第14章 勾股定理 综合检测

第14章勾股定理综合检测(满分100分，限时60分钟)一、选择题(每小题3分，共30分)1.如图，点E是正方形ABCD内一点，∠AEB=90°.若AE=2，BE=3，则正方形ABCD的面积为()A.10B.13C.36D.1692.(2023福建宁德博雅培文学校月考)如图，网格中小正方形的边长均为1，A、B为网格线的交点，则AB的长为()A.3B.5C.7D.123.(2023广东佛山南海瀚文外国语学校月考)下列各组数中，是勾股数的是()A.7，8，10B.8，24，25C.8，15，17D.5，10，134.(2023山东枣庄峄城东方国际学校月考)三角形的三边长为a，b，c，且满足(a+b)2=c2+2ab，则这个三角形是()A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形5.用反证法证明：若abc=0，则a，b，c至少有一个为0，应该假设()A.a，b，c没有一个为0B.a，b，c只有一个为0C.a，b，c至多一个为0D.a，b，c三个都为06.(2023山西太原实验中学月考)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是()A.3B.4C.5D.67.(2023山东聊城实验中学期中)如图，数轴上点A、B、C分别表示数1、2、3，过点C作PQ⊥AB，以点C为圆心，BC长为半径画弧，交PQ于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交数轴于点M，则点M表示的数是()A.3+1B.5+1C.3D.58.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6，则最大正方形E的面积是()A.20B.26C.30D.529.(2023福建宁德博雅培文学校月考)在△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上的高AD的长为12，则△ABC的面积为()A.84B.24C.24或84D.42或8410.美国数学家加菲尔德在1876年提出了证明勾股定理的一种巧妙方法，如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，E是边BC上一点，且BE=CD=a，AB=EC=b.如果△ABE的面积为1，且a-b=1，那么△ADE的面积为()A.1B.2C.2.5D.5二、填空题(每小题3分，共24分)11.(2022河南新乡原阳月考)用反证法证明“一个五边形不可能有4个内角为锐角”.第一步应假设.

12.在△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=24，则BC=.

13.如图，将两个完全相同的含30°角的直角三角板拼接在一起，拼接后得到△ABD.若BC=1，则AC=.

14.(2022福建漳州八中期中)若△ABC的三边长为a，b，c，且满足a-6+|b-8|+(c-10)2=0，则这个三角形为15.(2022河南三门峡灵宝期中)将没有公因数的勾股数3，4，5扩大为原来的2倍，3倍，4倍，……，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；……，我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你写出三组基本勾股数：，，.

16.如图，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，BC为底面直径，且点A、B、C位于同一轴截面，一只蚂蚁打算从点A处爬到点B处吃食物，则它要爬行的最短路程(π取3)是.

17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为ts，当t=时，△ABP为直角三角形.

18.图1是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽，主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，现把图2中的直角三角形继续作下去，则OA4=，OAn=；若OA3·OAn的值是整数，且1≤n≤80(n≠3)，则符合条件的n有个.

图1图2三、解答题(共46分)19.(6分)如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D是BC的中点，DE⊥AC，垂足为E，求DE的长.20.(6分)如图，已知△ABC中，AB=17cm，BC=13cm，D是AB上一点，连结CD，且CD=12cm，BD=5cm.求∠A的度数.21.(6分)如图所示的是某品牌婴儿车的简化结构示意图.根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB=CD=6dm，BC=3dm，AD=9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接(即∠ABD=90°)，通过计算说明该车是否符合安全标准.22.(8分)已知图中的小方格都是边长为1的小正方形.(1)如图1，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上，试判断△ABC的形状，并加以证明；(2)如图2，利用(1)的图形特征，求出∠α+∠β的度数.图1图223.(8分)钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化.如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口P出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行12海里，乙船每小时航行16海里，它们离开港口2小时后分别位于点Q、R处，且相距40海里，如果知道甲船沿北偏东75°方向航行，那么你知道乙船沿哪个方向航行吗?请说明理由.24.(12分)图甲是一个任意直角三角形ABC，它的两条直角边的长分别为a，b，斜边长为c.如图乙、丙，分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内.图甲图乙图丙(1)图乙、丙中①②③都是正方形，由图可知①是以为边长的正方形，②是以为边长的正方形，③是以为边长的正方形；

(2)图乙中①的面积为，②的面积为，图丙中③的面积为；

(3)图乙中①②的面积之和为(用只含一个字母的代数式表示)；

(4)图乙中①②的面积之和与图丙中正方形③的面积有什么关系?为什么?直角三角形三边长有什么关系?

第14章勾股定理综合检测答案全解全析一、选择题1.B∵∠AEB=90°，∴AB2=AE2+BE2=22+32=13，∴正方形ABCD的面积=AB2=13，故选B.2.BAB=32+423.CA.∵72+82≠102，∴不是勾股数，不符合题意；B.∵82+242≠252，∴不是勾股数，不符合题意；C.∵82+152=172，且8，15，17都是整数，∴是勾股数，符合题意；D.∵52+102≠132，∴不是勾股数，不符合题意.故选C.4.C化简(a+b)2=c2+2ab，得a2+b2=c2，所以这个三角形是直角三角形，故选C.5.A反证法证明：若abc=0，则a，b，c至少有一个为0，应该假设a，b，c没有一个为0，故选A.6.A∵∠A=90°，AB=4，BD=5，∴AD=52∵BD平分∠ABC，∴点D到BC的距离=AD=3.故选A.7.B根据数轴可知，AC=3-1=2，BC=CD=3-2=1，由勾股定理得，AD=22∴AM=AD=5，设原点为O，∵点A表示的数为1，∴AO=1，∴OM=5+1，故选B.8.B根据勾股定理的几何意义，可得最大正方形E的面积=A、B的面积和+C、D的面积和，即6+10+4+6=26.故选B.9.C解题时想当然认为此三角形是锐角三角形而导致漏解.分两种情况：①△ABC为锐角三角形时，高AD在△ABC的内部，如图1，∴BD=AB2∴△ABC的面积=12图1图2②△ABC为钝角三角形时，高AD在△ABC的外部，如图2，∴BD=AB2∴△ABC的面积=12综上，△ABC的面积为24或84.故选C.10.C∵AB∥CD，∠B=90°，∴∠C=∠B=90°，∵BE=CD=a，AB=EC=b，∴△ABE≌△ECD，∴AE=DE，∠AEB=∠EDC，∵∠EDC+∠DEC=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠AED=90°，∴△AED是等腰直角三角形，∴△ADE的面积=12AE2∵△ABE的面积为1，∴12ab=1，∴ab=2∵a-b=1，∴(a-b)2=a2+b2-2ab=1，∴a2+b2=5，AE2=AB2+BE2=a2+b2=5，∴△ADE的面积=12×5=2.5，故选二、填空题11.答案一个五边形中有4个内角为锐角解析假设原结论不成立，即一个五边形中有4个内角为锐角.12.答案7解析由勾股定理得BC=AB13.答案3解析由题意得AB=AD，∴△ABD是等腰三角形.又∵∠BAC=∠CAD=30°，∴BD=2BC，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB=BD=2BC，∵BC=1，∴AB=2.在Rt△ABC中，AC=AB14.答案直角三角形解析∵a-6+|b-8|+(c-10)2=0，∴a=6，b=8，∴c2=a2+b2，∴这个三角形是直角三角形.15.答案5，12，13；8，15，17；9，40，41(答案不唯一)解析所给答案中，每组应为三个没有公因数的正整数，且满足a2+b2=c2.16.答案10cm解析沿AC将侧面展开如图所示，由两点之间线段最短可知，蚂蚁要爬行的最短路程是AB的长.易知圆柱的半个侧面是长方形，长方形的宽BC=12×2×2π=2π=6cm，矩形的长AC=8cm在直角三角形ABC中，AC=8cm，BC=6cm，根据勾股定理得AB=62+所以蚂蚁要爬行的最短路程是10cm.17.答案2或25解析在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，AC=3cm，∴BC=AB2由题意知BP=2tcm.①当∠APB为直角时，如图1，点P与点C重合，此时BP=BC=4cm，即2t=4，∴t=2；②当∠BAP为直角时，如图2，CP=(2t-4)cm，∵AC=3cm，∴在Rt△ACP中，AP2=32+(2t-4)2，∵在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2，∴52+[32+(2t-4)2]=(2t)2，解得t=258综上所述，当t=2或258时，△ABP为直角三角形故答案为2或258图1图218.答案2；n；4解析由勾股定理得OA2=OA12+A1A22=12+12∴OA3·OAn=3n，当1≤n≤80(n≠3)，且3n为整数时，整数n有12、27、48、75，共4个.三、解答题19.解析在△ABC中，AB=AC=13，D是BC的中点，∴DC=12BC=5，AD⊥在Rt△ADC中，由勾股定理得AD=AC∴Rt△ADC的面积为12AD×DC=∴12×12×5=12DE·13，解得DE=20.解析∵BC=13cm，CD=12cm，BD=5cm，52+122=132，∴BD2+CD2=BC2，∴△BCD为直角三角形，∠BDC=90°，∴∠ADC=90°.∵AB=17cm，BD=5cm，∴AD=12cm=CD，∴∠A=∠ACD=180°-21.解析在Rt△ABD中，BD2=AD2-AB2=92-62=45，在△BCD中，BC2+CD2=32+62=45，∴BC2+CD2=BD2，∴△BCD为直角三角形，∠BCD=90°，∴BC⊥CD.故该车符合安全标准.22.解析(1)△ABC是等腰直角三角形.证明：由勾股定理得，AB2=12+22=5，BC2=12+22=5，AC2=12+32=10，∴AB2+BC2=AC2，AB=BC，∴△ABC是等腰直角三角形.(2)作辅助线如图.由(1)可知△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，易知∠1=∠α，∴∠α+∠β=∠1+∠β=45°.23.解析乙船沿南偏东15°方向航行.理由：由题意可得∠APQ=75°，PQ=12×2=24(海里)，PR=16×2=32(海里)，在△PQR中，∵PQ2+PR2=242+322=1600，QR2=4