第13章 全等三角形 综合检测

第13章全等三角形综合检测(满分100分，限时60分钟)一、选择题(每小题3分，共30分)1.(2023山东青岛五十三中期末)下列语句属于命题的是()A.你今天打卡了吗?B.请戴好口罩!C.画出两条相等的线段D.同位角相等2.如图，AC与BD相交于点O，∠D=∠C，添加下列哪个条件后，仍无法证明△ADO≌△BCO()A.AD=BCB.AC=BDC.OD=OCD.∠ABD=∠BAC3.(2023海南东方期末)下列命题中是假命题的是()A.同旁内角互补，两直线平行B.若直线a⊥b，则a与b的夹角为直角C.如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角D.若a∥b，a⊥c，则b⊥c4.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于()A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm5.(2022广西百色中考)如图，根据尺规作图痕迹，下列结论不一定成立的是()A.∠B=45°B.AE=EBC.AC=BCD.AB⊥CD6.如图，E是∠AOB的平分线上的一点，EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D，连结CD，若∠ECD=25°，则∠AOB=()A.50°B.45°C.40°D.25°7.(2022四川南充期末)如图，点B，C，E在同一直线上，且AC=CE，∠B=∠D=90°，AC⊥CD，下列结论不一定成立的是()A.∠A=∠2B.∠A+∠E=90°C.BC=DED.∠BCD=∠ACE8.(2023山东泰安泰山期末)如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是()A.AF=BFB.∠AFD+∠FBC=90°C.DF⊥ABD.∠BAF=∠CAF9.如图，已知点P是射线OD上一动点(不与O重合)，∠AOD=30°，当△AOP为等腰三角形时，∠A的度数为()A.120°B.30°或75°C.30°或75°或120°D.120°或75°或45°或30°10.如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4，……，若∠A=70°，则∠An-1AnBn-1的度数为()A.70°2n-1B.70二、填空题(每小题3分，共24分)11.命题“若a=2，则a=4”的逆命题是.12.将一条长为24cm的细线围成一边长为9cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为.13.(2023北师大附中月考)如图，已知∠1=∠2，请你添加一个条件，使得△ABD≌△ACD，添加的条件可以为.(添加一个即可)14.(2023福建泉州永春五中期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，ED⊥AB于点D，BD=BC，若AC=10cm，则AE+DE=.15.(2022山东潍坊昌乐期中)如图，△ABC中，∠B=32°，∠BCA=78°，根据尺规作图的作图痕迹，得∠α=.

16.(2022北京海淀外国语实验学校期中)如图所示的是由6个边长相等的正方形组成的图形，∠1+∠2+∠3=.

17.(2022福建福州延安中学期中)如图，△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动，当点Q的运动速度为时，能够使△BPD与△CQP全等.

18.(2023吉林长春吉大附中月考)如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，且AD=6，E是AC边的中点，M是AD边上的动点，则EM+CM的最小值是.

三、解答题(共46分)19.(2023北师大附中月考)(6分)马小虎在整理八年级的数学资料时，找到了一张残缺的试卷，剩下的部分如图1所示，他发现△ABC只留下一条完整的边BC和一个完整的角∠B，请你帮助他还原△ABC.要求在图2中尺规作图，保留作图痕迹，保留作法.图1图220.(2023吉林长春南关期末)(6分)如图，在△ABC中，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E.(1)求证：△BED是等腰三角形；(2)若∠A=36°，直接写出图中所有顶角是锐角的等腰三角形.21.(6分)如图，已知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，点B，D，E在同一条直线上.(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系，并证明；(3)当AD∥EC时，直接写出α的度数.22.(2023吉林长春一零八学校期中)(8分)如图，点P是∠BAC的平分线AD上的一点，AC=9，AB=5，PB=3，求PC长的取值范围.23.(2022山西太原期末)(9分)如图，直线l与m分别是△ABC的边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E.(1)若AB=10，则△CDE的周长是多少?为什么?(2)若∠ACB=125°，求∠DCE的度数.24.(11分)(1)【问题发现】如图①，在△ABC中，AC=BC，D、E分别在AC、BC上，若CD=CE，则△CDE和△CAB是顶角相等的等腰三角形，连结AE、BD，则∠AEB、∠C、∠CAE之间的数量关系是，AD与BE的数量关系是；

(2)【类比探究】如图②，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连结BE.试求∠AEB的度数及AD与BE的数量关系；(3)【拓展延伸】如图③，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连结BE.请猜想∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由；(4)【解决问题】在(3)的条件下，若BE=4，CM=3，求四边形ABEC的面积.图①图②图③

第13章全等三角形综合检测答案全解全析一、选择题1.DA是疑问句，未作出判断，不是命题；B是祈使句，未作出判断，不是命题；C是描述性语句，未作出判断，不是命题；D符合命题的概念，故本选项正确.故选D.2.B添加AD=BC，根据A.A.S.可证明△ADO≌△BCO；添加AC=BD，不能证明△ADO≌△BCO；添加OD=OC，根据A.S.A.可证明△ADO≌△BCO；添加∠ABD=∠BAC，得OA=OB，根据A.A.S.可证明△ADO≌△BCO.故选B.3.C如果两个角互补，那么这两个角可能都为90°，所以C选项中命题为假命题.故选C.4.B∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，∴EC=DE，∴AE+DE=AE+EC=AC=3cm.故选B.5.A由作图痕迹得直线CD是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE，AC=BC，AB⊥CD.故B、C、D选项中的结论成立.无法得到∠B=45°，故A选项中的结论不一定成立.故选A.6.A∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，∴ED=EC，∴∠EDC=∠ECD=25°，∵∠ODE=∠OCE=90°，∴∠ODC=∠OCD=65°，∴∠AOB=180°-∠ODC-∠OCD=50°，故选A.7.D∵AC⊥CD，∴∠ACD=90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠B=90°，∴∠1+∠A=90°，∴∠2=∠A，故A中结论成立.在△ABC和△CDE中，∠B=∠D,∴△ABC≌△CDE(A.A.S.)，∴BC=DE，∠1=∠E，∵∠2+∠E=90°，∴∠A+∠E=90°，故B，C中结论成立.无法得到∠BCD=∠ACE，故D中结论不一定成立.故选D.8.D由作图痕迹可知DF垂直平分线段AB，BE平分∠ABC，∴FA=FB，DF⊥AB，∠FBC=∠FBD，∴∠AFD=∠BFD，∵∠FBD+∠BFD=90°，∴∠AFD+∠FBC=90°，故选项A，B，C中说法正确，由已知条件无法得到∠BAF=∠CAF，故选项D中说法不一定正确.故选D.9.C解决此题时易因没有考虑等腰三角形腰的情况而漏解.分三种情况：①当OA=OP时，∠A=∠OPA=12(180°-∠O)=12②当AO=AP时，∠APO=∠O=30°，∴∠A=180°-∠O-∠APO=120°；③当PO=PA时，∠A=∠O=30°.综上所述，当△AOP为等腰三角形时，∠A=30°或75°或120°.故选C.10.A∵∠A=70°，AB=A1B，∴∠BA1A=∠A=70°，∵A1A2=A1B1，∴∠B1A2A1=∠A1B1A2，∵∠BA1A是△A1A2B1的外角，∴∠B1A2A1=∠BA同理可得∠B2A3A2=12∠B1A2A1=70°22，∠B3A4A3=12∠B2A3A2∴∠An-1AnBn-1=70°2故选A.二、填空题11.答案若a=4，则a=2解析将原命题的条件、结论互换位置即可.12.答案9cm或7.5cm解析分两种情况：当9cm为等腰三角形的腰长时，底边长=24-9×2=6cm，∴三角形的三边长分别为9cm，9cm，6cm，能组成三角形；当9cm为等腰三角形的底边长时，腰长=12×(24-9)=7.5cm∴三角形的三边长分别为7.5cm，7.5cm，9cm，能组成三角形.综上所述，该等腰三角形的腰长为9cm或7.5cm.13.答案AB=AC(答案不唯一)解析添加AB=AC，在△ABD和△ACD中，∵AB=AC，∠1=∠2，AD=AD，∴△ABD≌△ACD(S.A.S.).(答案不唯一)14.答案10cm解析∵DE⊥AB于点D，∴∠BDE=90°，在Rt△BDE和Rt△BCE中，BE=BE,∴Rt△BDE≌Rt△BCE(H.L.)，∴ED=CE，∴AE+DE=AE+CE=AC=10cm.15.答案81°解析∵∠B=32°，∠BCA=78°，∴∠BAC=70°，由作图痕迹可知，AD是∠BAC的平分线，直线EF是线段BC的垂直平分线，∴∠CAD=12∠BAC=35°，BF=CF∴∠BCF=∠B=32°，∴∠ACF=∠ACB-∠BCF=46°，∴∠α=∠CAD+∠ACF=81°.16.答案135°解析如图，根据题意得DE=BC，EC=AB，GF=GC，∠DEC=∠ABC=∠FGC=90°，∴△CGF为等腰直角三角形，∴∠2=45°，在△ABC和△CED中，AB=CE,∴△ABC≌△CED(S.A.S.)，∴∠1=∠DCE，∵∠DCE+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°，∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°.17.答案3cm/s或154解析设点Q的运动速度为xcm/s，运动的时间为ts，则BP=3tcm，CQ=xtcm，∴PC=(8-3t)cm，∵点D为AB的中点，∴BD=5cm，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴当BD=CP，BP=CQ时，△BDP≌△CPQ，即5=8-3t，3t=xt，解得t=1，x=3；当BD=CQ，BP=CP时，△BDP≌△CQP，即5=xt，3t=8-3t，解得t=43综上所述，点Q的运动速度为3cm/s或15418.答案6解析∵三角形ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴BD=CD，∴直线AD是线段BC的垂直平分线，连结BM，如图所示，则BM=CM，∴EM+CM=EM+BM，根据“两点之间，线段最短”可知，当B，M，E三点共线时，EM+BM的值最小，为BE的长.∵E是AC的中点，∴BE是等边三角形ABC的边AC上的高，∴BE=AD=6，∴EM+BM的最小值为6，即EM+CM的最小值是6.三、解答题19.解析分别以点B、C为圆心，大于12BC长为半径画圆弧，两弧相交于两点，连结这两个点，交∠B的边(非BC所在的边)于一点A，连结AC，△ABC即为所求，如图所示20.解析(1)证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵ED∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∴∠ABD=∠EDB，∴EB=ED，∴△BED是等腰三角形.(2)△ABC，△BDC，△AED是顶角为锐角的等腰三角形.理由：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=12(180°-∠A)=72°∵DE∥BC，∴∠AED=∠ABC=72°，∠ADE=∠C=72°，∴∠AED=∠ADE.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=36°∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°，∴∠C=∠BDC=72°，∴BD=BC，∴△ABC，△BDC，△AED是顶角为锐角的等腰三角形.21.解析(1)证明：∵∠BAC=∠DAE=α，∴∠1+∠DAC=∠DAC+∠CAE，∴∠1=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC,∴△ABD≌△ACE(S.A.S.).(2)∠3=∠2+∠1.证明：∵△ABD≌△ACE，∴∠2=∠ABD，∵∠3=∠ABD+∠1，∴∠3=∠2+∠1.(3)∵AD∥EC，∴∠3=∠BEC，∵AD=AE，∴∠3=∠AED，∴∠DAE=180°-2∠3，∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC=180°-∠3，∴∠BEC=∠AEC-∠AED=180°-2∠3=∠DAE=α，∴∠AED=∠3=∠BEC=∠DAE=α，∵∠3+∠AED+∠DAE=180°，∴3α=180°，∴α=60°.22.解析在AC上截取AE=AB，连结PE，如图，∵AC=9，∴CE=AC-AE=AC-AB=9-5=4，∵点P是∠BAC的平分线AD上的一点，∴∠CAD=∠BAD，在△APE和△APB中，AE=AB,∴△APE≌△APB(S.A.S.)，∴PE=PB=3，∵4-3<PC<4+3，∴1<PC<7.23.解析(1)△CDE的周长为10.理由：∵直线l与m分别是△ABC的边AC和BC的垂直平分线，∴AD=CD，BE=CE，∴△CDE的周长=CD+DE+CE=AD+DE+BE=AB=10.(2)∵AD=CD，BE=CE，∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，∵∠ACB=125°，∴∠A+∠B=180°-125°=5