△DFE，∴，∵四边形ACBD是菱形，∴AB＝BC，∵∠AFB＝90°，∵点E是AB的中点，∴FE＝AB＝BC，∴＝，∴BC2＝2DF•BF．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．22．．【分析】设BG=2k，GH=4k，HC=3k，根据平行四边形的性质可得DF=BG=2k，EF=HC=3k，可得DE=5k，根据△ADE∽△FGH可得．【详解】解：∵，∴∴，∴∴同理：∴∴∵，，∴同理：∵，∴设，，∴，，∴∴【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．23．(1)AD＝4；(2)矩形EFGH的面积．【分析】（1）设BC=3x，根据三角形的面积公式列式计算即可；（2）设GF=y，根据矩形的性质得到HG∥BC，得到△AHG∽