2021年湖南省六校高考数学联考试卷

2021年湖南省六校高考数学联考试卷（4月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.已知集合4={1,2,3,4,5},B={x|/-3x>0},则ZACRB中的元素个数为（）

2.已知复数Zi，Z2在复平面内对应的点分别为Zi（3,a）,Z2（2,l）,且z「Z2为纯虚数,

则实数a=（）

A.—6

函数/（x）=鞭背的图象大致是（

4.某地安排4名工作人员随机分到3个村参加“脱贫攻坚”帮扶活动，且每个人只去

一个村，则每个村至少有一名工作人员的概率为（）

5.已知|日|=遍，b=且（石一3）1（2五+力，则向量五在向量至方向上的投影

的最大值为（）

数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords,

也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文

字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法

的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优

雅.现有如图所示图形，在等腰直角三角形44口。中，点O为斜边AB的中点，点。

为斜边48上异于顶点的一个动点，设40=a,BD=b,则该图形可以完成的无字

证明为（）

A.Vab(a>0,b>0)B.瑞S病(a>0,b>0)

C.<Ja："(a>0,b>0)D.a2+b2>2y/ab(a>0,b>O')

7.已知Fi，F2分别是双曲线捺一\=1(£1>0/>0)的左、右焦点，点尸是该双曲线

上一点且在第一象限内，2siMPF#2=sin"F2Fi，则双曲线的离心率的取值范围

为()

A.(1,2)B.(3,+8)C.(1,3)D.(2,3)

8,定义函数0(%)=「"为有理数一则下列命题中正确的是()

"L》为无理数

A.D(x)不是周期函数

B.y=D(x)的图象存在对称轴

C.D(x)是奇函数

D.D(x)是周期函数，且有最小正周期

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.下列“若p,则形式的命题中，p是q的必要条件的是()

A.若两直线的斜率相等，则两直线平行

B.若x>5,则x>10

C.已知五是直线a的方向向量，元是平面a的法向量，若ala,则五1记

D.已知可导函数/。)，若(。0)=0,则/。)在工=%0处取得极值

10.已知数列｛。工满足为=1，。2=3,an+2-an=2,neN*,贝i]()

A.(%+a2),(a3+a4),(a5+a6),…为等差数列

B.(a2—Qi),(a4—a3),(。6-。5),…为常数列

C.a2n-i=4n—3

n

D.若数列｛%｝满足匕=(-l)-an,则数列也｝的前100项和为100

11.已知函数/'(x)=2cos(a)x+9)(3>0,\<p\<]的图象上，对称中心与对称轴x=

的最小距离为5则下列结论正确的是()

A.函数八乃的一个对称点为(工,0)

B.当xe碎为时，函数/(x)的最小值为一百

C.若siMa-cos4a=-^(aG(0,就，则/(a+》的值为匕言

D.要得到函数/Q)的图象，只需要将gQ)=2cos2x的图象向右平移方个单位

第2页，共20页

12.已知球。的半径为2,球心0在大小为60。的二面角a—，一口内，二面角a—，一0的

两个半平面分别截球面得两个圆。1，02,若两圆。1，。2的公共弦AB的长为2,E

为A8的中点，四面体。4。1。2的体积为匕则下列结论中正确的有()

A.O,E,。1，。2四点共面B.。1。2=4

C.。1。2=：D.V的最大值为3

N16

三、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知某省2020年高考理科数学平均分X近似服从正态分布N(89,100),贝|P(79<

X<109)=.

附：-a<XW〃+<7)=0.6827,P(n-2a<X<n+2a)=0.9545)

14.请写出满足条件"/(x)W/(I)对任意的xG［0,1］恒成立，且f(x)在［0,1上不是增函

数”的一个函数：.

15.已知(a+点)(x+l)6(a力0)的展开式中各项的系数和为192,则其展开式中的常数

项为.

16.电子计算机是二十世纪最伟大的发明之一，当之无愧地被认为是迄今为止由科学和

技术所创造的最具影响力的现代工具，被广泛地应用于人们的工作与生活之中，计

算机在进行数的计算和处理加工时，内部使用的是二进制计数制，简称二进制.一

k

个十进制数n(neN*)可以表示成二进制数(劭。1&2...ak)2»B|Jn=a0x2+arx

2上一1+。2x2»2+…+以一］x21+akx2°,其中劭=1，/6｛0,1｝,i=0,1,

2，…,k,k£N.用/(n)表示十进制数〃的二进制表示中1的个数，则/(7)=；

对任意r6N*,说墨尸2"")=.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

2

17.已知数列口工的前«项和无满足2Sn=n+3n.

(I)求数列｛an｝的通项公式；

(n)数列｛£—｝的前n项和是%,若存在n6N*,使得〃-2an+1>0成立，求实

anan+l

数2的取值范围.

18.已知函数/(%)=ypisinxcosx—cos2%—1(%6/?).

(I)当Xe[-5争时，分别求函数/(X)取得最大值和最小值时X的值；

(11)设448。的内角人,89的对应边分别是4,4。,且°=2曲,b=6,/(今=-1,

求c的值.

19.甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4.甲、乙约定

比赛当天上午进行3局热身训练，下午进行正式比赛.

(I)上午的3局热身训练中，求甲恰好胜2局的概率；

(口)下午的正式比赛中：

①若采用“3局2胜制”，求甲所胜局数x的分布列与数学期望；

②分别求采用“3局2胜制”与“5局3胜制”时，甲获胜的概率；对甲而言，哪

种局制更有利？你对局制长短的设置有何认识？

20.某建筑工地上有一个旗杆CF(与地面垂直)，其正南、正西方

向各有一标杆BE,DG(均与地面垂直，B,。在地面上)，长

度分别为1/n,4m,在地面上有一基点做点A在B点的正西方

向，也在。点的正南方向上)，且B4=BC=2m,且A,E,

第4页，共20页'B

F,G四点共面.

(I)求基点A观测旗杆顶端厂的距离及仰角。的正切值；

(n)若旗杆上有一点使得直线BM与地面ABCD所成的角为%试求平面ABM

与平面AEFG所成锐二面角的正弦值.

21.已知A,8分别为椭圆+?=l(a>b)的左、右顶点，。为椭圆E的上顶点，

AQQB=1.

(1)求椭圆后的方程；

(II)已知动点P在椭圆E上，两定点N(l,-1).

①求△PMN的面积的最大值；

②若直线MP与NP分别与直线x=3交于C,。两点，问：是否存在点P,使得APMN

与△PCD的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

22.已知/"(%)=ln(l+x)+2cosx-(1+%)4，g(x)=cosx-1+ax2.

(I)若或%)>0恒成立，求实数a的取值范围；

(口)确定/。)在(一1,n)内的零点个数.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因为B={x\x2-3%>0}={x\x<0或无>3],

所以CRB={%|0WxW3},

又集合4={1,2,3,4,5),

所以力CCRB={1,2,3),

故ACCRB中的元素个数为3.

故选：B.

先求出集合8,再利用补集求出CRB,然后由集合交集的定义求解ACCRB即可.

本题考查了集合的运算，主要考查了集合的交集和补集的定义，考查了逻辑推理能力与

运算能力，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：因为复数zrZ2在复平面内对应的点分别为Zi(3,a),Z2(2,l),

所以ZI=3+ai,z2=2+i,

故ZI-z2=(3+ai)(2+i)=6—a+(3+2a)i,

因为Zi■Z2为纯虚数，

所以6-a=0且3+2a力0,

解得a=6.

故选：D.

先利用复数的几何意义求出复数Z「Z2,再利用复数的乘法运算以及纯虚数的定义求解

a即可.

本题考查了复数的几何意义，复数的定义，解题的关键是掌握复数的几何意义，考查了

运算能力，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：=啰耳铲=一笺空=

'')e~x-exex-e~x7v7

二函数f(%)为奇函数，排除选项c和。，

当％E(0,1)时，cosx>0,ex-e~x>0,/(%)>0,排除选项3,

故选：A.

先判断函数的奇偶性，再不妨考虑x6(0,1)时，f(x)与0的大小关系，得解.

本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方

面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解；4人随机去3个村的可能情况有34=81种，

每个人只去一个村，则每个村至少有一名工作人员有以用=36种，

364

故

故选：A.

4人随机去3个村的可能情况有3,=81种，每个人只去一个村，则每个村至少有一名工

作人员有此题=36种，然后结合古典概率公式可求.

本题主要考查了古典概率公式的应用，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】

【分析】由已知及向量的数量积运算可求得五不=3-m2,从而可得向量五在向量方方

向上的投影为|N|cos<区b>==—y/m2+9+令1=7m2+9,则/'(t)=

-t+y,利用函数的单调性求得/(t)的最大值即可得解.

本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量投影的计算公式，利用函数

的单调性求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题.

【解答】

解:因为|硝=遥，b—(m,3)>(b—a)1(2a+b)>

所以@一五)-(2a+b)=2b-a+b2-2a2-a-b=a-b+m2+9-12=0>

所以五•b=3—m2»

所以向量五在向量方方向上的投影为：

|矶cos(五，%>=那焉=7而+9+篇

令t=Vm2+9»t>3,

/(t)=-t+Y，y=-t与y=芋在［3.+8)上均为减函数，

则/'(t)在［3.+8)上为减函数，

所以f(t)4/(3)=—3+£=1,

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所以向量五在向量方方向上的投影的最大值为1.

故选：D.

6.【答案】C

【解析】解：由题意得4B=AD+BD=a+b,CO=^a+b),0D=OB-DB=^a+

b)-b=g(a-b),

Rt△OCD^,CD2=OC2+OD2=

442

因为。CWCD,

所以“a+b)S用叵，当且仅当a=b时取等号、

故选：C.

由已知图形先求出OC,CD,然后结合OCSCD即可判断.

本题主要考查了基本不等式的应用，体现了转化思想的应用，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：在APFiB中，由正弦定理知，得一=忐”,

x

4sinzP/^Fis\nz.PF1F2

v2sinZ-PF1F2=sinzP^Fi，

：.2\PF2\=\PFX\,

由双曲线的定义知，\PF1\-\PF2\=2a,

\PF1\=4a,\PF2\=2a,

•••|PF/+\PF2\>尸局,即4a+2a>2c,

e=-<3,

a

又e>1,•••ee(1,3).

故选：C.

在△P&F2中，由正弦定理可得2|PBI=仍&1，再结合双曲线的定义和“三角形的两边

之和大于第三边”，即可得解.

本题考查双曲线的定义与几何性质，还运用了正弦定理,考查逻辑推理能力和运算能力，

属于基础题.

8.【答案】B

(lX为有理数

【解析】解：当加为有理数时，D(x+m)

1一1/为无理数

:.D(x+m)=D(x),

...任何一个有理数都是。(%)的周期，

D(x)是周期函数，且无最小正周期，

.•.选项A,。错误，

若x为有理数，则-x也为有理数，

•••D(x)—D(―x),

若X为无理数，则-X也为无理数，

•••D(x)=D(-x),

综上，总有O(-x)=D(x),

••・函数。(x)为偶函数，图像关于y轴对称，

二选项C错误，选项B正确，

故选：B.

当〃?为有理数时恒有。(x+m)=。(乃，所以。(乃是周期函数，且无最小正周期，又因

为无论x是有理数还是无理数总有。(-x)=D(x),所以函数。(x)为偶函数，图像关于y

轴对称.

本题主要考查了分段函数的奇偶性、周期性和对称性，是基础题.

9.【答案】BD

【解析】解：对于4,两直线平行时，两直线的斜率相等或斜率都不存在，所以必要性

不成立；

对于B,x>10时，%>5,所以必要性成立；

对于C,若3，元，则a〃a或aua,所以必要性不成立；

对于。，/(%)在x=X。处取得极值时，1(%0)=。，必要性成立.

故选：BD.

只需判断必要性是否成立即可.

本题考查了判断必要性是否成立的应用问题，是基础题.

10.【答案】ABD

【解析】解：数列｛熟｝满足的=1,a2=3,an+2-an=2,n€N*,

则数列为，。3,。5,…是以1为首项，2为公差的等差数列，

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数列&2,«4«。6,…是以3为首项，2为公差的等差数列.

对于4(%+。2)，(«3+«4)>(。5+&6)，…为等差数列，故A正确；

对于8：(a2-ax)=2,(a4-a3)==2,…为常数列，故B正确；

对于C：数列的,a3,as，…是以1为首项，2为公差的等差数列，故a2n_i=2n—1,

故C错误，

对于。：7100=—%+-。3+…+%00—。99=2X50=100,故£>正确.

故选:ABD.

直接利用数列的递推关系式和数列的求和公式的应用判断A、B、C、。的结论.

本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的求和公式，主要考查学生的运

算能力和数学思维能力，属于基础题.

11.【答案】BC

【解析】解：函数/'(X)=2cos(cox+<p)(3>0,Isl<])的图象上，

对称中心与对称轴x=勺的最小距离为:x-=p.-.<0=2.

再根据2x三+3=kir,keZ,可得<?=-｝故/(x)=2cos(2x->

1ZOO

令X=翁，可得/'(%)=-1力0，故A错误；

当x6碎方时，2刀—昏冷甘，故当2x-旨,寸，函数f(x)的最小值为—百，故B

正确；

若sin%—cos4a=sin2a—cos2a=—cos2a=-“a6(0,^)),:.cos2a=%sin2a=

V1—cos22a=I，

=

贝！J/(Q+：)=2cos(2a+]—*)=—2sin(2a~~)-2sin2acos^+2cos2asin^—

匕券，故c正确；

将g(x)=2cos2x的图象向右平移泠单位，可得y=2cos(2x-》的图象，故/)错误，

故选：BC.

由周期求出3,由图象的对称性求出0的值，可得的解析式，再利用三角函数的性

质以及函数y=Asin^x+9)的图象变换规律，得出结论.

本题主要考查由函数y=Asin^x+s)的部分图象求解析式，三角函数的性质，函数y=

4sin(Mr+3)的图象变换规律，属于中档题.

12.【答案】ACD

【解析】解:因为公共弦AB在棱/上，连结OE,OiE,

02E,。1。2，OA,

则0E=>JOA2-AE2=V3,I

因为二面角a-2-0的两个半平面分别截球面得两

个圆。1，02,0为球心，

所以0011a,0。2”,

又。iEu平面a,6后u平面氏

所以。。11。百002102E,

故0,E,。［,。2四点共圆，故选项A正确；

因为E为弦A8的中点，

故01EJ.AB,02ELAB,故NOIE。2即为二面角a-/一夕的平面角，

所以乙。述。2=60°,

故。iO2=OEsin6(T=|,故选项B错误，选项C正确；

设。。1=d］,002=d2>

在△。。1。2中，由余弦定理可得，01。:=3=虏+或+did223d1d2，

所以did?<i故SA。。］。？-挈，

所以八/AE-SAOOQ〈祟

当且仅当刈=42时取等号，故选项。正确.

故选：ACD.

利用球心和截面圆之间的关系可以得到O,E,0「。2四点共圆，即可判断选项4利

用二面角的定义得到4。1后。2即为二面角a-I-£的平面角，求出。1。2即可判断选项B,

C；利用余弦定理和基本不等式以及锥体的体积公式即可判断选项D.

本题考查了立体几何的综合应用，考查的知识点：球的几何性质、截面圆的几何性质、

二面角的平面角、余弦定理、基本不等式以及锥体的体积公式，综合性强，属于中档题.

13.【答案】0.8186

【解析】解：因为X近似服从正态分布N(89,100),

则〃=89,<7=10,

所以P(79<X<109)=P(〃—<r<XW〃+2(r)=P(〃-c<X<0)+P(0<XW〃+

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2a)

=-0.-68-2-7-01.-95-4-5--=0.8186,

22

故答案为：0.8186.

由已知求出〃=89,(7=10,然后根据公式即可求解.

本题考查了正态分布的性质，考查了学生的运算能力，属于基础题.

14.【答案】f(x)=-(x-1)2,(答案不唯一)

【解析】解：由题意小。)的最大值/(I)且f(x)在［0,1］上不是增函数，

故/'(X)=_(x-1)2.

故答案为：f(x)=-(x-l)2,(答案不唯一).

由题意/(X)的最大值/(I)且/(X)在［0,1］上不是增函数，结合基本初等函数的性质可求.

本题主要考查了基本初等函数的性质的简单应用，属于基础题.

15.【答案】17

【解析】解：令x=l可得：(a+l)(l+l)6=64(a+l)=192,解得a=2,

所以二项式为(2+或)(％+I］的展开式的常数项为：

2x以+点.C数2=2+或=2+15=17,

故答案为：17.

令x=1求出a的值，由此即可求出常数项.

本题考查了二项式定理的应用，考查了求解常数项的问题，考查了学生的运算能力，属

于基础题.

16.【答案】32x3『(r€N*)

【解析】解：因为7=1X22+1X21+1X2°,所以/'⑺=3,

rr-11

设n=aox2+arx24---Far_rx2+arx2°,f(n)=t+1,

则使得f(n)=t+1的〃有。个，

所以刀#12f⑺=》=oCx2t+1=2x3r(r6N*).

故答案为：3,2x3r(reN*).

首先把五进制数字转化成十进制数字，用所给的数字最后一个数乘以5的0次方，依次

向前类推，相加得到十进制数字，再用这个数字除以2,倒序取余即可求解.

本题考查进位制之间的转化，本题涉及到三个进位制之间的转化，实际上不管是什么之

间的转化，原理都是相同的，属于基础题.

17.【答案】解：(I)数列｛册｝的前n项和又满足2S“=n2+3n①.

所以当71=1时，解得出=2,

2

当n22时，2Sn_i=(n-l)+3(n-1)②，

①—②得：2an—+377.—［(n-1)?+3(n—1)］>

整理得即=n+1(首项符合通项)，

故期=n+1.

_1_1__i_____i_

n

('anan+1(n+l)(n+2)n+1n+2'

所以7；=工一工+工一工+・.・+^——-=i-—,

n2334n+1n+22n+2

若存在neN*,使得NO成立，

即:-京-+2)>0成立，

故康2"+2)，

整理得诟念而之'，

只需满足耳懑七而］max24即可，

设9(吟=说缶的=肃百W2，当且仅当兀=2时，等号成立.

即“4

【解析】(I)直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；

(n)利用裂项相消法在数列求和中的应用和存在性问题的应用求出参数的取值范围.

本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，裂项相消法在求和

中的应用，存在性问题的应用，基本不等式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，

属于基础题.

18.【答案】解：(/)/(%)=y/Ssinxcosx-cos2x—^=^-sin2x—14-c^x2x_1,

V3.n1o1

=——sinZx——cos2x—1，

22

=sin(2x—*)—1,

因为［-治智所以2》一鼠［兰，争，

所以一渔工sin(2x――)<1,

26

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/0)=5也0-》一1的最大值0,此时X=g,函数的最小值一1一日，此时x=一摄

(〃)C)=sin(I)-l=-l,

所以sin(4-g)=0,

o

由A为三角形内角得4=，

因为a=2百，b=6,

由余弦定理得a2=炉+定一2bcx立，

2

所以12=36+c2-6痘c=0.

解得c=2次或c=4V3

【解析】(/)先利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质可求；

(〃)由已知先求4然后结合余弦定理即可求解c

本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦函数的性

质及余弦定理的应用，属于中档题.

19.【答案】解：(1)甲恰好胜2局的概率为2=废0.62x0.4=0,432；

(II)①甲所胜局数x的可能取值为0,1,2,

所以P(x=O)=废0.42=0.16,

P(x=1)=C；0.6x0.4x0.4=0.192,

PQ=2)=废0.6x0.6+60.6X0.4x0.6=0.648,

所以甲所胜局数x的分布列为：

X012

P0.160.1920.648

则X的数学期望E(x)=0x0,16+1X0.192+2x0.648=1.488；

②采用“3局2胜制”时，甲获胜的概率为B=60.6x0.4x0.6+废0.6x0.6=0.648,

采用“5局3胜制”时，甲获胜的概率为「2=服0.62x0.42x0.6+或0.62X0.4X

0.6+C^O.63=0.68256,

对于甲而言，显然“5局3胜制”更有利，

由此可得出：比赛局数越多，对水平高的选手越有利.

【解析】(I)利用〃次独立重复事件恰好发生k次的概率公式进行求解即可；

(口)①先确定x的可能取值，分别求出其对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可:

②利用"次独立重复事件恰好发生人次的概率公式分别计算两种赛制下甲获胜的概率，

通过计算结果进行分析即可.

本题考查了离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻

辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.

20.【答案】解：（I）由题意可知平面4BE〃平面CDGF,且A,E,F,G四点共面于平

面AEFG,

故AE〃GF,同理可得4G〃EF,

故AEFG为平行四边形，故AE=FG,

过点G作C尸的垂线，垂足为N,

GNF,所以FN=BE=1,FC=4+1=5,

AC—2V2，

则AF=>JAC2+FC2=V33,

故施。/=品=岸

（n）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示,

MC=2,8(2,0,0),N(2,2，2),

所以宿=(2,0,0),戒=(2,2,2)，

设平面ABM的法向量而=(%,y,z),

则有住,逋=2%=0,

(m-AM=2x+2y+2z=0

令y=l,则z=-1,故沆=(0,1,—1),

又E(2,0,1),F(2,2,5),

所以荏=(2,0,1),方=(2,2,5)，

设平面AER7的法向量为五=(见仇c),

则有(元•亚=2%+z=0

I五•AF=2%+2y+5z=0'

令％=1,则z=-2,y=4,故五=(1,—2,4),

所以|cos<n,m>|=-TTTT7-=••号f京:=?，

1'|m||n|V2XV217

设平面ABM与平面AEFG所成锐二面角为a,

则sina=J]—=y-

【解析】（I）利用面面平行的性质得到4E〃GF,AG//EF,从而可证明4E=FG,过点

G作C尸的垂线，垂足为N,利用边角关系即可求出4尸以及tan。的值;

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(n)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求

出两个平面的法向量，然后由向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可.

本题考查了立体几何在实际生活中的应用问题，主要考查了空间角的求解，在求解有关

空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量

问题进行研究，属于中档题.

21.【答案】解：(I)根据题意可得，Q(0,®4(—a,0),B(a,0),

因为福•证=1.

所以(a,V5>(a,-V5)=1，

所以a2—3=1.

所以=4,

所以椭圆的方程为直+g=1.

43

(II)①设P(2cosa,Vasina),0<a<2TT,

因为M(-l,|),N(l,-|),

所以直线MN的方程为v_。=2(x+1)，即3%+2y=0,

72-1-1'J

所以点P到直线MN的距离为d=做2」工以为呵=人蹩喷,

V3z+22V13

|MN|=J(一1—1)2+(|_(_|))2=V13,

所以4PMN=1-|M/V|-d=i-VT3-*:鲁玲=2V3sin(a+9，G<a<2n,

所以△PMN的面积的最大值为2旧.

②设P(%o，yo),|MN|=A/H，

点P到直线MN的距离由=吗件，

所以SAPMN=]MN|di=1|3x0+2y0|-

直线例P的方程为:y二组

Xo+1

令久=3,可得C(3,券+|),

直线PN的方程为：”薯(％_1)_|,

令x=3,可得。(3,誓一|),

(3%o+2yo)(%o-3)

所以|CD|=|

就一1

点P到直线CD的距离d2=|3-x0|,

2

所以SAPCD=\\CD\-d2=\\等等|x(3-x0),

因为△MPl^APCD面积相等，

所以柳3沏+2兀|=；|等空口(3-殉)2,

2

所以3沏+2yo=0(舍去)或阂-1|=(3-x0),

解得殉=J，代入椭圆的方程得y0=土隹，

J6

所以点P(L)或(|,_等).

【解析】(I)根据题意可得，AQQB=1,得(a,我)•(a,-遮)=1,解得a2,进而可

得答案.

(H)①设P(2cosa,我sina),0<a<2n,写；I；直线MV的方程，进而可得点尸到直线

MN的距离为d,由两点之间的距离公式可得|MN|,进而可得S“财N=|'\MN\'d=

2V3sin(a+j),0<a<2n,即可得出答案.

②设P(xo，yo)，则£^'=：四"%=汩X0+2