黑龙江省哈尔滨市第一中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版）

哈尔滨市第一中学校2024－2025学年度上学期期中考试高二数学试卷考试时间：120分钟，分值：150分第Ⅰ卷选择题（48分）一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个选项是正确的．）1.直线的倾斜角量（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据直线方程求出直线的斜率，再得出直线的倾斜角.直线的斜率为，又倾斜角的范围在之间，所以直线的倾斜角是.故选：A.2.若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析】由平方关系结合已知即可求出，由此即可得解.由题意得椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，所以，，则，，椭圆标准方程为.故选：B.3.空间向量在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据投影向量公式计算即可.，，由投影向量的定义和公式可知在的投影向量为，故选：C.4.“”是“直线与直线平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据两直线平行的条件进行判断当时，直线与直线，即为直线与直线的斜率都是，纵截距不同，则两直线平行，是充分条件；若直线与直线平行，当时，两直线方程都为，直线重合不符合题意，当时，两直线平行则斜率相等，截距不相等，解得，是必要条件；故选：C5.设点，直线：，当点到的距离最大时，直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】整理直线的方程，可得直线恒过点，当时，点到的距离最大时，即可求解.∵直线：，∴可将直线方程变形为，由，解得，由此可得直线恒过点，当时，点到的距离最大时，，则由，得.故选：A.6.设直线l：，点，，P为l上任意一点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得点关于直线l的对称点的坐标，则即为的最小值.设点关于直线l的对称点为，则有，解之得，则，则的最小值为故选：B7.如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形ABCD是正方形，，点是与的交点，则直线与所成角的余弦值为（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先利用基底表示向量，再将异面直线所成的角，转化为向量夹角的余弦公式，即可求解.取的中点，连接，，因为，所以直线与所成角即为与所成的角，所以，所以，即，又因为，所以，所以直线与所成角的余弦值为.故选：B．8.某圆拱桥的拱高为，现有宽，水面以上的高度为米的一艘船恰能从桥下通过，则该拱桥的水面跨度（单位：）在下列哪个区间内（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】适当建立平面直角坐标系，根据直线与圆的位置关系，结合弦长的求法可得拱桥的水面跨度，进而得解.由题意，建立平面直角坐标系如图所示，则，，，，，其中为圆拱桥的圆心．设拱桥所在的圆的方程为，则，解得，，则圆形拱桥的水面跨度为，故选：B.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部全对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）9.若直线与圆相交于两点，则的长度可能等于（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】BCD【解析】【分析】根据直线过定点，可得，即可根据圆的弦长公式求解.设圆心到直线的距离为，由于直线恒过原点，且，故，又，即，故选：BCD．10.下列命题中，正确的是（）A.两条不重合直线的方向向量分别是，，则B.直线l方向向量，平面的法向是，则C.两个不同的平面，的法向量分别是，，则D.直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面所成角的大小为【答案】AC【解析】【分析】由可判断A；由可判断B；由可判断C；根据线面角的向量公式直接计算可判断D.A选项：因为，且不重合，所以，A正确；B选项：因为，所以所以或，B错误；C选项：因为，所以，C正确；D选项：记直线l与平面所成角为，则，因为，所以，D错误.故选：AC11.已知两圆方程为与，则下列说法正确的是（）A.若两圆有3条公切线，则B.若两圆公共弦所在的直线方程为，则C.若两圆公共弦长为，则D.若两圆在交点处的切线互相垂直，则【答案】ABD【解析】【分析】选项A，由两圆有条公切线，则两圆外切，由两圆圆心距与半径关系得；选项B，若两圆相交，由两圆方程作差得公共弦方程，先待定再验证相交可知；选项C，由半弦长、半径及圆心距关系可得；选项D，结合图形，由，可得等量关系求解.设圆为圆，圆的圆心为，半径，设圆为圆，圆的圆心为，半径，.A选项，若两圆有3条公切线，则两圆外切，所以，A选项正确；B选项，由两式相减并化简得，则，此时，满足两圆相交，B选项正确；C选项，由两式相减并化简得，到直线的距离为，所以，即，则解得或，C选项错误.D选项，若两圆在交点处的切线互相垂直，设交点为，根据圆的几何性质可知，所以，D选项正确.故选：ABD第Ⅱ卷非选择题（92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.设m为实数，若方程表示圆，则m的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】将方程配成圆的标准方程形式，根据圆的标准方程即可求解.方程，即若它表示圆，则，即故答案为：.13.已知平面内一点，点在平面外，若一个法向量为，则Q到平面的距离为______．【答案】##【解析】【分析】求出，得到点到平面的距离公式求出答案.因为，所以Q到平面的距离为.故答案为：14.点是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于的任意一点，若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为______.【答案】##【解析】【分析】由斜率公式、点的坐标满足的条件等式可得，结合离心率公式即可求解.由题意方程可知，，，设，所以，，则，整理得：，①，又，得，即，②，联立①②，得，即，解得.故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图所示：多面体中，四边形为菱形，四边形为直角梯形，且，平面，．（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】由线面垂直性质定理得，菱形对角线垂直，可证；建立空间直角坐标系，用平面与平面的法向量，求夹角余弦值，再转换为正弦值.【小问1】因为平面，平面，所以；底面为菱形，所以；又因为，平面，所以平面.【小问2】如图：

设，取的中点，连接，则，所以平面.故可以以为原点，建立如图空间直角坐标系.因为为直线与平面所成的角，所以.又，所以，，，，，则，.设平面的法向量为n=x,y,z则，取，则，则，又为平面的法向量，设平面与平面所成的角为，，则，，即平面与平面所成角的正弦值为.16.已知直线和的交点为P．（1）若直线l经过点P且与直线平行，求直线l的方程：（2）若直线m经过点P且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线m的一般式方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）求出已知直线的交点坐标，根据直线的平行关系，即可求得答案；（2）设直线方程的截距式，由题意列出相应方程组，即可求得答案.【小问1】联立，解得，即，直线l经过点P且与直线平行，故设直线l方程为，将代入得，故直线l方程为；【小问2】由题意知直线m经过点P且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，则其在坐标轴的截距不为0，设其方程为，与两坐标轴的交点分别为，则，解得或，故直线m的方程为或，即或.17.已知圆C过点，且圆心C在直线上．（1）求圆C的方程；（2）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线的一般方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求AB的垂直平分线方程，联立直线l的方程可得圆心坐标，然后可得半径，进而得出圆的标准方程；（2）根据点关于直线对称的特征列方程可得，利用直线点斜式方程即可得出结果.【小问1】由，得直线AB的斜率为，线段中点所以，直线CD的方程为，即，联立，解得，即，所以半径，所以圆C的方程为；【小问2】由恰好平分圆C的圆周，得经过圆心，设点M关于直线的对称点，则直线MN与直线垂直，且线段MN的中点在上，则有，解得，所以，所以直线CN即为直线，且，直线方程，即.18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的两个焦点分别是，，点M在上，且.（1）求的标准方程；（2）若直线与交于A，B两点，且的面积为求的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由已知可得，由椭圆的定义可得，根据椭圆中，，的关系可得，即可求解；（2）设Ax1,y1，Bx2,y2，联立直线和椭圆构成的方程组，根据可得，由韦达定理可得，，再根据，可得【小问1】由题意，设的标准方程为，则，，即，所以，所以的标准方程为；【小问2】设Ax1,由联立得，由题意，即，，，显然直线过定点，所以，所以，即，所以，解得或，均满足，所以或.19.已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．（1）求的方程；（2）设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）结合题意得到，，再结合，解之即