2.3 二次函数y=ax²+c的图像与性质（B卷能力拓展） -2021-2022学年九年级数学下册同步分层练习（基础巩固＋能力拓展北师大版）（解析版）

2.3二次函数y=ax²+c的图像与性质学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________B卷（能力拓展）一、选择题1．（2020·浙江省温岭市九年级期中）已知函数经过A（m，）、B（m−1，），若．则m的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由图像开口向下，对称轴为y=0知，要使，需使A点更靠近对称轴y轴，由此列出关于m的不等式解之即可．【详解】解：∵图像开口向下，对称轴为y=0且∴，下面解此不等式．第一种情况，当m＜0时，得，解得m＜0；第二种情况，当时，得，解得；第三种情况，当时，得，解得，无解；综上所述得．故选：B．【点睛】此题考查二次函数的图像与性质，比较图像上两点的函数值．其关键是，当二次函数开口向下时，图像上的点越靠近对称轴时，函数值越大；当二次函数开口向上时，图像上的点越靠近对称轴时，函数值越小．2．（2021·河北宽城九年级期末）已知函数则下列图像正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据所给解析式判断出正确函数图象，注意自变量的取值范围．【详解】A选项错误，两个函数图象都不符合自变量的取值范围；B选项错误，反比例函数的图象不符合自变量的取值范围；C选项正确；D选项错误，当时，图象不应该是一条直线．故选：C．【点睛】本题考查二次函数和反比例函数的图象，解题的关键是掌握二次函数和反比例函数的图象．3．（2021·河北天津九年级月考）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用一次函数的性质判定m、n的符号，进一步判定二次函数的开口方向和对称轴的位置进行判断．【详解】解：若函数y=mx+n经过一二三象限，m＞0，n＞0，则二次函数y=mx2-nx的图象开口向上，对称轴x=-＞0，在y轴的右侧；

若函数y=mx+n经过一二四象限，m＜0，n＞0，则二次函数y=mx2-nx的图象开口向下，对称轴x=-＜0，在y轴的左侧；

故选：C．【点睛】本题考查了一次函数的图象，二次函数的图象，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．4．（2021·浙江萧山九年级月考）已知二次函数，如果当时，，则下列说法正确的是（）A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，没有最小值C．没有最大值，有最小值 D．没有最大值，也没有最小值【答案】C【分析】根据二次函数的性质，表示出、的值，即可求解．【详解】解：二次函数．开口向上，对称轴为，当时，随增大而增大．．．即是的一次函数．，一次函数上升趋势．．有最小值，没有最大值．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质．关键在于表示出的代数值，从而转化为一次函数的性质．比较综合．5．（2021·辽宁兴城九年级二模）如图，等边三角形中，，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线的路径向点运动，同时动点也从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度向点运动，连接，设点，的运动时间为，的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据等边三角形的性质可得∠B=∠C=60°，利用∠B、∠C的正弦值即可求出△BDE中BE边上的高，根据三角形面积公式可得y与x的关系式，根据函数关系式即可判定图象的形状，即可得答案．【详解】过点A作AF⊥BC于F，∴点F为BC中点，∵等边三角形中，∴∠B=∠C=60°，∵点D速度为每秒2个单位，点E速度为每秒1个单位，∴BD=2x，BE=x，∵AB=4，∴点D运动到A点的时间为2秒，此时点E运动到BC中点F，当0≤x≤2时，△BDE中BE边上的高为BD·sin60°=2=x，∴的面积y=x·x=，∴图象为抛物线，且y随x的增大而增大，当2<x≤4时，△BDE中BE边上的高为CD·sin60°=（8-2x）·sin60°=（4-x），∴y=x·（4-x）=+，∴图象是抛物线，且开口向下，y随x的增大而减小，故选：A．【点睛】本题考查等边三角形的性质、二次函数的图象和性质及解直角三角形，熟练掌握二次函数点性质及特殊角的三角函数值是解题关键6．（2020·新疆维吾尔自治区九年级期末）如图，已知抛物线y1＝﹣x2+1，直线y2＝﹣x+1，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．例如：当x＝2时，y1＝﹣3，y2＝﹣1，y1＜y2，此时M＝﹣3．下列判断中：①当x＜0时，M＝y1；②当x＞0时，M随x的增大而增大；③使得M大于1的x值不存在；④使得M＝的值是﹣或，其中正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先联立两函数解析式求出交点坐标，再根据M的定义结合图形，利用二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．【详解】解：由题意得，解得，所以，抛物线与直线的两交点坐标为（0，1），（1，0），∵当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．∴①当x＜0时，由图象可得y1＜y2，故M＝y1；故此选项正确；②当1＞x＞0时，y1＞y2，M＝y2，直线y2＝﹣x+1中y随x的增大而减小，故M随x的增大而减小，此选项错误；③由图象可得出：M最大值为1，故使得M大于1的x值不存在，故此选项正确；④当﹣1＜x＜0，M＝时，即y1＝﹣x2+1＝，解得：x1＝﹣，x2＝（不合题意舍去），当0＜x＜1，M＝时，即y2＝﹣x+1＝，解得：x＝，故使得M＝的值是﹣或，此选项正确．故正确的有3个．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了两函数的交点的求解，二次函数的增减性，以及二次函数与x轴的交点问题，读懂题目信息并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．7．（2021·安徽淮南九年级月考）已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0,2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3,6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（）A．5 B．9 C．11 D．13【答案】C【分析】过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线于点P，由PF=PE结合三角形三边关系，即可得出此时△PMF周长最小，再由点F、M的坐标即可得出MF、ME的长度，进而得出△PMF周长的最小值.【详解】如图过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线于点P，此时△PMF周长最小∵F（0,2）M（3,6），∴ME=6，FM∴△PMF周长的最小值=ME+FM=6+5=11故选C【点睛】本题考查了二次函数的性质和最短路径问题，熟练掌握各个知识点是解题关键.，二、填空题8．（2021·陕西渭南市九年级月考）已知二次函数y＝2x2+bx，当x＞1时，y随x增大而增大，则b的取值范围为______．【答案】b≥﹣4【分析】先表示出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性列出不等式求解即可．【详解】解：二次函数y＝2x2+bx对称轴为直线x＝﹣＝﹣，∵a＝2＞0，x＞1时，y随x增大而增大，∴﹣≤1，解得b≥﹣4．故答案为：b≥﹣4．【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质与二次函数的对称轴，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的增减性．9．（2021·重庆市育才中学九年级一模）现有四张正面分别标有数字﹣1、0、1、2的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，再次背面朝上洗均匀，随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m、n，则点(m，n)在抛物线y＝x2+1上的概率为_____．【答案】．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果在抛物线图像上的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：根据题意，树状图如下：∴共有16等可能的结果，前后两次抽取的数字分别记为m、n，则点(m，n)在抛物线y＝x2+1上的可能有3种；分别为：（1，2），（0，1），（1，2）；∴概率为：；故答案为：．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．10．（2018·湖南武汉市九年级月考）在平面直角坐标系中两点P（x，y），Q（x，y′），其中y′＝，则称Q点是P点的可控点．若P（x，y）满足y＝－x2＋16，其中（－5≤x≤a）时，可控点Q（x，y′）满足－16≤y′≤16，则a的取值范围为____．【答案】【分析】本题先理解定义，依据题意画出函数图象即可求解．【详解】依题意，图象上的点P的“可控变点”必在函数的图象上（如图），

当时，，

当时，，∵，∴，∵，

当，代入，解得：，当，代入，解得：，∵时，可控点Q（，）满足，

∴实数的取值范围为，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图象应用问题，解决此类问题：首先根据题意，大致画出函数图象，依据图象确定数值的取值范围．11．（2021·上海静安区九年级月考）将函数向上平移3个单位后，再绕新函数图像的顶点旋转180°所得图像的函数解析式为__________．【答案】【分析】根据“上加下减”得到平移后函数解析式，再根据绕顶点旋转180°则a变为-a，即可求解．【详解】解：将函数向上平移3个单位后，得到函数解析式为，新函数图像绕顶点旋转180°所得图像形状不变，开口向上，所以a变为相反数-a，所以函数解析式为．故答案为：【点睛】本题考查了函数图象的变换，函数的平移按照“左加右减，上加下减”法则进行，二次函数解析式中a的符号决定函数图象开口方向，a的绝对值决定函数图象开口大小．12．（2020·广西贵港九年级模拟预测）如图，已知抛物线，直线，当任取一值时，对应的函数值分别为，若，取中的较小值记为；若，记，例如：当时，，此时，下列判断：①当时，；②当时，值越大，值越小；③使得大于2的值不存在；④使得的值是或．其中正确的是_______________________．【答案】③④【分析】根据二次函数和一次函数的图像与性质即可得出答案.【详解】由题可得，函数图像如图所示∴当-1<x<0时，；当x=-1时，；当x<-1时，，故①错误；由①可知，当x<0时，抛物线与直线的交点坐标为(-1,0)结合图示，可知，当-1<x<0时，M=，当x越大时，M越大；当x=-1时，M=；当x<-1时，M=，当x越大时，M越大，故②错误；由以上分析可知，当x≥0时，，则M=，此时，故；当-1<x<0时，M=，解得0<M<2；当x≤-1时，M=，解得M≤0，故③正确；由③可得M=1的情况有两种：（1）当x≥0时，即，解得x=；（2）当-1<x<0时，2x+2=1，解得x=，故④正确；故答案为③④.【点睛】本题考查的是二次函数和一次函数的图像与性质，难度较大，需要熟练掌握并灵活运用相关基础知识.三、解答题13．（2021·山东文登九年级期末）如图，有四张背面完全相同的卡片，，，，其中正面分别写着四个不同的函数表达式，将四张卡片洗匀正面朝下随机放在桌面上．（1）从四张卡片中随机摸出一张，摸出的卡片上的函数随的增大而减小的概率是______；（2）小亮和小强用这四张卡片做游戏，规则如下：两人同时从四张卡片中各随机抽出一张，若抽出的两张卡片上的函数增减性相同，则小亮胜；若抽出的两张卡片上的函数增减性不同，则小强胜．这个游戏公平吗？请说明理由．【答案】（1）；（2）不公平，见解析【分析】（1）先判断出A、B、C、D四个卡片上的函数增减性，在结合概率的定义即可求解（2）根据题意用列表法分别求出小亮和小强同时抽到函数增减性相同的概率，和增减性不同的概率，二者进行比较即可【详解】（1）卡片A上的函数为，为减函数，随的增大而减小；卡片B上的函数为，为增函数，随的增大而增大；卡片C上的函数为，为增函数，随的增大而增大；卡片D上的函数为，为减函数，随的增大而减小；所以从四张卡片中随机摸出一张，摸出的卡片上的函数随的增大而减小的概率为（2）不公平．理由如下，根据题意列表得：卡片A卡片B卡片C卡片D卡片AABACAD卡片BABBCBD卡片CACBCCD卡片DADBDCD卡片A，卡片D上的函数为减函数，卡片B，卡片C上的函数为增函数，由表可知总共有12中等可能的结果，抽出的两张卡片上的函数增减性相同的概率为；抽出的两张卡片上的函数增减性不同的概率是，，∴不公平．【点睛】本题考查了函数的性质，概率和游戏的公平性，掌握列表或树状图法展示等可能的结果是解题关键．14．（2020·北京市第二十二中学九年级月考）附加题：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点关于轴的对称点为点，（1）求抛物线的对称轴；（2）求点坐标（用含的式子表示）；（3）已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图像，求的取值范围．【答案】（1）直线x=0；（2）B（0，）；（3）≤a≤或≤a≤【分析】（1）根据抛物线的表达式直接得出对称轴即可；（2）根据题意得出点A的坐标，再利用关于x轴对称的点的坐标规律得出点B坐标；（3）分a＞0和a＜0两种情况分别讨论，画图图像，求出a的范围.【详解】解：（1）在抛物线中，，∴对称轴为直线x=0，即y轴；（2）∵抛物线与轴交于点，∴A（0，），∵点关于轴的对称点为点，∴B（0，）；（3）当a＞0时，点A（0，）在y轴负半轴上，当点P恰好在抛物线上时，代入得：，解得：或（舍），当点Q恰好在抛物线上时，代入得：，解得：或（舍），∴当≤a≤时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；当a＜0时，点A（0，）在y轴正半轴上，同理可知：当点P恰好在抛物线上时，代入得：，解得：（舍）或，当点Q恰好在抛物线上时，代入得：，解得：（舍）或，∴当≤a≤时，抛物线与线段PQ只有一个公共点；综上：若抛物线与线段恰有一个公共点，a的取值范围是≤a≤或≤a≤.【点睛】本题是一道二次函数的综合题目，主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用分类讨论的方法和数形结合的思想解答．15．（2019·四川成都九年级二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，点P在线段AB上运动，设AP＝，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原．（1）当＝0时，折痕EF的长为；当点E与点A重合时，折痕EF的长为；（2）请写出使四边形EPFD为菱形的的取值范围，并求出当＝2时菱形的边长；（3）令EF2＝，当点E在AD、点F在BC上时，写出与的函数关系式．当取最大值时，判断△EAP与△PBF是否相似？若相似，求出的值；若不相似，请说