自动控制系统的数学模型

第二章自动控制系统的数学模型本章的主要内容

控制系统的微分方程-建立和求解控制系统的传递函数控制系统的结构图-等效变换控制系统的信号流图-梅逊公式概述[数学模型]：描述控制系统变量（物理量）之间动态关系的数学表达式。常用的数学模型有微分方程，传递函数，结构图，信号流图，频率特性以及状态空间描述等。例如对一个微分方程，若已知初值和输入值，对微分方程求解，就可以得出输出量的时域表达式。据此可对系统进行分析。所以建立控制系统的数学模型是对系统进行分析的第一步也是最重要的一步。控制系统如按照数学模型分类的话，可以分为线性和非线性系统，定常系统和时变系统。[线性系统]：如果系统满足叠加原理，则称其为线性系统。叠加原理说明，两个不同的作用函数同时作用于系统的响应，等于两个作用函数单独作用的响应之和。线性系统对几个输入量同时作用的响应可以一个一个地处理，然后对每一个输入量响应的结果进行叠加。[线性定常系统和线性时变系统]：可以用线性定常（常系数）微分方程描述的系统称为线性定常系统。如果描述系统的微分方程的系数是时间的函数，则这类系统为线性时变系统。宇宙飞船控制系统就是时变控制的一个例子（宇宙飞船的质量随着燃料的消耗而变化）。古典控制理论中（我们所正在学习的），采用的是单输入单输出描述方法。主要是针对线性定常系统，对于非线性系统和时变系统，解决问题的能力是极其有限的。[非线性系统]：如果不能应用叠加原理，则系统是非线性的。下面是非线性系统的一些例子：

微分方程的编写应根据组成系统各元件工作过程中所遵循的物理定理来进行。例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力学中的牛顿定理，热力学中的热力学定理等。2.1控制系统的微分方程由②：，代入①得：这是一个线性定常二阶微分方程。①②[解]：据基尔霍夫电路定理：输入输出LRCi[例2-1]：写出RLC串联电路的微分方程。[例2-2]求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输入量为外力F，输出量为位移x。[解]：图1和图2分别为系统原理结构图和质量块受力分析图。图中，m为质量，f为粘性阻尼系数，k为弹性系数。mfmFF图2图1根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。在国际单位制中，m,f和k的单位分别为：[例2-3]电枢控制式直流电动机这里输入是电枢电压ua和等效到电机转轴上的负载转矩Mc，输出是转速w

电枢回路方程为

其中ea

为反电势此时激磁电流为常数，所以Ce称为电动机电势常数

Cm称为电动机转矩常数，再根据牛顿定律可得机械转动方程电机通电后产生转矩其中和分别称为电磁时间常数和机电时间常数整理得分别是转速与电压传递系数和转速与负载和传递系数。这里已略去摩擦力和扭转弹性力。3.线性系统微分方程的编写步骤：⑴确定系统和各元部件的输入量和输出量。⑵对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理的方程。⑶对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。⑷从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部件的方程中消去中间变量，最后得到描述系统输入和输出关系的微分方程。[例2-4]：编写下图所示的速度控制系统的微分方程。负载-+-+功率放大器测速发电机[解]：⑴该系统的组成和原理；⑵该系统的输出量是，输入量是，扰动量是⑸消去中间变量：推出之间的关系：显然，转速既与输入量有关，也与干扰有关。⑷各环节微分方程：运放Ⅰ：，运放Ⅱ：功率放大：，反馈环节：电动机环节：见例2-4测速-运放Ⅰ运放Ⅱ功放电动机⑶速度控制系统方块图：⑴对于恒值调速系统，=常量，则。转速的变化仅由负载干扰引起。增量表达式如下：⑵对于随动系统，则=常数，，故：根据上式可以讨论输出转速跟随给定输入电压的变化情况。⑶若和都是变化的，则对于线性系统应用叠加原理分别讨论两种输入作用引起的转速变化，然后相加。[增量式分析](上式等号两端取增量)：4、线性方程的求解：研究控制系统在一定的输入作用下，输出量的变化情况。方法有经典法，拉氏变换法和数字求解。在自动系统理论中主要使用拉氏变换法。[拉氏变换求微分方程解的步骤]：①对微分方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为s域的代数方程。②求拉氏反变换，求得输出函数的时域解。线性微分方程的求解

非线性元件微分方程的线性化具有连续变化的非线性函数的线性化，可用切线法或小偏差法。在一个小范围内，将非线性特性用一断直线来代替。（分段定常系统）一个变量的非线性函数y=f(x)在x0处连续可微，则可将它在该点附件用台劳级数展开增量较小时略去其高次幂项，则有

令Δy=kΔxk比例系数，函数在x0点切线的斜率两个变量的非线性函数y=f(x1,x2)，同样可在某工作点（x10,x20）附近用台劳级数展开为

略去二级以上导数项，并令Δy＝y-f(x10,x20)

这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作状态是可行的，平衡点附近，偏差一般不会很大，都是“小偏差点”。

一、传递函数的基本概念将上式求拉氏变化，得(令初始值为零）传递函数的定义：线性定常系统在零初始条件下输出量的拉氏变换与输出量的拉氏变换之比。式中：x（t）—输入，y（t）—输出为常系数设系统或元件的微分方程为：当传递函数和输入已知时Y(s)=G(s)X(s)。通过反变换可求出时域表达式y(t)。称为环节的传递函数[关于传递函数的几点说明]传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线性常系数微分方程一一对应。且与系统的动态特性一一对应。传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。而研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函数的各种系统。传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。只反映了输入和输出之间的关系，不反映中间变量的关系。传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。若系统有多个输入信号，在求传递函数时，除了一个有关的输入外，其它的输入量一概视为零。传递函数忽略了初始条件的影响。传递函数传递函数是s的有理分式，对实际系统而言分母的阶次n大于分子的阶次m，此时称为n阶系统。[例1]求电枢控制式直流电动机的传递函数。[解]已知电枢控制式直流电动机的微分方程为：方程两边求拉氏变换为：令，得转速对电枢电压的传递函数：令，得转速对负载力矩的传递函数：最后利用叠加原理得转速表示为：[例2]求下图的传递函数：[传递函数的几种表达形式]：表示为有理分式形式：式中：—为实常数，一般n≥m上式称为n阶传递函数，相应的系统为n阶系统。表示成零点、极点形式：式中：称为传递函数的零点，称为传递函数的极点。—传递系数写成时间常数形式：分别称为时间常数，K称为放大系数显然：，若零点或极点为共轭复数，则一般用2阶项来表示。若为共轭复极点，则：或其系数由或求得；若有零值极点，则传递函数的通式可以写成：从上式可以看出：传递函数是一些基本因子的乘积。这些基本因子就是典型环节所对应的传递函数，是一些最简单、最基本的一些形式。式中：或：说明：1）传递函数是线性定常系统在复频域里的数学模型，其与微分方程一样，包含了系统有关动态方面的信息。2）传递函数是在零初始条件下定义的，当初始条件不为零时，传递函数不能反映系统的全部特点。3）传递函数反映的是系统本身的一种属性，其各项系数完全取决于系统本身的结构与参数，与输入量的大小和性质无关。4）传递函数包含联系输入量与输出量所必须的单位，但是它不提供有关系统物理结构的任何信息（许多物理上完全不同的系统，可以具有相同的传递函数）。5）如果系统的传递函数已知，则可以针对各种不同形式的输入量研究系统的输出或响应，以便掌握系统的性质。自动控制系统是由若干个典型环节组合而成的，典型环节包括比例环节，惯性环节，积分环节，微分环节，振荡环节，一阶比例微分环节，二阶比例微分环节，不稳定环节，延迟环节等。几个基本公式：--c(t)对控制信号r(t)的闭环传函记为,即

c(t)对扰动信号f(t)的闭环传函记为

ε(t)对控制信号r(t)的闭环传函记为

ε(t)对干扰信号f(t)闭环传函记为

若H(s)=1,

共同规律如下：

其分子等于对应所求的闭环传递函数的输入信号到输出信号所经过的传递函数的乘积，并赋以符号，其分母等于1加上开环传函。

若H(s)=1,

信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。（2）比较点（合成点、综合点）SummingPoint

两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。“+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写。2.3控制系统的方块图、信号流图控制系统的方块图是系统各元件特性、系统结构和信号流向的图解表示法。1.方块图元素

（1）方块（BlockDiagram）:表示输入到输出单向传输间的函数关系。注意：进行相加减的量，必须具有相同的量刚。(3)分支点（引出点、测量点）BranchPoint表示信号测量或引出的位置注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。2.几个基本概念及术语(1)前向通路传递函数--假设N(s)=0

打开反馈后，输出C(s)与R(s)之比。等价于C(s)与误差E(s)之比(2)反馈回路传递函数假设N(s)=0

主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。(3)开环传递函数Open-loopTransferFunction假设N(s)=0主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。(4)闭环传递函数Closed-loopTransferFunction假设N(s)=0

输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。推导：因为右边移过来整理得请记住**(5)误差传递函数假设N(s)=0

误差信号E(s)与输入信号R(s)之比。代入上式，消去G(s)即得：将即输出对扰动的结构图利用公式**，直接可得：

(6)输出对扰动的传递函数假设R(s)=0**（7）误差对扰动的传递函数假设R(s)=0

误差对扰动的结构图

利用公式**，直接可得：**3.结构图三种基本形式G1G2G2G1G1G2G1G2G1G2G1G1G21+串联并联反馈2相邻综合点可互换位置、可合并…结构图等效变换方法1三种典型结构可直接用公式3相邻引出点可互换位置、可合并…注意事项

1不是典型结构不可直接用公式

2引出点综合点相邻，不可互换位置引出点移动G1G2G3G4H3H2H1abG1G2G3G4H3H2H1G41请你写出结果,行吗？G2H1G1G3综合点移动G1G2G3H1错！G2无用功向同类移动G1G1G4H3G2G3H1作用分解H1H3G1G4G2G3H3H14.方块图的绘制（1）考虑负载效应分别列写系统各元部件的微分方程或传递函数，并将它们用方框（块）表示。（2）根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方块连接起来，便可得到系统的方块图。系统方块图-也是系统数学模型的一种。

5.信号流图及Mason公式例1:x2

=a12

x1

a12x1x2

a12x1x2方框图信号流图例2:x2=a12x1+a32x3

x3=a13x1+a23x2+a33x3

x4=a24x2+a34x3x1输入节点x4输出节点x2，x3中间节点（混合节点）EiEEoI1II2++－－由方框图到信号流图，有些中间变量可以不表示出来，如I1。有些中间变量（位于综合点前，有输出）必须表示出来，如Ei和E，用单位增益支路将它们分开。

G1

G2RE1UYE1+－+－1-111-