3.1勾股定理（原卷版）

3.1勾股定理【推本溯源】1.如图，若将每个小正方形的面积看作1，以B′C′为边的正方形的面积是9，以A′C′为边的正方形的面积是16，那以A′B′的面积为多少呢？2.如图一，使用的方法是？如图二，使用的方法是？图二图一 图一图二图一3.上图求完后，可以发现三个正方形的面积关系是？而由于正方形的面积公式为边长²，所以可以得出²+²=²。因此，直角三角形的斜边、直角边有如下关系：直角三角形两个的平方和等于的平方，这个定理称为。也称为。在古代我们把较短的直角边称为“”，较长的直角边称为“”，斜边称为“”。因此有了的结论。几何语言：注：在使用勾股定理的时候，可以灵活运用公式，，，4.勾股定理的证明图一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．证明： 证明名称：图二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．证明：．证明名称：图三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．证明：．证明名称：图四：如图（4）所示证明：证明名称：（4）（4）例1：在中，，，的对边分别是，，，若，则（

）A． B． C． D．例2：如图，是一张直角三角形的纸片，，，，将沿折叠，使点点重合，则的长为（

）

A． B． C． D．例3：若直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，则这个三角形的面积是（

）A．30 B．60 C． D．40例4：“赵爽弦图”巧妙地利用而积关系证明了勾股定理，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为．较短直角边长为，若，，则小正方形的面积是______________．例5：勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：

证明：连接，过点D作边上的高，则，∵，，∴∴．请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中．求证：．【摩拳擦掌】1．（2023·贵州贵阳·校考一模）如图，在中，，，，分别以点，为圆心，，为半径画弧，两弧交于一点，连接交于点，则的长为（

）

A． B． C． D．2．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）直角三角形的两条直角边分别为和，则斜边中线长为（

）A． B． C． D．3．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是5，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别是a、，则的值为（）A．16 B．9 C．4 D．34.（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，在中，，斜边的垂直平分线l交于点D，连接．若，则的周长为（

）

A．18 B．17 C． D．115．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点落在直角边的延长线上的点处，折痕为，则的长为_________．

6．（2023·贵州贵阳·统考三模）如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形，的面积分别为10，18，则正方形的面积是________．7．（2023春·湖北黄冈·八年级统考期中）某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高米的市民正对门缓慢走到离门米的感应器地方时（即米），则人头顶离测温仪的距离等于________米．8．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图，一张直角三角形纸片ABC中，，将它沿折痕折叠，使点A与点B重合，则___________．

9．（2023春·广东云浮·八年级校考期中）如图，在中，，，，于．求：(1)的长和的面积；(2)的长．10．（2023春·安徽亳州·八年级校考阶段练习）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．(1)在图中以格点为顶点画一个面积为10的正方形．(2)把所作正方形分割成赵爽弦图．11．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，中，，，．

(1)用直尺和圆规作的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）(2)若（1）中所作的垂直平分线交于点D，求的长．12．（2023春·湖南郴州·八年级校考期中）如图，在中，，，，求BC边上的高AD的长．

【知不足】1．（2023春·湖北省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）如图，，与按如图方式拼接在一起，，，，则的值为(

)

A． B． C． D．2．（2023春·广东潮州·九年级潮州市金山实验学校校考期末）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形的面积的大小为（

）

A．144 B．100 C．49 D．253．（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图，为修通铁路需凿通隧道，测得，，，，若每天开凿隧道，则需要______天才能把隧道凿通．4．（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图，长方形中，，，，则______．

5．（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图，在中，，的平分线交于点D，若厘米，厘米，则点D到直线的距离是______厘米．

6．（2023年重庆市中考数学真题（A卷））如图，是矩形的外接圆，若，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留）

7．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点D，则线段的长为________．8．（2023春·安徽六安·八年级校联考阶段练习）如图所示，与都是等腰直角三角形，，点为边上的一点．(1)求证：；(2)若，，求的长度．9．（2023春·福建厦门·八年级厦门市槟榔中学校考期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）．(1)利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示：；(2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足，，，，求证（1）中的定理结论；(3)如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，求正方形BDFA的面积．（用m，n表示）10．（2023春·湖北武汉·八年级统考开学考试）问题呈现：通过整式乘法的学习，我们进一步了解了利用图形面积来说明法则、公式等的正确性的方法，例如利用图甲可以给予解释的一个公式为___．问题解决：图乙中的是一个直角三角形，，人们很早就发现将图乙的直角三角形拼成图丙的正方形，会发现并找到a、b、c一个确定的数量关系，请你找到这个关系，并说明理由．

拓展应用：根据问题解决，下列几何图形中，可以正确的解释“问题解决”中直角三角形三边a、b、c这一关系的图有___（先将图序号填在横线上，然后选一种序号图说明理由）

【一览众山小】1.（2023春·广东韶关·八年级校考期中）如图，在中，，，点D为斜边上的一点，连接，将沿翻折，使点B落在点E处，点F为直角边上一点，连接，将沿翻折，点A恰好与点E重合．若，则的长为（

）．A．1 B． C． D．2．（2023·河北·统考模拟预测）如图，中，，点为各内角平分线的交点，过点作的垂线，垂足为，若，，则的长为（

）A． B． C． D．3．（2023·广东佛山·统考三模）如图，在Rt中，的垂直平分线分别交于两点，则的周长等于（）A．12 B．14 C．16 D．174.（2023春·广东河源·八年级校考开学考试）如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为____．5．（2023春·新疆阿勒泰·八年级统考期中）如图，等腰三角形的底边长为10，腰的长为13，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则△CDM周长的最小值为______．

6．（2023春·广东珠海·八年级珠海市第九中学校考期中）如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，则光线从点到点经过路线长是________．

7．（2023春·广东梅州·七年级校考阶段练习）问题情境：把四个直角边长分别为a，b，斜边长为c的直角三角形拼成如图的两个正方形和，设每个直角三角形的面积为，小正方形的面积为，大正方形的面积为S．(1)尝试解决：请你写出、，S之间存在的关系；(2)根据三角形和正方形的面积公式，试用含a，b，c的关系式表示、和S；(3)合作探究：综合（1），（2）可得一个等式，对这个等式进行化简可以证明勾股定理，请你写出这个等式，并写出化简过程；(4)若，，你能求出的值吗？试试看．8．（2023春·广东梅州·七年级校考阶段练习）已知，如图，中，，，，以斜边为底边作等腰三角形，腰刚好满足，并作腰上的高．

(1)求证：；(2)求等腰三角形的腰长．9．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒．

(1)用含t的代数式表示①当点P在线段上时，________．②当点P在线段的延长线上时，________．(2)当为直角三角形时，求t的值；10．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，在四边形中，是对角线，将点绕点逆时针旋转得到点，连接．(1)求的度数；(2)若是等边三角形，且，求的长．11．（2023·安徽·统考中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点均为格点（网格线的交点）．

(1)画出线段关于直线对称的线段；(2)将线段向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段，画出线段；(3)描出线段上的点及直线上的点，使得直线垂直平分．12．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边，如图，在四边形中，，，．

(1)求的度数．(2)判断四边形是