22人教版高中数学新教材选择性必修第一册-第二章-直线和圆的方程章末总结

第二章直线和圆的方程章末总结体系构建题型整合题型1直线的倾斜角与斜率例1已知直线l过P(−2,−1)，且与以A(−4,2)，B(1,3)为端点的线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围为.答案：(−∞,−3解析：根据题中的条件可画出图形，如图所示，由已知得直线PA的斜率kPA=−32，直线PB的斜率kPB=43，由图可知，当直线l由PB变化到与y轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90∘，故斜率的取值范围是[43,+∞)；当直线综上可知，直线l的斜率的取值范围是(−∞,−3方法归纳求直线的倾斜角与斜率的注意点：（1）求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断倾斜角的取值范围.（2）当直线的倾斜角α∈[0,π2)时，随着α的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角α∈(π2迁移应用1.（2021四川绵阳南山中学高二期中）经过点P(0,−1)作直线l，若直线l与以A(1,−2)，B(2,1)为端点的线段AB相交，则l的倾斜角的取值范围是()A.[0,π4]C.[3 π4答案：D解析：设直线l的斜率为k，倾斜角为α，由题意知kPA=−1−(−2)由图可知，−1≤k≤1，所以0≤α≤π4或题型2直线的方程及其应用例2（2021重庆十八中高二期中）已知点A(−1,0)和点B关于直线l：x+y−1=0对称.（1）若直线l1过点B，且使得点A到直线l1的距离最大，求直线（2）若直线l2过点A，且与直线l交于点C，△ABC的面积为2，求直线l答案：（1）设点B(m,n)，则−1+m2+n所以点A(−1,0)关于直线l：x+y−1=0对称的点B的坐标为(1,2).若直线l1过点B，且使得点A到直线l1的距离最大，则直线l1与过点A所以直线l1的斜率k=−1kAB=−1，故直线l（2）|AB|=(2−0)2所以△ABC的AB边上的高ℎ=2×222=2，又点C在直线l所以点C到直线AB的距离为2.易知直线AB的方程为y=x+1，设C(a,b)，则|a−b+1|2=2，即b=a−1或b=a+3，又b=1−a，解得a=1,则直线l2的方程为y=0或x=−1方法归纳求直线方程的两种方法：（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论.（2）待定系数法：设出含有参数的直线方程，由已知条件求出参数的值，即可得到所求直线方程.迁移应用2.（2021安徽宿州十三所重点中学高二期中）已知直线l：2x+3y+6=0.（1）求经过点P(2,−1)且与直线l平行的直线的方程；（2）求与直线l垂直，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3的直线方程.答案：（1）由题意可设所求直线的方程为2x+3y+λ=0(λ≠6).把点P(2,−1)代入得4−3+λ=0，即λ=−1，故所求直线的方程为2x+3y−1=0.（2）由题意可设所求直线的方程为3x−2y+m=0.令y=0，则x=−m令x=0，则y=m由题意知，12解得m=±6，故所求直线的方程为3x−2y−6=0或3x−2y+6=0.题型3与圆有关的最值问题例3已知M(m,n)为圆C：x2（1）求n−3m+2（2）求m2答案：（1）由题意知圆C的圆心为C(2,7)，半径r=22.记点Q(−2,3)∵n−3m+2表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y−3=k(x+2)，即∵直线MQ与圆C有公共点，∴|2k−7+2k+3|解得2−3∴n−3m+2的最大值为2+3（2）设μ=(m−0)则该式等价于点M(m,n)与原点的距离的平方，∴μμmin∴m2+n2方法归纳（1）求x−ay−b型的最大值和最小值可转化为求过点(x,y)和(a,b)的直线斜率的最大值和最小值；（2）求(x−a)2+(y−b)迁移应用3.（2021四川宜宾叙州二中高二月考）已知点(x,y)满足x2+yA.[−2,2C.[1,2]D.答案：A解析：设x+y=b，则圆心(0,0)到直线x+y=b的距离小于或等于半径，即|b|1解得−2故−2题型4直线与圆的综合问题例4（2021浙江湖州高二期中）如图，已知圆O:x2+y2=1，点P(t,4)为直线y=4上一点，过点P作圆（1）已知t=1，求切线方程；（2）直线MN是否过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由；（3）当t＞1时，两条切线分别交y轴于点A，B，连接OM，ON，记四边形PMON的面积为S1，三角形PAB的面积为S2，求答案：（1）当切线的斜率不存在时，切线方程为x=1，符合题意；当切线的斜率存在时，设切线方程为y−4=k(x−1)，即kx−y−k+4=0.由d=r得|4−k|k2+1=1，解得综上，切线方程为x=1或y=15（2）由题意得M，N在以点P为圆心，切线长PM为半径的圆上，则圆P：(x−t)联立得(x−t)2+(y−4)2=t所以直线MN过定点(0,1（3）连接PO，易知S1设lPM:y−4=k则A(0,4−k1t)，B(0,4−k2过点P作圆O的切线方程记为y−4=k(x−t)，即kx−y−kt+4=0，由d=r得|4−kt|k2+1=1，整理得(t所以k1+k则|k所以S2=t令m=t2−1当且仅当m=4，即t=5所以(S方法归纳解决平面几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决；二是将曲线中的最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用配方法、判别式法、函数单调性法以及基本不等式法求解.迁移应用4.已知圆O:x2+（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，且∠AOB=π2，求（2）若k=12，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，试问：直线答案：（1）根据题意，圆O的圆心为O(0,0)，半径r=2若直线l与圆O交于不同的两点A，B，且∠AOB=π2，则点O到l的距离d=22r=1（2）由题意可知O、P、C、D四点在以OP为直径的圆上，设P(t,12t−2)，则以OP即x2+y2−tx−(12t−2)y=0，又C、D在圆O：x2令x+y2=0,y+1=0,可得x=1题型5直线与圆的方程的应用例5（2021江苏南京田家炳高级中学高二检测）如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45∘方向且距O岛402千米处，B岛在O岛的正东方向且距O岛20千米处.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.圆C经过（1）求圆C的方程；（2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船在O岛的南偏西30∘方向且距O岛40千米的D处，正沿着北偏东45答案：（1）由题意得A(40,40)、B(20,0)，设过O、A、B三点的圆C的方程为x2则F=0,40解得D=−20，E=−60，F=0，所以圆C的方程为x2（2）由题意得D(−20,−203)，且该船的航线所在的直线故该船的航线为直线l：x−y+20−203由（1）知圆心为C(10,30)，半径r=1010因为圆心C到直线l的距离d=|10−30+20−20方法归纳直线与圆的方程的应用，一般先建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示点，把直线和圆看成满足某种条件的点的集合或轨迹，再用直线和圆上的点的坐标(x,y)满足的方程表示直线和圆，通过研究方程，解决实际问题.迁移应用5.树林的边界是直线l（如图CD所在的直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线AC上的点A和点B处，|AB|=|BC|=a（a为正常数），若兔子沿AD方向以速度2μ向树林逃跑，同时狼沿BM(M∈AD)方向以速度μ进行追击（μ为正常数），如果狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，那么狼就会吃掉兔子.（1）求兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积S(a)；（2）若兔子要想不被狼吃掉，求θ(θ=∠DAC)的取值范围.答案：（1）如图，建立平面直角坐标系，则A(0,2a)，B(0,a)，设M(x,y)，由|BM|μ≤|AM|∴M在以(0,2a3)∴S(a)=4（2）设lAD由兔子要想不被狼吃掉得|2a−2a解得k∈(−3∴0<∠ADC<π3，高考链接1.（2020课标Ⅰ文，6，5分）已知圆x2A.1B.2C.3D.4答案：B解析：根据题意，将圆的方程化为(x−3)2+y2=9，所以圆心为C(3,0)，半径为3，设P(1,2)，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点2.（2020北京，5，4分）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.7答案：A解析：设圆心为C(x,y)，则(x−3)2+(y−4)2=1，化简得(x−3)2+(y−4)2=1，所以圆心C的轨迹是以3.（2020课标Ⅱ理，5，5分）若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为()A.55B.255C.3答案：B解析：由题意可知该圆的圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(a,a)，则圆的半径为a，所以圆的标准方程为(x−a)由题意可得(2−a)整理得a2解得a=1或a=5，所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)，则圆心(1,1)到直线2x−y−3=0的距离d1=|2×1−1−3|5=所以圆心到直线2x−y−3=0的距离为254.（2020天津，12，5分）已知直线x−3y+8=0和圆x2+y2=r2(r＞0)相交于答案：5解析：圆心(0,0)到直线x−3y+8=0的距离由|AB|=2r2−d25.（2018江苏，12，5分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若AB⋅CD=0，则点A答案：3解析：设A(a,2a)(a＞0)，则由圆心C为AB的中点得C(a+5易得圆C：(x−5)(x−a)+y(y−2a)=0，与y=2x联立解得点D