2021年河南省洛阳市孟津某中学高考数学调研试卷（理科）（4月份）（解析版）

2021年河南省洛阳市孟津第一高级中学高考数学调研试卷(理

科)(4月份)

一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分).

1.已知集合A={y|y=2"，底N},B={x|x<10},则AAB=()

A.{2,4,8}B.{1,2,4,8}C.{2,4,6,8)D.(1,2,4,6,8}

2.i是虚数单位，复数z满足：^-=l-i，则^=()

1

A.1-iB.1+zC.-1+ZD.-1-z

3.等差数列｛小｝中，43=1，57=14,则〃7=()

A.13B.7C.5D.3

4.执行如图框图程序，输出"=()

A.1B.2C.3D.4

返

5.已知：ag)2,b=lo^22,c=log3%则a,h,c的大小关系是()

A.a<h<cB.h<a<cC.h<c<aD.c<h<a

6.已知：函数y=/(x)的图象如图所示，则y=/(x)可以是()

B.f(X)="sinH_〃n#

C.f(x)=sin(nx-it)D.f(x)=cos(TTX-TT)

7.大约于东汉初年成书的我国古代数学名著《九章算术》中，“开立圆术”日：置积尺数，

以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”实际是知道了球的体

积匕利用球的体积，求其直径d的一个近似值的公式d=，缗，而我们知道，若球的

半径r,则球的体积丫卷兀「3,则在上述公式d=，和中，相当于TT的取值为()

A.3B.—C.—D.—

789

8.一次乒乓球比赛中，采用5局3胜制，谁先胜3局谁赢，甲、乙在比赛中相遇，比赛前

由抽签决定第一局由甲先发球，第二局由乙先发球，每局的先发球者必须交替进行，甲

先发球局，甲获胜的概率为g,乙先发球局，甲获胜的概率为《，则甲3：。获胜的概率

为()

A.—B.—C.—D.—

883264

9.偶函数f(外关于点(1,0)对称，且当在［0,1］时，则/(2019)+f

3

(2020)V(2021)=()

A.0B.2C.4D.6

22_

10.双曲线七-七1Q>O,b>0)的左、右顶点分别为A、B,过A且斜率为我的直线

/与渐近线交于第一象限的N点，与y轴交于M点，若M点为AN点中点，则双曲线的

离心率为()

A.&B.bC.2D.3

11.已知3>0且为正数，且|。|<—函数/(X)=2sin(3X+<P)+1的图象如图所示,

A、C,D是f(x)的图象与y=l相邻的三个交点，与x轴交于相邻的两个交点。、B,

若在区间(a,b)上，/(%)有2020个零点，则。的最大值为()

3034兀3032兀

A.2020TTD.1012n

3"I-

-k^--k,x>0

12.关于x的函数f(x)=,有4个零点，则实数Z的取值范围为(

f(l-x)+k-6,x40

A.(5,9)B.[5,9]C.(4,9)D.[4,9]

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.点(1，m2)在抛物线尸如2(〃*0)上，则抛物线焦点为.

14.向量a=(-2,1)>b=(-2,6)»c=(m,-3)>b//c»则|a-c尸-

15.数列{%}和{d}满足。1=。2=-2,a„+2=an+\-a,„an+b,,e{1,2,7},Z?„G{1,4,5},

贝|JCb\-a\)+(岳-。2)+'…+岳021-H2021=.

JT

16.四面体PA3C中，ZABC=—，尸AJ_平面ABC,PA=AB=BC=\,O是平面ABC上异

于AC的动点，且而2=正.而，设三棱锥P-AB。的外接球的体积为匕PC与8。所

成角为a,8与平面幺。所成角为仇在以下结论中，①/是定值：②丫是变化的但有

最大值；③a是定值；④0是定值；正确的结论序号为.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤。第17-21题为必考题,

第22、23题为选考题.(一)、必考题：共60分

17.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2acosA=bcosC+ccosB.

(1)求A；

(2)若M是BC的中点，颂"!工，b=2&，求△ABC的面积.

18.如图，正四面体ABC。中，0是顶点A在底面内的射影，E是A0中点，平面BDE与

棱AC交于M.

(1)求证：平面OEC_L平面BMD；

(2)求二面角C的余弦值.

19.某印刷厂，印刷任务是由印张数来衡量(印张数单位：千张)，印刷任务在180-240

千张的任务，由甲、乙两种印刷机器来完成，当任务的印张数不大于210千张时，由甲

种印刷机器来完成，当任务的印张数大于210千张时，由乙种印刷机器来完成，资料显

示1000个印刷任务的印张数的频率分布直方图如右图，现有4个印刷任务，印张数还未

知，只知道印张数在180-240千张的任务，以印张数中的频率作为概率.

(1)求这4个印刷任务中恰有2个是由甲种印刷机器来完成概率；

(2)求这4个印刷任务中，由乙种印刷机器来完成的多于由甲种印刷机器来完成的概率；

(3)用X,丫分别表示这4个印刷任务中由甲、乙两个印刷机器来完成的个数，记S=|X

-Y\,求随机变量：的分布列与数学期望房.

20.Fi、尸2分别为椭圆C：¥+^l(a>b>0)的左、右焦点，过Fi的动直线/与椭圆

C交于A,B,当B与上顶点(0,h)重合时，/的倾斜角为60。，ZiABF2的周长为8.

(1)求椭圆C的方程；

(2)4是A关于x轴的对称点，且尸求直线/的方程.

21.函数f(x)=21n(x+2)T+x-2(x〉-2).

x+2

(1)讨论/(x)的极值点的个数；

(2)设g(x)=exf(x),若g(x)》互恒成立，求。的取值范围.

e

(二)、选考题：共10分.请考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第

一题计分.［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知倾角为a的直线/的极坐标

方程为psin(0-a)=-sina(0Wa<n),圆C的参数方程为!(<p是参

ly=2+2sinQ

数).

(I)求直线/的普通方程；

(2)若直线/与圆C相交于M、N两点，且|MN|=2J2求a的值.

［选修4-5：不等式选讲］

23.已知a>0,b>0,a2+b2=8.

(1)求证：a+bW4；

(2)求证：,^料.

Vab

参考答案

一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分).

1.已知集合4=作仗=2',xGN},B={x|x<10},则ACB=()

A.{2,4,8}B.{1,2,4,8}C.{2,4,6,8}D.{1,2,4,6,8)

解：由题意，A—{y\y—2x,xeN}={l,2,22,•••},B={x|r<10},

故ACB={1,2,22,■•}n{x|x<10}={l,2,4,8),

故选：B.

2.i是虚数单位，复数z满足：币=bi，则^=()

1

A.1-iB.1+zC.-1+iD.-1-z

解：由m=l-i，得z=i(1-i)=l+i,

1

故选：A.

3.等差数列｛斯｝中，。3=1，57=14,则07=()

A.13B.7C.5D.3

解：根据题意，设等差数列｛斯｝的公差为"，

a1+2d=l/_-

1ai=~1

若的=1,57=14,则有＜42d，解可得〈

7ali^—=14d=l

故〃7=〃i+6d=5；

故选：C.

4.执行如图框图程序，输出〃=()

A.1B.2C.3D.4

解：模拟程序的运行，可得:

〃=3,$=]=2,即输出的”的值为3.

13

故选：C.

近1

5.已知：&=(1•)2，b=loc=log34,则a,b,c的大小关系是()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

返

<2J

,b=log2y^0<(-j-)=a

.\b<a,

・・亚

2,

*a=(y)<(y)°=l=log33<log34=c

.\a<c9故Z?VaVc.

故选：B.

6.已知：函数y=/(幻的图象如图所示，则y=/(x)可以是()

B.f(x)—esin"r-

C.f（x）=sin（nx-n）D.f(x)—cos(TTX-n)

解：根据题意，用排除法分析:

对于B,f(x)=erin“x-esM,在区间(0,1)上，sinTtx>0,

则有3nm>1,必有/(X)=e-sin1t—sin1tx<0,不符合题意；

对于C,f(x)=sin(nx-n),则/(x)="sirnrr.

在区间(0,1)上，/(x)<0,不符合题意；

对于D,f(x)=cos(nx-TT)=cosnx,是偶函数，不符合题意;

故选：A.

7.大约于东汉初年成书的我国古代数学名著《九章算术》中，“开立圆术”日：置积尺数,

以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”实际是知道了球的体

积匕利用球的体积，求其直径d的一个近似值的公式（1=惜口而我们知道，若球的

半径「，则球的体积兀lA则在上述公式中，相当于n的取值为（）

22027D.西

789

3-1^r3.比较右!兀=3,相当于n的取值为专.

0oo

8.一次乒乓球比赛中，采用5局3胜制，谁先胜3局谁赢，甲、乙在比赛中相遇，比赛前

由抽签决定第一局由甲先发球，第二局由乙先发球，每局的先发球者必须交替进行，甲

先发球局，甲获胜的概率为g,乙先发球局，甲获胜的概率为《，则甲3：0获胜的概率

42

为（）

解：根据题意，甲3：0获胜，即甲连赢即前三局,

第一局、第三局，甲先发球，甲获胜的概率都是今，第二局，乙先发球，甲获胜的概率

4

为"

则甲3：0获胜的概率为g《与二京?；

42432

故选：C.

9.偶函数/(x)关于点(1,0)对称，且当xe[0,1]时，f(x)=一号-1,则f(2019)+f

3

(2020)+f(2021)=()

A.0B.2C.4D.6

解：根据题意，偶函数/(x)关于点(1,0)对称，贝厅(7)=/(x)月J(2-x)=

-f(x)，

则有/(2-x)=-/(-x),变形可得/(x+4)=-/(x+2)=f(x),

即/(x)是周期为4的周期函数，

又由当xe[0,1]时，

3X1

则/(2020)=/(0)=2,/(2021)=/(1)=0,/(2019)=/(3)=f(-I)=f(1)

=0,

则有/(2019)+f(2020)+f(2021)=2；

故选：B.

10.双曲线与一号l(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A、B,过4且斜率为&的直线

/与渐近线交于第一象限的N点，与)，轴交于M点，若M点为AN点中点,则双曲线的

离心率为()

A.&B.炳C.2D.3

解：由M为AN中点，得BN〃y轴，

可得：N(a,b),

所以kAN=1~=R,

2a

222

所以c-a=Saf

所以e=—=3.

a

故选：。.

7T

11.已知3>o且为正数，且IQI〈若，函数/(x)=2sin(air+(p)+1的图象如图所示,

A、C,D是f(x)的图象与y=l相邻的三个交点，与x轴交于相邻的两个交点。、B,

若在区间(a,b)±,f(%)有2020个零点，则的最大值为()

D.I012H

解：由题意和图易知，y=l是/(x)的对称轴,

则IACI为1=，则有|0B|=3〈=今0<3<3,

2333

TT

进而f(o)=2sin(3・0+。)+1=0今。二十，

6

TTTT

又2sin)+1=0=>。=-6或-6Z-4,

36

因为0VSV3,

所以3=2,

贝ijT=R,

相邻2个零点的距离有两种弓和耳,

uO

则当b-a为1010个三与1011个等的和时最大为迎空工

333

故选：c.

x上一k,x>0

12.关于x的函数X有,4个零点，则实数k的取值范围为()

f(l-x)+k-6,x40

A.(5,9)B.[5,9]C.(4,9)D.[4,91

解：当时，1-x21,

**.f(1-x)=1------k,

l-x

kk

/.当xWO时，f(x)=1-尤+.---k+k-6=-x+-----5,

l-x1-X

x-^--k,x>0

x

即/(%)=<

-yk-5,x<0

l-x

k-kk

当x>0时，f(x)=1--7=-；当时、f(x)=―1+w,

X2(1-X)2

①当后WO时,

(/)x>0时1f(x)>0恒成立，f(x)在(0,+8)上单调递增，至多有一个零点,

k

(I)xWO时，f(x)=1+QV0恒成立，f(x)在(-oo0］上单调递减，至多

(1-x)2

有一个零点，

所以此时不符合题意，

②当£>0时，

(J)x>0时，，令/(%)=0得，x=孤，

/.x€(0,五)时，f(x)<0,/(x)单调递减；xe(Vk-+8)时，f(x)>0,/(x)

单调递增，

/./(x)min—f(­7k)=2«-&V0,；.k>4,

又,.,》一0时，f(x)f+8,Xf+8时，f(x)—+OO,

•••x>0时，f(x)有2个零点，

(n)xWO时，令/(x)=0得，x=l-孤W0,

(-8,时，f(x)<0,f(x)单调递减；xe(1-m，0]时，f(x)>0,

f(x)单调递增，

•；x>0时，/(x)有2个零点，.•.x<0时，f(x)也应有2个零点,

：.f（0）=k-5>f：.k>5f

且/（x）加〃=/（1-4）=24-6V0,:・k<9,

.\5<k<9,

综上所述，实数攵的取值范围为（5,9）,

故选：A.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.点（［，m2）在抛物线y二的2（小£0）上，则抛物线焦点为（0，1）.

解：m2=m（-j-）2=>m-1,则抛物线标准方程为f=4y，焦点为（0,1）.

故答案为：（0,1）.

14.向量a=（-2,1），b=（-2,6），c=（m,-3），b//c»则la-cl=—£—•

解：••响量a=（-2,1），b=（~2,6），c=（m,-3），bIIc、

求得机=1,（1，-3）,［二=（-3,4）,

-26

|a-c|=V（-2-l）2+（l+3）2=5>

故答案为：5.

15.数列｛斯｝和｛儿｝满足。1=。2=-2,。〃+2=。〃+1-。〃，an+bne｛1f2,7｝,d6｛1,4,5）,

贝!J（从-0）+（bi~。2）+‘,+岳。21-。2021=6739.

解：由〃1=。2=-2,得〃3=。2-。1=0，44=。3-02=2,01=615=2,。6=0,〃7=〃8=-2,

易得：an+6=an,—+6=仇且仇=历=4,必=1,一=岳=5,%=1,—=瓦=4,

.•・。1+。2+•一+。2021=336（。］+。2+,一+。6）+。［+。2+,,•+。5=0，

又，加+岳+・+—021=336（6+岳+•+乩）+历+庆++庆=336X20+19=6739,

/."1-。1）+（岳-。2）+,,1+/?2021-42021=6739.

故答案为：6739.

JT

16.四面体尸A8C中，NABC=5,PA_L平面ABC,PA=AB=BC=1,。是平面A8C上异

于AC的动点，且而2=正.正，设三棱锥P-A3。的外接球的体积为匕PC与瓦）所

成角为a,CD与平面粗。所成角为由在以下结论中，①V是定值；②V是变化的但有

最大值；③a是定值；④0是定值；正确的结论序号为①④.

解：由而2=豆，前今前•（筱+而）=而•而=O=AD1CD，

K

又NABC=F，则D在△ABC的外接圆上，

，三棱锥P-ABD的外接球是四棱锥P-ABCD的外接球，

外接球直径d=JpA2+AB2+BC2=正定值，故①对，②错；

因为P4L平面ABC,PAu平面PAC,

所以平面PAC_L平面ABC,又平面PACC平面ABC=AC,

JT

当8CJ_AC时，BO_L平面PAC,所以BO_LPC,即PC与8。所成的角a=-^-

当。在△ABC的外接圆上运动时，PC与80所成的角a是变化的，故③错：

因为PAJL平面ABC,CDu平面ABC,可得尸AJ_CZ）,

又A£>J_CO,PADAD=A,所以COJ_平面PA。，

TT

所以CO与平面PAO所成的角。=彳，为定值，故④对，

故答案为：①④*

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤。第17-21题为必考题,

第22、23题为选考题.（一）、必考题：共60分

17./XABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2acosA=8cosC+ccosB.

(1)求A；

(2)若M是8c的中点，加叵,b=2&，求△ABC的面积.

解：(1)由2acosA=bcosC+ccos3得2sirt4cosA=sin3cosC+sinCcos8,

即2sinAcosA=sin(B+C)=sinA,

1TT

所以cos4=x，即A=f；

23

(2)如图，延长AM到。使AM=QM,

则四边形ABDC是平行四边形，

：.DB=b,AD=Vl4-ZABD=-^->

o

则AD2=e+BD2-2cBDcosZABD,

即8+<?+2历=14,

18.如图，正四面体ABC。中，。是顶点A在底面内的射影，E是A0中点，平面BDE与

棱AC交于M.

（1）求证：平面。EC,平面BMZ）；

（2）求二面角D-BM-C的余弦值.

【解答】（1）证明：延长C。与8。交于N,设正四面体A8C。的棱长为小

则CN_LBD,CN=CD-sin600坐a，CO-yCN^a-

OO

所以A0=VAC2-C02=^a2-(^y-a)=华a，

又。为正三角形8c。的中心,

贝ijOC=OB=OD,

^WEB=EC=ED=VcO2-K)E2=^CO2+(-y^-=^(-y-a)+(*a)

由勾股定理可得，CE+DE?=c»=。层+B£2=DB?=BE^+CE2=8(?=a2,

故“，DE,BE两两垂直，

又DE,BEu平面8M£),DECBE=E,

所以平面BMD,

因为CEu平面OEC,

故平面。匹C_L平面BMD；

（2）解：取0为坐标原点，丽、0N＞瓦方向为冗、y、z轴的正方向，建立空间直角坐

标系O-xyz,如图所示,

则A(0,0,夸■&)，B(蒋a,-^-a0),E(0,0,-^-a)»

0)，C(O,

设平面A8C的法向量为m=（x,y,z）,

fm-AB-0蒋ax"»^ay^^2=0

则E竺9即63,

m-AC=0V3V6

-ay—az-0

令z=-l,则、=（粕，&,-1），

由（1）可知，平面BOM的一个法向量是量=（0,室a,但a），

36

不妨取”=6,可得而=（0,2^3＞娓），

-»\__CEjn___0+2V6-V6V3

则cos<CE>m|CEHm|=3-3V2=V)

因为二面角D-BM-C的平面角为锐角,

故二面角D-BM-C的余弦值为府.

9

19.某印刷厂，印刷任务是由印张数来衡量(印张数单位：千张)，印刷任务在180-240

千张的任务，由甲、乙两种印刷机器来完成，当任务的印张数不大于210千张时，由甲

种印刷机器来完成，当任务的印张数大于210千张时，由乙种印刷机器来完成，资料显

示1000个印刷任务的印张数的频率分布直方图如右图，现有4个印刷任务，印张数还未

知，只知道印张数在180-240千张的任务，以印张数中的频率作为概率.

(1)求这4个印刷任务中恰有2个是由甲种印刷机器来完成概率；

(2)求这4个印刷任务中，由乙种印刷机器来完成的多于由甲种印刷机器来完成的概率；

(3)用X,V分别表示这4个印刷任务中由甲、乙两个印刷机器来完成的个数，记t=|X

-Y\,求随机变量：的分布列与数学期望£亭

解：(1)由直方图知，一个印刷任务由甲种印刷机器来完成的概率为：

0.005X10+0.006X10+0.014X10=0.25)，则由乙种印刷机器来完成的概率为：

4

3_

I

则4个印刷任务中恰有2个是由甲种印刷机器来完成概率为：C：G)2)2晦■.

(2)满足题意的情况有：4个印刷任务都由乙种印刷机器完成的任务，概率为偿尸，

或由乙种印刷机器完成3个任务，而由甲种印刷机器完成1个任务，概率为：

则所求概率为：号尸+小空号嗤.

(3)由题意可得，J=|X-H=O,2,4,

当*=0,概率为:

哈生冶V嗨，

当E=2,概率为:C卜卓3+C卜勺)3鲁嗡,

当彳=4,概率为:»+(»盘

故E的分布列为:

工024

P271541

12832128

41_71

故数学期望Eg=0+2•亶•+4-

128--32

20.Q、B分别为楠圆C：号J^-l(a>b>0)的左、右焦点，过B的动直线/与椭圆

azbz

C交于A,B,当B与上顶点(0,b)重合时，/的倾斜角为60°,ZVIBB的周长为8.

(1)求椭圆C的方程;

(2)A是A关于x轴的对称点，且求直线/的方程.

又△ABB的周长=A尸|+8尸|+8尸2+4尸2=(A尸1+AF2)+CBF1+BF2)=2a+2a=4。=8,

得：a=2,b~^3>c—1,

22

所以椭圆C的方程为工_4=

43

(2)设A(xi,yi),B(X2,g),直线/的斜率为鼠

则A(xi,-yi),而乃(1,0),/：y=k(x+1),

由F2AIF2B。取瓦3=0=5-1)(乂2-1)-y1丫2=0，

得：(xj-l)(x2-l)-k2(x|+l)(x2+1)=0>

2-+2+-2

整理得：(l-k)XjX2(lk)(x1+x2)lk=0(*)>

22

将y=%(x+1)代入+_Z_=i，整理得：(4尸+3)炉+8乒犬+4k2-12=0,

43

8k24k2-12

可得：XI+X2=/A代入)式

4kz+34k2+3

(l-k2)-^k^-12+(l+k2)-8g2-+l-k2=0,

4k'+34k"+3

化简得：25k2-9=0=>k=±提,

则直线/的方程为：y=±4(x+l).

5

21.函数f(x)=21n(x+2)T+x-2(x>-2).

x+2

(1)讨论/(x)的极值点的个数；

(2)设g(x)—e'f(x),若g(x)》立恒成立，求”的取值范围.

,2_a_(x+2)、+2(x+2)-a

解:(1)f，x+2「(x+2)2+=(x+2)2

当a<0时，x>-2,f(x)>0,f(x)单调递增，函数/(x)无极值点；

当a>0时，f‘(x)=*'x+3)—y^-=0=^x=-3±^/i+a,而-3"l+a<-2,故

(x+2)2

x=-3-/1+a不是极值点，

当x£(-2,-3+A/而)时，f(x)<0,此时函数单调递减，

当xE(-3+JTG，Q)时，fco>o,此时函数单调递增，

所以了(尤)有唯一的极值点x=-3+JT与