专项15-分式-重难点题型

分式-重难点题型【知识点1分式的定义】一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。【题型1分式的概念】【例1】（信都区校级月考）在代数式3x+12、5a、6x2y、35+y、A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-1】（新化县校级期中）在下列各式中，分式的个数是（）个．a22，1a+b，ax−1，x2xA．3 B．4 C．5 D．2【变式1-2】（莱州市期中）在式子1a、2xyπ、3a2b3c4、56+x、【变式1-3】（秦淮区期末）下列各式：①2020x；②aπ；③−x−3x；④x2+y；⑤1+yx−y；⑥2m2m；⑦﹣3x【题型2分式有意义的条件】【例2】（夏津县校级月考）x取何值时，下列分式有意义：（1）x+2（2）6(x+3)（3）x+6x【变式2-1】（温州期末）要使分式a2−4aA．a＝2 B．a＝﹣2 C．a≠2 D．a≠2且a≠﹣2【变式2-2】（卫辉市期中）使代数式x+3x−3÷x2−9x+4有意义的【变式2-3】（赛罕区校级期中）要使式子x−11+11+x有意义，则x的取值范围为【题型3分式的值为零】【例3】当x取何值时，下列分式的值为零？（1）x（2）x（3）x（4）5−|x|x【变式3-1】（碑林区校级期中）若|x|−1x2−2x+1=0，则x＝【变式3-2】（白云区校级月考）若a、b是实数，且分式(a−2)2+|b2A．10 B．10或2 C．2 D．非上述答案【变式3-3】（江阴市校级月考）当x≠1时，分式2x−1有意义；如果分式x2−1x+1的值为0，那么x的值是．当x满足【知识点2分式的基本性质】分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。；（C≠0）。【题型4分式的基本性质】【例4】（河北月考）若分式2xyx2+□中的xA．2 B．y C．y2 D．3y【变式4-1】（米易县期末）下列式子从左到右变形正确的是（）A．ab=a+2b+2C．a2−b【变式4-2】（碑林区校级期末）已知|a−3|a2−6a+9=13−a，则【变式4-3】（和平区期中）如果分式2x3x2+5y2的值为9，把式中的x，【知识点3分式的约分和通分】定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。【题型5分式的约分与通分】【例5】（聊城期中）约分：（1）24a（2）ma+mb−mca+b−c（3）a2【变式5-1】（玄武区校级期中）分式1x2−4，x−1【变式5-2】（丹江口市期中）通分：（1）1x2−2x+1（2）aa2−（3）x+2yx2−（4）a−2ba2−4ab+4【变式5-3】（岱岳区校级月考）已知分式13x2−3，2x−1，a【题型6运用分式的基本性质求值】【例6】（兰州期末）阅读下列解题过程，然后解题：题目：已知xa−b=yb−c=zc−a（a、b、c解：设xa−b=yb−c=zc−a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．依照上述方法解答下列问题：已知：y+zx=z+xy=x+yz，其中x【变式6-1】（沂源县期中）若1x+1y=【变式6-2】（奉化区）若ab=cd=ef=34，则a+c+eb+d+f【变式6-3】（武陵区校级期中）阅读下列解题过程，并完成问题：若ab=−2，求解：因为ab=−2，所以a＝﹣2所以a2（1）解题过程中，由5b29b2（2）已知ab=1（3）已知x3=y

分式-重难点题型（解析版）【知识点1分式的定义】一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。【题型1分式的概念】【例1】（信都区校级月考）在代数式3x+12、5a、6x2y、35+y、A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【解答】解：3x+12、6x2y、2π5a、3故选：B．【变式1-1】（新化县校级期中）在下列各式中，分式的个数是（）个．a22，1a+b，ax−1，x2xA．3 B．4 C．5 D．2【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【解答】解：a22，﹣m1a+b，ax−1，x2故选：B．【变式1-2】（莱州市期中）在式子1a、2xyπ、3a2b3c4、5【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【解答】解：式子1a、56+x、9x故答案是：3．【变式1-3】（秦淮区期末）下列各式：①2020x；②aπ；③−x−3x；④x2+y；⑤1+yx−y；⑥2m2m；⑦﹣3x2，是分式的有①、③、⑤、⑥【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【解答】解：②aπ；④x2+y；⑦﹣3①2020x；③−x−3x；⑤1+yx−y故答案是：①、③、⑤、⑥，②、④、⑦．【题型2分式有意义的条件】【例2】（夏津县校级月考）x取何值时，下列分式有意义：（1）x+2（2）6(x+3)（3）x+6x【分析】（1）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案；（2）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案；（3）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案．【解答】解：（1）要使x+22x−3得2x﹣3≠0．解得x≠3当x≠32时，（2）要使6(x+3)|x|−12|x|﹣12≠0．解得x≠±12，当x≠±12时，6(x+3)|x|−12（3）要使x+6xx2+1≠0．x为任意实数，x+6x【变式2-1】（温州期末）要使分式a2−4aA．a＝2 B．a＝﹣2 C．a≠2 D．a≠2且a≠﹣2【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案．【解答】解：∵分式a2∴a2﹣4a+4＝（a﹣2）2≠0．∴a﹣2≠0．解得a≠2．故选：C．【变式2-2】（卫辉市期中）使代数式x+3x−3÷x2−9x+4有意义的x的取值范围是【分析】根据分式的分母不等于零得到：x﹣3≠0、x+4≠0、且x2﹣9≠0．【解答】解：由题意，得x−3≠0x+4≠0解得x≠±3且x≠﹣4．故答案是：x≠±3且x≠﹣4．【变式2-3】（赛罕区校级期中）要使式子x−11+11+x有意义，则x的取值范围为x≠﹣1且【分析】根据分式的分母为负数不能为0，可得答案．【解答】解：1+x≠0，1+1x≠﹣1，x≠﹣2故答案为：x≠﹣1且x≠﹣2．【题型3分式的值为零】【例3】当x取何值时，下列分式的值为零？（1）x（2）x（3）x（4）5−|x|x【分析】（1）由分式值为0的条件可知；x2﹣4＝0且x+2≠0，从而可解得x的值；（2）由分式值为0的条件可知；x2+2x﹣3＝0且|x|﹣1≠0，从而可解得x的值；（3）由分式值为0的条件可知；x2﹣1＝0且|x2﹣3x+2≠0，从而可解得x的值；（4）由分式值为0的条件可知；5﹣|x＝0且x2+4x﹣5≠0，从而可解得x的值．【解答】解：（1）∵分式值为0，∴x2﹣4＝0且x+2≠0，解得x＝2；（2）∵分式值为0，∴x2+2x﹣3＝0且|x|﹣1≠0，解得：x＝﹣3；（3）∵分式值为0，∴x2﹣1＝0且|x2﹣3x+2≠0，解得：x＝﹣1；（4）∵分式值为0，∴5﹣|x＝0且x2+4x﹣5≠0，∴x＝±5，且（x+5）（x﹣1）≠0∴x＝5．【变式3-1】（碑林区校级期中）若|x|−1x2−2x+1=0，则【分析】分式的值为零时：分子＝0，分母≠0．【解答】解：根据题意，得|x|﹣1＝0且x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≠0．解得x＝﹣1．故答案是：﹣1．【变式3-2】（白云区校级月考）若a、b是实数，且分式(a−2)2+|b2A．10 B．10或2 C．2 D．非上述答案【分析】根据分式为0的条件得b+4≠0(a−2)2+|b【解答】解：∵分式(a−2)∴b+4≠0(a−2∴b≠﹣4．又∵（a﹣2）2≥0，|b2﹣16|≥0，∴（a﹣2）2＝0，|b2﹣16|＝0．∴a＝2，b＝4．∴3a+b＝3×2+4＝10．故选：A．【变式3-3】（江阴市校级月考）当x≠1时，分式2x−1有意义；如果分式x2−1x+1的值为0，那么x的值是1．当x满足x＜2且x【分析】依据分式有意义的条件、分式的值为0的条件以及分式的值为负数的条件，即可得出结论．【解答】解：由题可得，x﹣1≠0，解得x≠1，∴当x≠1时，分式2x−1由题可得，x2解得x＝1，∴如果分式x2−1x+1由题可得，x2解得x＜2且x≠﹣1，当x满足x＜2且x≠﹣1时，分式x2故答案为：≠1；1；x＜2且x≠﹣1．【知识点2分式的基本性质】分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。；（C≠0）。【题型4分式的基本性质】【例4】（河北月考）若分式2xyx2+□中的xA．2 B．y C．y2 D．3y【分析】x和y都扩大3倍，则2xy扩大到原来的9倍，要使分式的值不变，则x2+□也扩大到原来的9倍，所以□可以是y2．【解答】解：∵x和y都扩大3倍，∴2xy扩大到原来的：3×3＝9倍，∵分式的值不变，∴x2+□也扩大到原来的9倍，∵x扩大3倍，x2扩大到原来的9（32＝9）倍，∴□也要扩大到原来的9倍，∵y扩大3倍，y、3y都扩大到原来的3倍，y2扩大到原来的9（32＝9）倍，∴□可以是y2．故选：C．【变式4-1】（米易县期末）下列式子从左到右变形正确的是（）A．ab=a+2b+2C．a2−b【分析】根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．【解答】解：A、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，原变形错误，故此选项不符合题意；B、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，原变形错误，故此选项不符合题意；C、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，原变形错误，故此选项不符合题意；D、分子分母都乘以b（b≠0），分式的值不变，原变形正确，故此选项符合题意；故选：D．【变式4-2】（碑林区校级期末）已知|a−3|a2−6a+9=13−a，则【分析】根据绝对值的意义作答，可得答案．【解答】解：∵|a−3|a∴a﹣3＜0．解得a＜3．故答案是：a＜3．【变式4-3】（和平区期中）如果分式2x3x2+5y2的值为9，把式中的【分析】直接利用分式的性质将原式变形进而得出答案．【解答】解：∵分式2x3x2+5y∴原式=3×2x故答案为：3．【知识点3分式的约分和通分】定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。【题型5分式的约分与通分】【例5】（聊城期中）约分：（1）24a（2）ma+mb−mca+b−c（3）a2【分析】首先把分子分母分解因式，然后再约掉分子分母的公因式即可．【解答】解：（1）原式=6（2）原式=m(a+b−c)a+b−c（3）原式=(a−2b【变式5-1】（玄武区校级期中）分式1x2−4，x−1x，1x+2【分析】首先把分母分解因式，然后再确定最简公分母．【解答】解：1x则最简公分母为x（x+2）（x﹣2），故答案为：x（x+2）（x﹣2）．【变式5-2】（丹江口市期中）通分：（1）1x2−2x+1（2）aa2−（3）x+2yx2−（4）a−2ba2−4ab+4【分析】（1）直接找出最简公分母（x﹣1）2（x+1），进而通分运算得出答案；（2）直接找出最简公分母（a+b）2（a﹣b），进而通分运算得出答案；（3）直接找出最简公分母2（x+y）（x﹣y），进而通分运算得出答案；（4）直接找出最简公分母（a﹣2b）（a+b），进而通分运算得出答案．【解答】解：（1）1x1x（2）aaba（3）x+2yxx−y2（4）a−2baa+ba【变式5-3】（岱岳区校级月考）已知分式13x2−3，2x−1，a【分析】找出两分式中分母的公因式确定出a，找出最简公分母确定出b．【解答】解：两分式分母的公因式为a＝x﹣1，最简公分母为b＝3（x+1）（x﹣1），∴ba=3(x+1)(x−1)x−1=则132x−1【题型6运用分式的基本性质求值】【例6】（兰州期末）阅读下列解题过程，然后解题：题目：已知xa−b=yb−c=zc−a（a、b、c解：设xa−b=yb−c=zc−a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．依照上述方法解答下列问题：已知：y+zx=z+xy=x+yz，其中x【分析】根据提示，先设比值为k，再利用等式列出三元一次方程组，即可求出k的值是2，然后把x+y＝2z代入所求代数式．【解答】解：设y+zx=则