第2章-控制系统的数学模型(他励直流电机)

2.1.2控制系统微分方程的建立找到控制系统的总输入量和最终的输出量，明确系统中各元件的连接方式和各自的工作原理;分别列写出各个典型元件的微分方程，组成方程组;消去所有中间变量，得到系统最终输入量和输出量的关系式,即为控制系统的微分方程。

测速发电机tacho-generator直流调速系统DCspeedcontrolsystem直流他励电动机DCseparatelyexcitedmotor直流他励发电机DCseparatelyexcitedgenerator常用词汇

例2-5直流调速系统(DCspeedcontrolsystem)当电动机的负载或电网电压变化时，由于系统的自动控制作用，电动机的转速能近似的维持不变。

解系统框图在列写元件和系统方程式前，首先要确定输入量和输出量。通常把与输出量有关的项写在方程式的左方，与输入量有关的项写在右方。

(1)放大器(amplifier)

假设无惯性

（2）直流他励发电机(DCseparatelyexcitedgenerator)

为分析简化起见，假设拖动发电机的原动机的转速恒定不变，发电机没有磁滞回线和剩磁。此外，还设发电机的磁化曲线为一直线，即

。

由电机学的原理得其中。把式(2-6)代入式(2-5)，于是得式中，（2-5）（2-6）（2-7）(3)直流他励电动机(DCseparatelyexcitedmotor)由基尔霍夫定律和牛顿第二定律得由上述三式中消去中间变量后，得式中,称为电动机的机电时间常数；称为电动机的电气时间常数；的量纲与时间的量纲相同。

(2-8)（4）测速发电机

测速发电机的磁场恒定不变。测速发电机发出的电压与转速成正比

(5)比较环节

(2-11)

(2-10)

系统方程:对整个系统而言，引起系统运动的外部因素是给定电压和负载转矩。其余的物理量均为中间变量，经消元后得

(2-12)END2.2非线性数学模型的线性化modeling建模mathematicalmodel数学模型differentialequation微分方程式nonlinear非线性的nonlinearity非线性linearization线性化Taylorseries泰勒级数常用词汇

•绝对的线性元件和线性系统不存在

非本质非线性

本质非线性

线性化:在满足一定条件的前提下，用近似的线性系统代替非线性方程。线性化的基本条件:非线性特性必须是非本质的，系统各变量对于工作点仅有微小的偏离。

微偏法:若非线性函数不仅连续，而且其各阶导数均存在，则由级数理论可知，可在给定工作点邻域将此非线性函数展开为泰勒级数，并略去二阶及二阶以上的各项，用所得的线性化方程代替原有的非线性方程。线性化的方法:设一非线性元件的输入为x、输出为y，它们间的关系如图所示，相应的数学表达式为

(2-13)

在给定工作点附近，将式（2-13）展开泰勒级数若在工作点附近增量的变化很小，则可略去式中项及其后面所有的高阶项，这样，上式近似表示为

(2-14)或写为式中，式（2-14）就是式（2-13）的线性化方程。

（2-14）

例子：直流他励发电机磁化曲线的线性化设发电机原工作于磁化曲线的A点。若令发电机的励磁电压增加，求其增量电动势的变化规律。若发电机在小（增量）信号励磁电压的作用下，工作点A的偏离范围便较小，从而可以通过A点作一切线CD，且依此切线CD近似地代替原有的曲线EAF。在平衡点A处，发电机的方程为当励磁电压增加后，则有（2-15）（2-16）（2-17）（2-18）

由式（2-17）减式（2-15），式（2-18）减去式（2-16）后得作上述相减的运算，消去了原平衡工作点A处各变量间的关系，使所求的式（2-19）、（2-20）中的变量均为增量，因而称这两个方程式为增量方程式。（2-19）（2-20）

增量方程只描述了发电机在平衡工作点A处受到增量励磁电压作用下的运动过程。对于式（2-19）、（2-20）而言，发电机励磁曲线的坐标原点不是在O点而是移至原平衡点A处。因此，发电机的初始条件变为零了。这样，不仅便于求解方程，而且也是我们以后研究控制系统时假设零初始条件的依据。需要注意的是，在式（2-19）中之所以不写作，而用表示，原因是那一段磁化曲线不是一直线，即，表示电感L不是一个常数，因而用反电动势来表示。

把磁化曲线在平衡工作点处展开为泰勒级数略去上式中项及其后面所有的高阶项，并令 则式（2-21）便简化为（2-21）或写作式中为平衡工作点A处的正切值。根据式（2-22），式（2-19）和式（2-20）可改写为其中，。（2-22）（2-23）（2-24）

描述自动控制系统运动的方程式实际上是增量方程式。为了书写简单起见，在实际应用过程中常把表示增量的符号“Δ”省去。去掉增量符号“Δ”后的上述两式，显然和式（2-5）、（2-6）具有完全相同的形式。

不难看出，随着发电机平衡工作点的不同，其时间常数和放大倍数也不同。由线性化引起的误差的大小与非线性的程度和工作点偏移的大小有关。

严格地说，经过线性化后的所得的系统微分方程式，只是近似地表征系统的运动情况。实践证明，对于绝大多数的控制系统，经过线性化后所得的系统数学模型，能以较高的精度反映系统的实际运动过程，所以线性化方法是很有实际意义的。

叠加原理：可叠加性和均匀性线性系统的基本特性当f(t)=f1(t)时，上述方程的解为x