19.9.4 勾股定理 同步练习

19.9.4勾股定理【夯实基础】一、填空题1．（2019·上海外国语大学秀洲外国语学校八年级期中）如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D为BC中点，DE⊥AB于E，则DE=_____．2．（2021·上海市蒙山中学八年级期中）在中，，，作，垂足为，将沿着直线翻折得到，如果，那么的长是___________．3．（2022·上海·八年级专题练习）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图2，第二步，将纸片沿折叠，点落在处，如图3．当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为__________．4．（2022·上海·八年级单元测试）如图，已知在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，AB//CD，AD//BC，∠D=60°，点E、F分别在边AB、BC上，将△BEF沿着直线EF翻折，点B恰好与边AD的中点G重合，则BE的长等于____________．5．（2022·上海奉贤区阳光外国语学校八年级期中）已知点D是△ABC边AB的中点，G是CD上一点，且2GD=CG，GA=10，GC=8，GB=6，将△ADG绕点D顺时针方向旋转180°得到△BDE，则△EBC的面积为_________．6．（2021·上海·八年级专题练习）如图，在中，，，，，将点折叠到点处，折痕为，则的长度________.7．（2021·上海·奉教院附中八年级期末）如图．在中，，，以直角顶点为圆心，长为半径画弧交于点，过点作于点，若，则的周长用含的代数式表示为_______________．8．（2021·上海·八年级专题练习）已知在直角坐标平面内有两点，．试在轴上再找一点，使得三角形为等腰三角形，则点的坐标是_____．9．（2021·上海民办华曜宝山实验学校八年级阶段练习）在△ABC中，AB＝AC＝12，∠A＝30°，点E是AB中点，点D在AC上，DE＝3，将△ADE沿着DE翻折，点A的对应点是点F，直线EF与AC交于点G，那么△DGF的面积＝_____．10．（2021·上海市建平实验中学八年级期末）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，D是边AB上的一点，将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点B1的位置，若B1D⊥BC，则BD的长度为_____．11．（2021·上海虹口·八年级期末）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，若Rt△ABC是特征三角形，∠A是特征角，BC＝6，则Rt△ABC的面积等于_____．12．（2021·上海市莘光学校八年级期中）如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝3，ON＝4，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是___．二、解答题13．（2021·上海市洋泾菊园实验学校八年级期末）已知，如图，在△ABC中，∠B＝60°，BC＝4．（1）尺规作图：求作一点P，使点P到点B、C的距离相等，同时P到边BA、BC的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求出点P到点B的距离．14．（2021·上海·八年级专题练习）已知点A（2，0），B(2，2)和C（3，1），判断的形状，并求出的面积．15．（2021·上海·八年级专题练习）已知：如图，，点在上，．（1）求作线段的垂直平分线，交于点；（2）联结，求作的角平分线；（3）根据（1）（2）的条件，求的长．（第（1）、（2）题保留作图痕迹，不需要写出作图步骤）16．（2021·上海·八年级专题练习）如图1，在中，，是的中点是射线上一个动点，联结，过点作的垂线，交射线于．（1）如图2，如果点与点重合，求证：；（2）如图3，如果，求的长；（3）设，求关于的函数关系式，并写出的取值范围．17．（2021·上海·八年级期中）如图，已知在中，，，，在线段上有动点，在射线上有动点，且，联结交于点．（1）当点在边（与点、不重合）上，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你的结论．（2）过点作边的垂线，垂足为点，随着、两点的移动，线段的长能确定吗？若能确定，请求出的长；若不能确定，请说明理由．18．（2021·上海市建平实验中学八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D、E在线段AB上．（1）如图1，若CD＝CE，求证：AD＝BE；（2）如图2，若∠DCE＝45°，求证：DE2＝AD2+BE2；（3）如图3，若点P是△ABC内任意一点，∠BPC＝135°，设AP＝a、BP＝b、CP＝c，请直接写出a，b，c之间的数量关系．19．（2021·上海虹口·八年级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠ABC的平分线与线段AC交于点D，且有AD＝BD，点E是线段AB上的动点（与A、B不重合），联结DE，设AE＝x，DE＝y．（1）求∠A的度数；（2）求y关于x的函数解析式（无需写出定义域）；（3）当△BDE是等腰三角形时，求AE的长．20．（2021·上海浦东新·八年级期末）已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC边上一动点（与点B不重合），连接AD，以AD始边作∠DAE＝α（0°＜α＜180°）．(1)如图1，当α＝90°，且AE＝AD时，试说明CE和BD的位置关系和数量关系；(2)如图2，当α＝45°，且点E在边BC上时，求证：BD2+CE2＝DE2．【能力提升】一、填空题1．（2022·上海复旦五浦汇实验学校八年级期末）如图，在等腰直角中，，，将沿某直线翻折，使得点落在的中点上，如果折痕与的交点为，那么的长为______．2．（2022·上海·测试·编辑教研五八年级期末）如图，在中，，，，是的中线，将沿直线翻折，点是点的对应点，点是线段上的点，如果，那么______．3．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在等边中，，，，点从点出发沿方向运动，连接，以为边，在的右侧按如图所示的方式作等边，当点从点运动到点时，点运动的路径长是__．4．（2022·上海·八年级期末）已知，在△ABC中，BC=3，∠A=22.5°，将△ABC翻折使得点B与点A重合，折痕与边AC交于点P，如果AP=4，那么AC的长为_______二、解答题5．（2022·上海·测试·编辑教研五八年级期末）梯形中，，，，，点是中点，过点作的垂线交射线于点，的角平分线交射线于点，交直线于点．(1)当点与点重合时，求的长；(2)若点在线段上，，，求关于的函数关系式，并写出函数定义域；(3)联结、，当是以为腰的等腰三角形时，求的长．6．（2022·上海·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=，点D是边AB的中点，点E是边AC上一个动点，作线段DE的垂直平分线分别交边AC、BC于点M、N，设AM=x，ME=y．(1)当点E与点C重合时，求ME的长；(2)求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)当MN经过△ABC一边中点时，请直接写出ME的长．7．（2022·上海·八年级期末）已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，左右作平行移动的等边三角形DEF的两个顶点E、F始终在边BC上，DE、DF分别与AB相交于点G、H．(1)如图1，当点F与点C重合时，点D恰好在斜边AB上，求△DEF的周长；(2)如图2，在△DEF作平行移动的过程中，图中是否存在与线段CF始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由；(3)假设C点与F点的距离为x，△DEF与△ABC的重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出定义域．8．（2022·上海·八年级单元测试）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AB=10，点F是AB中点，点D是射线CB上的一个动点，△ADE是等边三角形，联结EF．(1)当点D在线段CB上时，①求证：△AEF≌△ADC；②联结BE，设C、D间距离为x，，求y关于x的函数解析式及定义域；(2)当∠DAB=15°时，求△ADE的面积（直接写出答案）．9．（2022·上海市风华初级中学八年级期末）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝4，BC＝6，点P为边BC上的一个动点（不与点B、C重合），点P关于直线AB的对称点为点Q，联结PQ、CQ，PQ与边AB交于点D．(1)求∠B的度数；(2)联结BQ，当∠BQC＝90°时，求CQ的长；(3)设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域．10．（2022·上海·八年级开学考试）如图1所示，已知△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=，点D在射线BC上，以点D为圆心，BD为半径画弧交AB边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G．(1)求证：EA=EG；(2)若点G在线段AC延长线上时，设BD=x，FC=y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；(3)联结DF，当△DFG是等腰三角形时，请直接写出BD的长度．11．（2022·上海市南洋模范中学八年级期末）如图，在中，，，，是边上不与点、重合的任意一点，，垂足为点，是的中点．(1)求证：；(2)如果设，，求与的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)当的面积为时，求的值．

19.9.4勾股定理（解析版）【夯实基础】一、填空题1．（2019·上海外国语大学秀洲外国语学校八年级期中）如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D为BC中点，DE⊥AB于E，则DE=_____．【答案】【详解】解：连接AD，因为AB=AC=13，所以AD⊥BC，由勾股定理可得AD=12，根据面积相等得：12×5=13×DE，所以DE=．故答案为：2．（2021·上海市蒙山中学八年级期中）在中，，，作，垂足为，将沿着直线翻折得到，如果，那么的长是___________．【答案】【分析】根据折叠可得，再根据直角三角形的勾股定理即可求得答案．【详解】解：∵将沿着直线翻折得到，∴，∴，∵，，∴，又∵，，∴在中，，故答案为：．【点睛】本题考查了折叠的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解决本题的关键．3．（2022·上海·八年级专题练习）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图2，第二步，将纸片沿折叠，点落在处，如图3．当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为__________．【答案】或【分析】因为点恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当落在边上和边上两种情况分析，根据勾股定理求解即可．【详解】解：当落在边上时，如图（1）：设交于点，由折叠知：，，，，，设，则在中，在中，即．当落在边上时，如图（2）因为折叠，．故答案为：或【点睛】本题考查了轴对称变换，勾股定理，直角三角形中的性质，正确的作出图形是解题的关键．4．（2022·上海·八年级单元测试）如图，已知在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，AB//CD，AD//BC，∠D=60°，点E、F分别在边AB、BC上，将△BEF沿着直线EF翻折，点B恰好与边AD的中点G重合，则BE的长等于____________．【答案】【分析】过G作GH⊥BA交BA延长线于H，AB//CD，∠D=60°，∠HAG=60°，利用所对的直角边等于斜边的一半求出AH=1，HG=后再在中利用勾股定理求出GE的长即BE的长．【详解】解：如图所示，过G作GH⊥BA交BA延长线于H，∵△BEF沿着直线EF翻折后得到△GEF，∴BE=GE，∵AB//CD，∠D=60°，∴∠HAG=60°，∴∠AGH=30°，∵AG=GD=2，∴AH=1，HG=，设BE=GE=，则EH=，在中，，解得；故答案为：．【点睛】本题主要考查翻折的性质、平行线的性质、直角三角形的性质及勾股定理，正确构造直角三角形是解决本题的关键．5．（2022·上海奉贤区阳光外国语学校八年级期中）已知点D是△ABC边AB的中点，G是CD上一点，且2GD=CG，GA=10，GC=8，GB=6，将△ADG绕点D顺时针方向旋转180°得到△BDE，则△EBC的面积为_________．【答案】48【分析】2GD=CG，GC=8，得出，根据旋转的性质得出DE=GD=4，AG=BE=10，从而得出，根据勾股定理的逆定理得出△BGE是直角三角形，得出∠BGE=90°，即可得出∠BGC=90°，根据直角三角形的面积公式算出面积，进而得出答案即可．【详解】解：∵2GD=CG，GC=8，∴，∵将△ADG绕点D顺时针方向旋转180°得到△BDE，∴DE=GD=4，AG=BE=10，∴，∵BG=6，∴，∴△BGE是直角三角形，∴△BGE的面积为：×6×8=24，∵∠BGE=90°，∴∠BGC=90°，∴△BGC的面积为：×6×8=24，∴△EBC的面积为：．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，旋转的性质及直角三角形的性质，理解题意，熟练掌握运用旋转的性质是解题关键．6．（2021·上海·八年级专题练习）如图，在中，，，，，将点折叠到点处，折痕为，则的长度________.【答案】【分析】根据折叠原理得出，再根据勾股定理求解即可.【详解】由折叠原理可知：设则根据勾股定理得：∴解得即故填：.【点睛】本题主要考查图形的翻折、勾股定理、解方程，根据勾股定理列出方程是关键.7．（2021·上海·奉教院附中八年级期末）如图．在中，，，以直角顶点为圆心，长为半径画弧交于点，过点作于点，若，则的周长用含的代数式表示为_______________．【答案】【分析】根据“，”可知∠B=60°，根据“以直角顶点为圆心，长为半径画弧交于点”可知△ABD是等边三角形，∠BAD=60°，继而可知∠DAE=30°，利用直角三角中30°所对的边是斜边的一半，即可知AB和BC的长，再利用勾股定理即可求出AC的长，从而可得周长.【详解】∵中，，∴∠B=60°，BC=2AB∵以直角顶点为圆心，长为半径画弧交于点，∴AB=AD∵∠B=60°∴△ABD是等边三角形∴∠BAD=60°，∴∠DAE=30°，又∵DE⊥AC∴△ADE是直角三角形∴AD=2DE=2a∴AB=2a，BC=4a根据勾股定理有∴∴△ABC的周长=AB+AC+BC=故答案为.【点睛】本题考查的是含有30°角的直角三角形和勾股定理，能够根据含有30°角的直角三角形相关性质和勾股定理求出三边的长是解题的关键.8．（2021·上海·八年级专题练习）已知在直角坐标平面内有两点，．试在轴上再找一点，使得三角形为等腰三角形，则点的坐标是_____．【答案】，，，【分析】以B为圆心，AB长为半径作弧；以A为圆心，AB长为半径作弧；作AB的垂直平分线，即可得到点C可能的不同位置，依据两个顶点的坐标分别为A(5，3)，B(1，0)，即可得到第三个顶点C的坐标．【详解】解：如图所示，∵A(5，3)，B(1，0)，∴AB=5，以B为圆心，AB长为半径作弧，交x轴于C1和C2，则BC1=BC2=5，∴OC1=-4，OC2=6，∴C1(-4，0)，C2(6，0)；以A为圆心，AB长为半径作弧，交x轴于C3，则BE=EC3=4，∴OC3=9，∴C3(9，0)，作AB的垂直平分线，交x轴于C4，则BD=2.5，设C4(x，0)，则BC4=x-1，EC4=5-x，∵BC4=AC4，∴，解得x=，∴C4(，0)；综上所述，点C可能的不同位置有4个，坐标为(-4，0)，(6，0)，(9，0)，(，0)．故答案为：(-4，0)，(6，0)，(9，0)，(，0)．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，坐标与图形的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，特别是分类讨论思想的应用，不要漏解．9．（2021·上海民办华曜宝山实验学校八年级阶段练习）在△ABC中，AB＝AC＝12，∠A＝30°，点E是AB中点，点D在AC上，DE＝3，将△ADE沿着DE翻折，点A的对应点是点F，直线EF与AC交于点G，那么△DGF的面积＝_____．【答案】6或6+9【分析】分两种情况：①如图1，当点D在H点上方时，过点E作EH⊥AC交AC于点E，过点G作GQ⊥AB交AB于点Q，②如图2，当点D在H点下方时，过点E作EH⊥AC交AC于点E，过点G作GQ⊥AB交AB于点Q，先求出三角形AEG的AE边上的高GQ和三角形ADE的AD边上的高，根据S△DGF＝2S△AED﹣S△AEG可分别求出答案．【详解】解：①如图1，当点D在H点上方时，过点E作EH⊥AC交AC于点E，过点G作GQ⊥AB交AB于点Q，∵AB＝12，点E是AB的中点，∴AE＝AB＝6，∵EH⊥AC，∴∠AHE＝90°，∵∠A＝30°，AE＝6，∴AH＝＝＝3，∵DE＝3，∴DH＝＝＝3，∴DH＝EH，AD＝AH﹣DH＝3﹣3，∴∠EDH＝45°，∴∠AED＝∠EDH﹣∠A＝15°，由折叠的性质可知，∠DEF＝∠AED＝15°，∴∠AEG＝2∠AED＝30°，∴∠AEG＝∠A，∴AG＝GE，∵GQ⊥AE，∴AQ＝AE＝3，∵∠A＝30°，∴GQ＝AG，∴GQ2+32＝（2GQ）2，∴GQ＝．∵S△AED＝S△FED，∴S△DGF＝2S△AED﹣S△AEG，∴S△DGF＝2××3﹣＝6﹣9．②如图2，当点D在H点下方时，过点E作EH⊥AC交AC于点E，过点G作GQ⊥AB交AB于点Q，∵AB＝12，点E是AB的中点，∴AE＝AB＝6，∵EH⊥AC，∴∠AHE＝90°，同理求得DH＝EH，AH＝3，AD＝3+3，∴∠DEH＝45°，∴∠AED＝90°﹣∠A+∠DEH＝105°，由折叠的性质可得出∠DEF＝∠AED＝105°，∴∠AEG＝2∠AED﹣180°＝30°，∴∠AEG＝∠A，∴AG＝GE，同①求出GQ＝，∵S△DGF＝2S△AED﹣S△AEG，∴S△DGF＝2×﹣＝6+9．故答案为：6或6+9．【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．10．（2021·上海市建平实验中学八年级期末）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，D是边AB上的一点，将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点B1的位置，若B1D⊥BC，则BD的长度为_____．【答案】【详解】延长B1D交BC于E，由B1D⊥BC，根据含角直角三角形和勾股定理的性质，推导得DE＝BD，BE＝BD，设BD＝x，在Rt△B1CE中根据轴对称、勾股定理的性质，建立方程计算即可解得答案．【解答】延长B1D交BC于E，如图：∵B1D⊥BC，∴∠BED＝∠B1EC＝90°，∵∠B＝30°，∴DE＝BD，∴BE＝＝BD，设BD＝x，∵将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点B1的位置，∴B1D＝x，∵BC＝3，∴CE＝3﹣x，B1C＝BC＝3，在Rt△B1CE中，B1E2+CE2＝B1C2，∴（x+x）2+（3﹣x）2＝32∴∴x＝0（舍去）或x＝∴BD＝故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理、一元二次方程、轴对称、含角直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理；轴对称、含角直角三角形、一元二次方程的性质，从而完成求解．11．（2021·上海虹口·八年级期末）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，若Rt△ABC是特征三角形，∠A是特征角，BC＝6，则Rt△ABC的面积等于_____．【答案】9或##或9【分析】分∠A＝90°或∠A≠90°，分别画图，根据“特征三角形”的定义即可解决问题．【详解】解：如图，若∠A＝90°，∵Rt△ABC是特征三角形，∠A是特征角，∴∠B＝∠C＝45°，∴AC＝AB＝BC＝3，∴＝9；如图，若∠A≠90°，∵Rt△ABC是特征三角形，∠A是特征角，∴∠A＝60°，∠B＝30°，∴AB＝2AC，由勾股定理得：，即，∴AC＝（负值舍去），∴＝，故答案为：9或．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键．12．（2021·上海市莘光学校八年级期中）如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝3，ON＝4，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是___．【答案】5【分析】作M关于OB的对称点，作N关于OA的对称点，连接，连接，即为MP+PQ+QN的最小值，根据轴对称的定义可推出为等边三角形，为等边三角形，得再根据勾股定理即可得出结果．【详解】解：如图，作M关于OB的对称点，作N关于OA的对称点，连接，连接，则，当共线时取得最小值，即为MP+PQ+QN的最小值，根据轴对称的定义得∴为等边三角形，为等边三角形，∴在中，∴MP+PQ+QN的最小值为5，故答案为：5．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线，找出MP+PQ+QN的最小值即的长是解题的关键．二、解答题13．（2021·上海市洋泾菊园实验学校八年级期末）已知，如图，在△ABC中，∠B＝60°，BC＝4．（1）尺规作图：求作一点P，使点P到点B、C的距离相等，同时P到边BA、BC的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求出点P到点B的距离．【答案】（1）图见解析；（2）．【分析】（1）先利用尺规作图作出的垂直平分线，再利用尺规作图作出的角平分线，线段垂直平分线与角平分线的交点即为所求；（2）先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据直角三角形的性质、勾股定理即可得．【详解】解：（1）如图，点即为所求．（2）如图，由（1）可知，垂直平分，是的角平分线，，，，设，则，在中，，即，利用平方根解得：或（不符题意，舍去），则，即点到点的距离为．【点睛】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图、勾股定理等知识点，熟练掌握尺规作图是解题关键．14．（2021·上海·八年级专题练习）已知点A（2，0），B(2，2)和C（3，1），判断的形状，并求出的面积．【答案】是等腰直角三角形，面积为1．【分析】先根据两点之间的距离公式分别求出AB、AC、BC的长，再根据等腰三角形的定义、勾股定理的逆定理可得的形状，然后根据直角三角形的面积公式即可得．【详解】，，，，，且，是等腰直角三角形，且，．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、勾股定理的逆定理、两点之间的距离公式等知识点，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．15．（2021·上海·八年级专题练习）已知：如图，，点在上，．（1）求作线段的垂直平分线，交于点；（2）联结，求作的角平分线；（3）根据（1）（2）的条件，求的长．（第（1）、（2）题保留作图痕迹，不需要写出作图步骤）【答案】（1）见解析，（2）见解析，（3）；【分析】（1）按照垂直平分线的作法作图即可；（2）按照角平分线的作法作图即可；（3）根据勾股定理求解即可．【详解】（1）线段的垂直平分线如图所示；（2）的角平分线如图所示；（3）由线段垂直平分线的性质得，OB=BA，∴，∴，，，【点睛】本题考查了尺规作图和勾股定理，解题关键是明确尺规作图的方法，熟练应用勾股定理进行计算．16．（2021·上海·八年级专题练习）如图1，在中，，是的中点是射线上一个动点，联结，过点作的垂线，交射线于．（1）如图2，如果点与点重合，求证：；（2）如图3，如果，求的长；（3）设，求关于的函数关系式，并写出的取值范围．【答案】（1）证明见详解；（2）PQ=；（3），，【分析】（1）在中，，是的中点可得DC=AD=BD，可求∠DCB=∠DBC=30°，由外角性质∠QDB=∠DCB+∠DBC=60°，由QB⊥DB，可求∠DQB=90°-∠QDB=30°，可得DQ=2DB=2DC，由D与P重合，可证PQ=2PC；（2）过B作BH⊥PQ于H，由AC=6，∠ACB=90°，∠ABC=30°，可求AB=2AC=12，在Rt△ACB中由勾股定理BC=，由∠HCB=30°，∠CHB=90°，可求CB=2BH=可得BH=，由∠PBQ=90°，BP=BQ，可求PQ=2BH=；（3）由（2）得BH=，在Rt△CBH中，由勾股定理求出CH=，当CP≤9时PH=9-PC=9-x，当CP时PH=PC-9=x-9，分两种情况，在RtRt△PBH中由勾股定理得：PB2=PH2+BH2即可求出。【详解】解：（1）在中，，是的中点，∴DC=AD=BD，∴∠DCB=∠DBC=30°，又∵∠QDB=∠DCB+∠DBC=60°，∵QB⊥DB，∴∠DQB=90°-∠QDB=30°，∴DQ=2DB=2DC，∵D与P重合，PQ=2PC；（2）过B作BH⊥PQ于H，∵AC=6，∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴AB=2AC=12，在Rt△ACB中由勾股定理BC=，又因为∠HCB=30°，∠CHB=90°，∴CB=2BH=，∴BH=，∵∠PBQ=90°，BP=BQ，∴PQ=2BH=；（3）由（2）得BH=，在Rt△CBH中，CH=，当CP≤9时PH=9-PC=9-x，在Rt△PBH中由勾股定理得：PB2=PH2+BH2，y2=(9-x)2+27，即，当CP时PH=PC-9=x-9，在Rt△PBH中由勾股定理得：PB2=PH2+BH2，y2=(x-9)2+27，即，【点睛】本题考查直角三角形性质，勾股定理，等腰直角三角形性质函数关系，掌握直角三角形性质，勾股定理，等腰直角三角形性质函数关系，解题关键是在Rt△PBH中利用勾股定理构造等式求出函数关系．17．（2021·上海·八年级期中）如图，已知在中，，，，在线段上有动点，在射线上有动点，且，联结交于点．（1）当点在边（与点、不重合）上，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你的结论．（2）过点作边的垂线，垂足为点，随着、两点的移动，线段的长能确定吗？若能确定，请求出的长；若不能确定，请说明理由．【答案】（1），证明见解析；（2）能，．【分析】（1）过点作交于点，根据平行线的性质及等腰三角形的判定可推出，则可利用AAS证得≌，由全等三角形的性质即可得出结论；（2）由题意可得△AMD为等腰直角三角形，设，根据勾股定理得到，由全等三角形的性质可得，由，，于是得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到，即可得到结论．【详解】解：（1）；理由是：过点作交于点，∵，∴．∵，，∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．在和中：，∴≌．∴．（2）线段的长度能确定，且为．理由是：过点作边的垂线，垂足为，过作交于，由（1）得，为等腰直角三角形．设，∴．∵≌，∴．∵，∴．∴．在等腰直角三角形中，∵，∴，∴．∴线段的长度确定，与、的移动无关，长为．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．18．（2021·上海市建平实验中学八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D、E在线段AB上．（1）如图1，若CD＝CE，求证：AD＝BE；（2）如图2，若∠DCE＝45°，求证：DE2＝AD2+BE2；（3）如图3，若点P是△ABC内任意一点，∠BPC＝135°，设AP＝a、BP＝b、CP＝c，请直接写出a，b，c之间的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），见解析【分析】（1）由CA＝CB得∠A＝∠B，由CD＝CE得∠CEA＝∠CDB，则△ACE≌△BCD，得AE＝BD，即可转化为AD＝BE；（2）将△ACD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△BCF，联结EF，则BF＝AD，证明△FCE≌△DCE，得FE＝DE，再证明∠EBF＝90°，则FE2＝BF2+BE2，即可证得DE2＝AD2+BE2；（3）将△CAP绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△CBG，联结PG，则BG＝AP，GC＝PC，∠PCG＝90°，所以PG2＝PC2+GC2＝2PC2，再证明∠BPG＝90°，则BG2＝BP2+PG2，可证得AP2＝BP2+2PC2，即a2＝b2+2c2．【详解】解：（1）证明：如图1，∵CA＝CB，∴∠A＝∠B，∵CD＝CE，∴∠CEA＝∠CDB，∴△ACE≌△BCD（AAS），∴AE＝BD，∴AE﹣DE＝BD﹣DE，∴AD＝BE．（2）证明：如图2，将△ACD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△BCF，联结EF，∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠CBA＝∠A＝45°，由旋转得CF＝CD，∠BCF＝∠ACD，∵∠DCE＝45°，∴∠FCE＝∠BCF+∠BCE＝∠ACD+∠BCE＝90°﹣45°＝45°，∴∠FCE＝∠DCE，∵CE＝CE，∴△FCE≌△DCE（SAS），∴FE＝DE，∵∠CBF＝∠A＝∠CBA＝45°，∴∠EBF＝90°，∴FE2＝BF2+BE2，∵BF＝AD，∴DE2＝AD2+BE2．（3）a2＝b2+2c2，理由如下：如图3，将△CAP绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△CBG，联结PG，由旋转得GC＝PC，∠PCG＝90°，∴∠CPG＝∠CGP＝45°，PG2＝PC2+GC2＝2PC2，∵∠BPC＝135°，∴∠BPG＝135°﹣45°＝90°，∴BG2＝BP2+PG2，∵BG＝AP，∴AP2＝BP2+2PC2，∴a2＝b2+2c2．【点睛】此题考查等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识，根据旋转的性质作辅助线是解题的关键．19．（2021·上海虹口·八年级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠ABC的平分线与线段AC交于点D，且有AD＝BD，点E是线段AB上的动点（与A、B不重合），联结DE，设AE＝x，DE＝y．（1）求∠A的度数；（2）求y关于x的函数解析式（无需写出定义域）；（3）当△BDE是等腰三角形时，求AE的长．【答案】（1）30°；（2）y＝；（3）12﹣4或8【分析】（1）根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到∠A＝∠DBA＝∠CBD，根据直角三角形的性质求出∠A；（2）作DF⊥AB于F，根据勾股定理求出DF，再根据勾股定理列式计算求出y关于x的函数解析式；（3）分BE＝BD、BE＝DE两种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算即可．【详解】解：（1）∵AD＝BD，∴∠A＝∠DBA，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠DBA，∴∠A＝∠DBA＝∠CBD，∵∠C＝90°，∴∠A＝30°；（2）如图，作DF⊥AB于F，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝12，∵DA＝DB，DF⊥AB，∴AF＝AB＝6，∴EF＝|6﹣x|，在Rt△AFD中，∠A＝30°，∴DF＝AF＝2，在Rt△DEF中，，即，解得：y＝；（3）在Rt△AFD中，∠A＝30°，DF＝2，∴AD＝BD＝4，当BE＝BD＝4时，AE＝12﹣4；当BE＝DE时，12﹣x＝，解得：x＝8，即AE＝8，∵点E与A、B不重合，∴DB≠DE，综上所述：当△BDE是等腰三角形时，AE的长为12﹣4或8．【点睛】本题考查了角的平分线，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理，灵活运用分类思想是解题的关键．20．（2021·上海浦东新·八年级期末）已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC边上一动点（与点B不重合），连接AD，以AD始边作∠DAE＝α（0°＜α＜180°）．(1)如图1，当α＝90°，且AE＝AD时，试说明CE和BD的位置关系和数量关系；(2)如图2，当α＝45°，且点E在边BC上时，求证：BD2+CE2＝DE2．【答案】(1)CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE＝BD，理由见解析(2)见解析【分析】（1）根据∠BAD＝∠CAE，BA＝CA，AD＝AE，运用“SAS”证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系；（2）把△ACE绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接DG，由“SAS”得到△ADG≌△ADE，可得DE＝DG，即可把EF，BE，FC放到一个直角三角形中，从而根据勾股定理即可证明；(1)CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE＝BD．理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAE＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝45°且CE＝BD．∵∠ACB＝∠B＝45°，∴∠ECB＝45°+45°＝90°，即CE⊥BD；(2)如图2，把△ACE绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接DG，则△ACE≌△ABG，∴AG＝AE，BG＝CE，∠ABG＝∠ACE＝45°，∴∠GBD＝90°．∵∠BAC＝90°，∠GAE＝90°．∴∠GAD＝∠DAE＝45°，在△ADG和△ADE中，，∴△ADG≌△ADE（SAS）．∴ED＝GD，又∵∠GBD＝90°，∴BD2+BG2＝DG2，即BD2+EC2＝DE2；【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．【能力提升】一、填空题1．（2022·上海复旦五浦汇实验学校八年级期末）如图，在等腰直角中，，，将沿某直线翻折，使得点落在的中点上，如果折痕与的交点为，那么的长为______．【答案】【分析】作，由题意可得AD=3，根据翻折变换的性质可得≌，由全等三角形的性质可得DM=MB；然后根据等腰三角形的性质可得AG=DG，再根据勾股定理可得；设GM=x，则MB=DM=，可根据AB=AG+GM+MB求得GM，最后根据线段的和差即可解答．【详解】解：如图，折到的中点处，折痕为，作，∴AD=CD=3是翻折而成，≌，∴DM=MB∵等腰直角中，∴AG=DG∵作∴，即，解得：设GM=x，则MB=DM=∵AB=AG+GM+MB∴，解得：x=2，．故答案为：．【点睛】本题主要考查的是图形翻折变换的性质、勾股定理、线段的和差等知识点，掌握折叠和全等三角形的关系是解答本题的关键．2．（2022·上海·测试·编辑教研五八年级期末）如图，在中，，，，是的中线，将沿直线翻折，点是点的对应点，点是线段上的点，如果，那么______．【答案】##1.8##【分析】先证明，，结合得到，利用等面积法求出，再利用勾股定理求出即可．【详解】解：如图，∵是由翻折，∴，，，∴．∵，∴．∵，，∴．∵，∴，．∵，∴，∴．∴．∵，∴．在中，，，∴．∵，∴，解得：．在中，．故答案为：．【点睛】本题考查翻折变换，三角形内角和定理的应用，三角形外角性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．3．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在等边中，，，，点从点出发沿方向运动，连接，以为边，在的右侧按如图所示的方式作等边，当点从点运动到点时，点运动的路径长是__．【答案】8【分析】连接，作于，如图，根据等边三角形的性质得，过点作，则，则点与点重合，所以，，接着证明得到，于是可判断点运动的路径为一条线段，此线段到的距离为2，当点在点时，作等边三角形，则，当点在点时，作等边三角形，作于，则△，所以，所以，于是得到当点从点运动到点时，点运动的路径长为8．【详解】解：连接，作于，如图所示：为等边三角形，，过点作，则，点与点重合，，，为等边三角形，，，，，，在和中，，，，点从点运动到点时，点运动的路径为一条线段，此线段到的距离为2，当点在点时，作等边三角形，，则，当点在点时，作等边三角形，作于，则△，，，当点从点运动到点时，点运动的路径长为8．故答案是：8．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，也考查了等边三角形的性质．在解决问题时，关键要掌握点运动的轨迹，利用代数或几何方法确定点运动的规律．4．（2022·上海·八年级期末）已知，在△ABC中，BC=3，∠A=22.5°，将△ABC翻折使得点B与点A重合，折痕与边AC交于点P，如果AP=4，那么AC的长为_______【答案】【分析】过B作BF⊥CA于F，构造直角三角形，分两种情况讨论，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质，即可得到AC的长．【详解】分两种情况：①当∠C为锐角时，如图所示，过B作BF⊥AC于F，由折叠可得，折痕PE垂直平分AB，∴AP=BP=4，∴∠BPC=2∠A=45°，∴△BFP是等腰直角三角形，∴BF=DF=，又∵BC=3，∴Rt△BFC中，CF=，∴AC=AP+PF+CF=5+；②当∠ACB为钝角时，如图所示，过B作BF⊥AC于F，同理可得，△BFP是等腰直角三角形，∴BF=FP=，又∵BC=3，∴Rt△BCF中，CF=，∴AC=AF-CF=3+.故答案为：5+或3+．【点睛】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，解决问题的关键是分两种情况画出图形进行求解．解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．二、解答题5．（2022·上海·测试·编辑教研五八年级期末）梯形中，，，，，点是中点，过点作的垂线交射线于点，的角平分线交射线于点，交直线于点．(1)当点与点重合时，求的长；(2)若点在线段上，，，求关于的函数关系式，并写出函数定义域；(3)联结、，当是以为腰的等腰三角形时，求的长．【答案】(1)(2)(3)的长为或或．【分析】（1）连接，过作于，根据线段垂直平分线的性质可得，在中，由勾股定理可得，然后证明四边形ABHD是矩形，求出DH＝AB＝4，CH＝2，在中，由勾股定理可得CD的长；（2）连接，过点作于，求出，，在中，由勾股定理可得，整理后可得答案；分情况讨论：当在线段上时，当时，可证≌，过作于，在中，求出，即可求得；当时，设，可证≌（ASA），求出，然后在中，利用勾股定理可求；当点在射线上时，如图4，此时，同理可得≌，过作交BC的延长线于，在中，求出CH即可解决问题．（1）解：如图，连接，过作于，，平分，，，，，∴在中，，∵，，∴∠A＝180°－90°＝90°，又∵∠DHB＝90°，∴四边形ABHD是矩形，∴DH＝AB＝4，AD＝BH＝3，∴CH＝5－3＝2，∴在中，；（2）如图，连接，过点作于，是的垂直平分线，，，，，，，，，在中，由得：，整理得：，∵点与点重合时，AD＝3，∴，∴；（3）如图，当在线段上时，当时，是的垂直平分线，，，∴∠PED＝∠PDE，∠PDC＝∠PCD，∵∠PED＋∠PDE＋∠PDC＋∠PCD＝180°，，平分，，又∵CE＝CE，≌（AAS），，，，过作于，在中，，；当时，，设，则，，，，，，，又∵，≌（ASA），，，，，∴在中，，（负值已舍去）；当点在射线上时，如图4，此时，，同理可得：≌（AAS），，过作交BC的延长线于，在中，，，；综上所述：的长为或或．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解一元二次方程，全等三角形的判定和性质等知识，综合性较强，熟练掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用是解题的关键．6．（2022·上海·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=，点D是边AB的中点，点E是边AC上一个动点，作线段DE的垂直平分线分别交边AC、BC于点M、N，设AM=x，ME=y．(1)当点E与点C重合时，求ME的长；(2)求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)当MN经过△ABC一边中点时，请直接写出ME的长．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）连接MD，结合题意，根据含角直角三角形、直角三角形斜边中线、垂直平分线的性质分析，结合勾股定理性质计算，即可得到答案；（2）连接MD，过点M作AB的垂线，垂足为F，根据垂直平分线、勾股定理的性质，得，结合（1）的结论，通过列一元二次方程并求解，得函数的定义域，即可得到答案；（3）分MN经过AC中点、MN经过AB中点、MN经过BC中点三种情况，结合（2）的结论，根据垂直平分线、勾股定理、二次根式、三角形中位线的性质计算，即可得到答案．(1)连接MD，∵AB=，BC=，∴BC=AB，∵∠C=90，∴∠A=30∵点D是AB的中点，∴CD=AD，∴∠ACD=30，∠ADC=120，∵MN垂直平分CD，∴CM=DM，∴∠MDC=30，∴∴设，则∴∴∴或（舍去）∴；(2)连接MD，过点M作AB的垂线，垂足为F，∵MN垂直平分ED，∴ME=MD=y，∵∠A=30∴MF=，∴∴FD，在Rt△MDF中，∴∴根据（1）的结论，当点E与点C重合时，∴∴或∵∴不符合题意∴∴∴y关于x的函数解析式是；(3)分MN经过AC中点、MN经过AB中点、MN经过BC中点三种情况分析，当MN经过AC中点时，即∴，即当MN经过AB中点时，和MN分别交边AC、BC于点M、N的结论矛盾∴MN经过AB中点不成立当MN经过BC中点时，如图，分别连接EN、DN∴∵∴，∵MN线段DE的垂直平分线∴∵AM=x，ME=y∴∵∠C=90°∴∴∴∴∴∴，即∴或．【点睛】本题考查了勾股定理、垂直平分线、三角形中位线、含角直角三角形、直角三角形斜边中线、二次根式、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、含角直角三角形、一元二次方程的性质，从而完成求解．7．（2022·上海·八年级期末）已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，左右作平行移动的等边三角形DEF的两个顶点E、F始终在边BC上，DE、DF分别与AB相交于点G、H．(1)如图1，当点F与点C重合时，点D恰好在斜边AB上，求△DEF的周长；(2)如图2，在△DEF作平行移动的过程中，图中是否存在与线段CF始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由；(3)假设C点与F点的距离为x，△DEF与△ABC的重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出定义域．【答案】(1)9；(2)存在，CF=DG，证明见解析；(3)．【分析】（1）利用勾股定理求出，再证明，即可求出△DEF的周长；（2）由（1）可知：EF=DF=DE=3，进一步得到，再证明EG=BE，利用EG+DG=CF+BE=3，即可证明CF=DG；（3）求出，，利用，即可求出．（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，∴，∠A=60，∵△DEF是等边三角形，∴∠DCE=60，∴∠ACD=30，∴∠ADC=90，∴，∴△DEF的周长为9；（2）解：结论：CF=DG.理由：∵BC=6，由（1）可知：EF=DF=DE=3，∴，∵△DEF是等边三角形，∴∠DEF=60，∵∠DEF=∠B+∠EGB，∴∠B=∠EGB=∠DGE=30，∴EG=BE，∵EG+DG=CF+BE=3，∴CF=DG；（3）解：∵，，∴，即．【点睛】本题考查勾股定理，等边三角形的性质，30°所对的直角边等于斜边的一半，动点问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，等边三角形性质．8．（2022·上海·八年级单元测试）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AB=10，点F是AB中点，点D是射线CB上的一个动点，△ADE是等边三角形，联结EF．(1)当点D在线段CB上时，①求证：△AEF≌△ADC；②联结BE，设C、D间距离为x，，求y关于x的函数解析式及定义域；(2)当∠DAB=15°时，求△ADE的面积（直接写出答案）．【答案】(1)①见解析；②(2)或【分析】（1）①证明：直角△ABC中，利用特殊角和斜边的中线是斜边的一半，可得AF=BF=AC，再结合等边△ADE，有AE=AD，利用SAS即可得△ADC≌△EAF(SAS)；②根据△ADC≌△EAF，有∠EFA=∠C=90，结合F是AB中点，即有EF是AB的中垂线，进而有AE=EB，AD=AE=EB，在Rt△ACD中，有，即，则有；（2）分两种情况讨论，即当点在线段BC上和点在CB的延长线上两种情况，分别求出AD，即可得等边△ADE的面积．（1）解：证明①：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AB=10，∴∠ABC=30，∴AC=AB=5，∵F是AB的中点，∴AF=BF=AB，∴AF=BF=AC，∵等边△ADE，∴AE=AD，∠EAD=60，∴∠EAD=∠CAB=60，∴∠EAD-∠BAD=∠CAB-∠BAD，即∠DAC=∠EAF，在△ADC与△EAF中，，∴△ADC≌△EAF(SAS)；②∵△ADC≌△EAF，∴∠EFA=∠C=90，又F是AB中点，∴EF是AB的中垂线，∴AE=EB，∴AD=AE=EB，在Rt△ACD中，∠C=90，∴，∴，∴；（2）解：或，分情况讨论：第一种情况：当点在线段BC上时，由∠DAB=15°，可得∠CAD=45°，△ADC是等腰直角三角形，则=50，则AD=，如图，过A点作AG⊥DE于G点，在等边△ADE中，由AG⊥DE可得DG=DE=DE=AD=，则利用勾股定理可得：，则等边△ADE的面积为：，第二种情况：当点在线段CB的延长线上时，由∠DAB=15°，可得∠ADB=15°，∴BD=